Rechner für die mittlere freie Weglänge von Gasmolekülen
Berechnen Sie die mittlere freie Weglänge von Gasmolekülen aus Temperatur, Druck und Stoßdurchmesser. Geben Sie die Gasbedingungen in einer beliebigen gängigen Einheit ein und erhalten Sie λ in nm, µm, mm oder m.
Mittlere freie Weglänge aus Temperatur, Druck und Stoßdurchmesser berechnen
Mittlere freie Weglänge
Dabei bedeuten:
- \(\lambda\) — mittlere freie Weglänge, die durchschnittliche Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Stößen zurücklegt (m)
- \(k = 1.380649\times10^{-23}\) J/K — die Boltzmann-Konstante (exakter SI-Wert)
- \(T\) — absolute Temperatur des Gases (K)
- \(d\) — molekularer Stoßdurchmesser, Modell harter Kugeln (m)
- \(p\) — absoluter Druck des Gases (Pa)
- \(\sigma = \pi d^{2}\) — Stoßquerschnitt (m²)
- \(n = p/(kT)\) — Teilchendichte (m⁻³)
Die Formel stammt aus der kinetischen Gastheorie eines verdünnten Gases: Ein Molekül überstreicht pro zurückgelegter Streckeneinheit das Stoßvolumen \(\sigma\), und der Faktor \(\sqrt{2}\) berücksichtigt die Relativbewegung der kollidierenden Paare.
Mittlere freie Weglänge – Rechenbeispiel
Beispiel: Stickstoff bei Raumtemperatur und Atmosphärendruck (25 °C, 1 atm) mit einem Stoßdurchmesser von 0,37 nm — die Standardwerte dieses Rechners.
\[ T = 25 + 273.15 = 298.15\ \text{K}, \quad p = 1\ \text{atm} = 101{,}325\ \text{Pa}, \quad d = 0.37\ \text{nm} = 3.7\times10^{-10}\ \text{m} \]
\[ \sigma = \pi d^{2} = \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} = 4.30\times10^{-19}\ \text{m}^{2} \]
\[ \lambda = \frac{1.380649\times10^{-23} \times 298.15}{\sqrt{2} \times \pi \times (3.7\times10^{-10})^{2} \times 101{,}325} = \frac{4.116\times10^{-21}}{6.162\times10^{-14}} \]
Ergebnis: \(\lambda \approx 6.68\times10^{-8}\) m ≈ 66,8 nm. Ein Stickstoffmolekül legt unter Raumbedingungen im Mittel etwa 67 Nanometer zurück — rund 180 Moleküldurchmesser —, bevor es auf ein anderes Molekül trifft.
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie die Temperatur (T) des Gases ein und wählen Sie die Einheit (°C, K oder °F). Achten Sie auf den richtigen Umgang mit absoluten Temperaturskalen — 25 °C wird automatisch in 298,15 K umgerechnet.
- Geben Sie den Druck (p) samt Einheit ein (atm, kPa, Pa, bar, mmHg/Torr oder psi). Es muss sich um den absoluten Druck handeln, nicht um den Überdruck.
- Geben Sie den Stoßdurchmesser (d) der Moleküle in nm, pm oder Å ein. Typische Werte: N₂ ≈ 0,37 nm, O₂ ≈ 0,36 nm, Ar ≈ 0,34 nm, He ≈ 0,26 nm.
- Wählen Sie unter Mittlere freie Weglänge anzeigen in die Ausgabeeinheit — Nanometer eignen sich für Drücke nahe dem Atmosphärendruck, Mikrometer oder Meter für Vakuumbedingungen.
- Lesen Sie die mittlere freie Weglänge (λ) ab, dazu ihren Wert in allen gängigen Längeneinheiten sowie eine schrittweise Herleitung der Rechnung.
Was ist die mittlere freie Weglänge?
Die mittlere freie Weglänge \(\lambda\) ist die durchschnittliche Strecke, die ein Gasmolekül zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stößen mit anderen Molekülen zurücklegt. In Luft auf Meereshöhe beträgt sie nur etwa 70 nm — ein Molekül kollidiert Milliarden Male pro Sekunde. In einer Hochvakuumkammer kann dasselbe Gas dagegen eine mittlere freie Weglänge von Zentimetern oder Metern haben; die Moleküle fliegen dann im Wesentlichen ungehindert, bis sie auf die Kammerwände treffen.
Der Wert ergibt sich aus zwei gegenläufigen Effekten. Die Teilchendichte \(n = p/(kT)\) sagt Ihnen, wie dicht das Gas gepackt ist: Mehr Moleküle pro Kubikmeter bedeuten kürzere Flüge. Der Stoßquerschnitt \(\sigma = \pi d^2\) sagt Ihnen, wie groß das Ziel ist, das jedes Molekül bietet. Beides zusammen ergibt \(\lambda = 1/(\sqrt{2}\,\sigma\,n)\), was der Druckform entspricht, die dieser Rechner verwendet.
Das Ergebnis skaliert anschaulich: Wird der Druck halbiert, verdoppelt sich \(\lambda\); bei konstantem Druck wächst \(\lambda\) proportional zur Temperatur, und verdoppelt sich der Moleküldurchmesser, schrumpft \(\lambda\) auf ein Viertel, weil der Stoßquerschnitt mit \(d^2\) wächst. Deshalb ist die mittlere freie Weglänge der Schlüsselparameter der Vakuumtechnik: Sie entscheidet, ob ein Gas als Kontinuum strömt oder im freien molekularen Regime (Knudsen-Regime).
Wenn Sie auch wissen möchten, wie schnell die Moleküle zwischen diesen Stößen unterwegs sind, kombinieren Sie dieses Ergebnis mit dem Rechner für die Molekülgeschwindigkeit eines Gases — die mittlere Geschwindigkeit geteilt durch die mittlere freie Weglänge ergibt die Stoßfrequenz.
Das Ergebnis richtig einordnen
Der Block „In anderen Einheiten“ zeigt zusätzlich die Teilchendichte \(n\) und den mittleren Abstand zwischen den Molekülen, \(n^{-1/3}\). Eine nützliche Plausibilitätsprüfung: Die mittlere freie Weglänge sollte deutlich größer sein als der Moleküldurchmesser und der Molekülabstand (bei Luft rund 180 Abstände). Wird \(\lambda\) vergleichbar mit der Größe Ihrer Apparatur, befinden Sie sich im molekularen Strömungsregime, in dem Konzepte wie Viskosität und Kontinuumsdruck ihre gewohnte Bedeutung verlieren.
Passende Gaseigenschaften, die Sie mit unseren anderen Werkzeugen berechnen können, sind die Gasdichte und das Gesetz von Avogadro, das die Zahl der Moleküle mit dem Volumen bei konstanter Temperatur und konstantem Druck verknüpft.
Annahmen und Grenzen
- Modell harter Kugeln: Moleküle werden als starre Kugeln mit einem einzigen Durchmesser behandelt. Reale Moleküle wechselwirken über weiche, weitreichende Potenziale; tabellierte Stoßdurchmesser sind daher effektive Werte, die meist an Viskositätsdaten angepasst wurden — rechnen Sie mit einer Genauigkeit von etwa ±20 %.
- Verdünntes, ideales Gas: Die Formel setzt \(\lambda \gg d\) voraus, Stöße sind also kurze binäre Ereignisse. Sie versagt bei dichten Gasen und in der Nähe der Kondensation; für dichte oder reale Bedingungen siehe den Rechner zur Van-der-Waals-Gleichung.
- Einkomponentiges Gas: Es wird ein einheitlicher Durchmesser angenommen. Für Gasgemische muss ein effektiver Durchmesser geschätzt werden (z. B. aus Viskositätsdaten des Gemischs).
- Maxwell-Boltzmann-Verteilung: Der Faktor \(\sqrt{2}\) beruht auf der Geschwindigkeitsverteilung im Gleichgewicht, die unter den meisten praktischen Bedingungen gilt.
- Absoluter Druck erforderlich: Ein Manometer für Überdruck zeigt bei 1 atm null an, die Physik hängt aber vom absoluten Druck ab. Ziehen Sie nichts ab — zeigt Ihr Manometer bei Umgebungsdruck 0 bar, geben Sie ca. 1 atm ein, nicht 0 (null Druck wird ohnehin abgelehnt).
Typische Werte bei 25 °C
| Druck | λ für N₂ (d = 0,37 nm) | Strömungsregime |
|---|---|---|
| 1 atm (101 325 Pa) | ≈ 67 nm | Kontinuumsströmung |
| 1/100 atm ≈ 1 013 Pa | ≈ 6,7 µm | Übergangsbereich |
| 1 Pa | ≈ 6,8 µm | Beginn der Knudsen-Strömung |
| 10⁻⁶ atm (Hochvakuum) | ≈ 6,7 cm | Molekularströmung |
Beachten Sie, wie schnell λ wächst, wenn der Druck sinkt — ein Faktor 10 beim Druck bedeutet bei konstanter Temperatur einen Faktor 10 bei der mittleren freien Weglänge.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die mittlere freie Weglänge von Hand ohne Rechner?
Rechnen Sie zuerst alles in SI-Einheiten um: Temperatur in Kelvin, Druck in Pascal, Durchmesser in Meter. Setzen Sie die Werte dann in \( \lambda = kT/(\sqrt{2}\pi d^2 p) \) ein. Für eine schnelle Schätzung von Luft auf Meereshöhe bei Raumtemperatur merken Sie sich den Richtwert \( \lambda \approx 68\ \text{nm} \) und skalieren anschließend: multiplizieren Sie mit \( T/298 \), dividieren Sie durch \( p/101325 \) (in Pa) und dividieren Sie durch \( (d/0.37\ \text{nm})^2 \). Mit diesem Trick bekommen Sie ein gutes Gefühl für das Ergebnis, bevor Sie die vollständige Rechnung ausführen.
Welcher Wert ist für Luft normal?
Auf Meereshöhe und bei 25 °C legen Luftmoleküle etwa 65–70 nm zwischen zwei Stößen zurück — rund 180 Moleküldurchmesser. Der genaue Wert hängt etwas von dem Stoßdurchmesser ab, den Sie für das effektive Luftgemisch ansetzen (Luft besteht überwiegend aus N₂ und O₂, daher ist d ≈ 0,37 nm ein sinnvoller effektiver Wert). In 100 km Höhe ist der Druck so gering, dass die mittlere freie Weglänge auf mehrere Zentimeter oder mehr anwächst — weshalb beim Wiedereintritt von Raumfahrzeugen Gasphysik jenseits des Kontinuums eine Rolle spielt.
Warum ist mein Ergebnis falsch, wenn ich den Druck in mmHg, bar oder psi eingebe?
Der häufigste Fehler ist die Eingabe des Überdrucks statt des absoluten Drucks. Ein Reifenmanometer, das 32 psi anzeigt, entspricht etwa 46 psi absolut (32 + 14,7 Atmosphärendruck), und ein Manometer an einer Vakuumkammer, das bei Umgebung 0 bar zeigt, bedeutet in Wahrheit 1 atm. Eine weitere Falle ist die Einheitenverwechslung: 1 mmHg (Torr) = 133,322 Pa, nicht 1 Pa. Fragen Sie sich immer, ob Ihre Messung absolut ist; falls nicht, addieren Sie den Umgebungsdruck, bevor Sie sie eingeben.
Kann ich diesen Rechner für Gasgemische wie Luft oder Erdgas verwenden?
Nur näherungsweise. Die Formel geht von einem einzigen Durchmesser harter Kugeln aus; für Gemische benötigen Sie daher einen effektiven Stoßdurchmesser. Ein praktischer Ansatz ist ein mit den Stoffmengenanteilen gewichteter Mittelwert der Durchmesser der Komponenten (für Luft, das von N₂ und O₂ dominiert wird, landet man nahe 0,37 nm). Für präzise Arbeiten leiten Sie den effektiven Durchmesser stattdessen aus der gemessenen Viskosität des Gemischs ab und rechnen mit einer Genauigkeit von nur etwa ±20 %.
Was ist der Unterschied zwischen der mittleren freien Weglänge und der Knudsen-Zahl?
Die mittlere freie Weglänge \( \lambda \) ist eine Eigenschaft des Gases selbst, während die Knudsen-Zahl \( Kn = \lambda/L \) sie mit einer charakteristischen Länge \( L \) Ihres Systems vergleicht, etwa einem Rohrdurchmesser. Für \( Kn \ll 1 \) verhält sich das Gas wie ein Kontinuum; bei \( Kn \gg 1 \) liegt freie molekulare (Knudsen-)Strömung vor, bei der die Moleküle überwiegend mit Wänden kollidieren statt miteinander. Berechnen Sie zunächst \( \lambda \) und dividieren Sie dann durch die Größe Ihrer Apparatur, um das Strömungsregime zu bestimmen.
Wie erhalte ich aus der mittleren freien Weglänge die Stoßfrequenz?
Teilen Sie die mittlere Molekülgeschwindigkeit durch die mittlere freie Weglänge: \( f = \bar{v}/\lambda \). Die mittlere Geschwindigkeit nach der Maxwell-Boltzmann-Statistik ist \( \bar{v} = \sqrt{8kT/(\pi m)} \), wobei m die Masse eines einzelnen Moleküls ist. Für Stickstoff bei Raumbedingungen ergibt das rund 5×10⁹ Stöße pro Sekunde. \( \bar{v} \) erhalten Sie mit einem Rechner für die Molekülgeschwindigkeit; verwenden Sie dann das λ aus diesem Werkzeug.
Hängt die mittlere freie Weglänge davon ab, ob ein Gas ein- oder zweiatomig ist?
Nicht direkt — die Formel kennt nur Temperatur, Druck und Stoßdurchmesser, nicht den inneren Aufbau des Moleküls. Was sich von Gas zu Gas ändert, ist der effektive Durchmesser: Helium (0,26 nm) ist kleiner als Stickstoff (0,37 nm), daher ist die mittlere freie Weglänge von Helium bei gleichem T und p etwa doppelt so lang. Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrade zweiatomiger Moleküle beeinflussen zwar die Wärmekapazität, gehen aber nicht in den Stoßausdruck harter Kugeln ein.