Калькулятор закона Снеллиуса
Введите угол падения и показатели преломления двух сред, чтобы найти угол преломления по закону Снеллиуса. Калькулятор также определяет предельный угол и предупреждает о полном внутреннем отражении.
Найти угол преломления по закону Снелла
Формула закона Снеллиуса
Где:
- \(n_1\) — показатель преломления первой среды (из которой приходит свет)
- \(\theta_1\) — угол падения, измеряемый между падающим лучом и нормалью к поверхности
- \(n_2\) — показатель преломления второй среды (в которую входит свет)
- \(\theta_2\) — угол преломления, измеряемый между преломлённым лучом и нормалью
Решая уравнение относительно угла преломления, получаем \(\theta_2 = \arcsin\!\big(\tfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\big)\). Оба угла всегда отсчитываются от нормали (линии, перпендикулярной поверхности), а не от самой поверхности.
Когда свет переходит из более плотной среды в менее плотную (\(n_1 > n_2\)), существует предельный угол:
\[ \theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right) \]
Для любого угла падения, превышающего \(\theta_c\), закон Снеллиуса не имеет решения, и луч полностью отражается обратно — это полное внутреннее отражение.
Закон Снеллиуса — пример расчёта
Пример: луч света в воздухе падает на плоскую поверхность воды в бассейне под углом 40° к нормали. Показатель преломления воздуха \(n_1 = 1\), воды — \(n_2 = 1.33\). Найдите угол преломлённого луча внутри воды.
\[ \sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \frac{1}{1.33} \times \sin 40^\circ = 0.7519 \times 0.6428 = 0.4833 \]
\[ \theta_2 = \arcsin(0.4833) = 28.90^\circ \]
Результат: луч преломляется под углом 28,90° (примерно 28° 54′, или 0,5044 рад) к нормали. Поскольку вода оптически плотнее воздуха, луч отклоняется к нормали — 40° на входе, 28,90° на выходе.
Как пользоваться калькулятором
- Введите угол падения (θ₁) и выберите его единицу (градусы или радианы) из выпадающего списка. Угол должен измеряться от нормали к поверхности и лежать в пределах от 0° до 90°.
- Введите показатель преломления среды 1 (n₁) — среды, из которой приходит свет (для воздуха достаточно точно взять 1).
- Введите показатель преломления среды 2 (n₂) — среды, в которую входит свет.
- Считайте угол преломления (θ₂) в градусах, градусах и минутах, а также в радианах.
- Проверьте второй результат — предельный угол и полное внутреннее отражение: если он существует, любой угол падения выше него приводит к полному внутреннему отражению.
Что описывает закон Снеллиуса
Закон Снеллиуса (его также называют законом преломления) описывает, как меняется направление света при пересечении границы двух прозрачных материалов. Свет распространяется с разной скоростью в разных средах, и именно это выражает показатель преломления \(n\): \(n = c/v\), где \(c\) — скорость света в вакууме, а \(v\) — скорость в материале. Когда луч входит в среду с более высоким показателем, он замедляется и отклоняется к нормали; при входе в среду с более низким показателем он ускоряется и отклоняется от нормали.
Закон был открыт экспериментально в 1621 году голландским астрономом Виллебрордом Снеллиусом и позднее выведен теоретически, наиболее изящно — из принципа наименьшего времени Ферма: свет идёт по пути, минимизирующему время движения между двумя точками. Закон Снеллиуса объясняет привычные явления: кажущийся излом соломинки в стакане с водой, «мелкость» бассейнов (подводные предметы кажутся ближе к поверхности, чем на самом деле), а также то, как линзы фокусируют свет в очках, фотоаппаратах и микроскопах.
Интерпретировать результат несложно: если \(\theta_2 < \theta_1\), луч вошёл в более плотную среду и отклонился к нормали; если \(\theta_2 > \theta_1\) — в менее плотную и отклонился от нормали. Обратите внимание: луч, падающий на поверхность строго перпендикулярно (\(\theta_1 = 0\)), проходит её без преломления, независимо от показателей преломления.
Предельный угол и полное внутреннее отражение
Когда свет идёт из более плотной среды в менее плотную (\(n_1 > n_2\), например из воды в воздух или из стекла в воздух), преломлённый луч отклоняется от нормали. По мере роста \(\theta_1\) угол \(\theta_2\) в какой-то момент достигает 90° — такой угол падения и называется предельным углом \(\theta_c\). При его превышении преломлённый луч существовать не может: весь свет отражается обратно в первую среду практически без потерь. Это и есть полное внутреннее отражение.
Для границы вода–воздух \(\theta_c = \arcsin(1/1.33) \approx 48.75^\circ\); для обычной границы стекло–воздух — около 41,8°. Полное внутреннее отражение лежит в основе работы оптоволокна, по которому передаётся интернет-трафик, призменных биноклей и перископов, а также ослепительного блеска огранённых алмазов (\(n \approx 2.42\), предельный угол — всего 24,4°).
Типичные показатели преломления
| Среда | Показатель преломления (приблизительно, видимый свет) |
|---|---|
| Вакуум | 1.0000 |
| Воздух | 1.0003 |
| Лёд | 1.31 |
| Вода | 1.33 |
| Этанол | 1.36 |
| Кронное стекло | 1.52 |
| Сапфир | 1.77 |
| Алмаз | 2.42 |
Допущения и ограничения
- Расчёт предполагает плоскую гладкую границу и монохроматический свет. Реальные материалы обладают дисперсией: показатель слегка меняется с длиной волны (синий свет преломляется сильнее красного) — именно поэтому призма разлагает белый свет в спектр.
- Часть света всегда отражается от границы даже при углах ниже предельного (обычно 4–8% для границы стекло–воздух при умеренных углах); закон Снеллиуса описывает лишь направление прошедшего луча, а не распределение энергии.
- Углы должны измеряться от нормали. Типичная ошибка — ввод угла, отсчитанного от поверхности: перед вводом вычтите его из 90°.
- Показатели преломления должны быть положительными; ввод 0 для любой среды физически бессмыслен и будет отклонён.
- Калькулятор не учитывает поглощение, рассеяние и поведение в анизотропных (двулучепреломляющих) материалах, таких как кальцит, где единый показатель преломления не определён.
Дополнительные инструменты по физике: наш калькулятор кинематических уравнений или калькулятор закона сохранения энергии.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить угол преломления вручную?
Запишите \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \), затем преобразуйте к виду \( \sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 \). Вычислите правую часть по таблице синусов или на научном калькуляторе, а затем возьмите арксинус (arcsin) от результата. Убедитесь, что калькулятор работает в режиме градусов, если углы заданы в градусах. Например, при переходе из воздуха в стекло при \(\theta_1 = 30^\circ\): \( \sin\theta_2 = (1/1.52) \times 0.5 \approx 0.329 \), откуда \( \theta_2 \approx 19.2^\circ \).
Работает ли закон Снеллиуса в обратную сторону, для света, идущего из воды или стекла в воздух?
Да. Преломление обратимо: если луч отклоняется на определённую величину при переходе из среды A в среду B, то луч, идущий по точно противоположному пути из B в A, повторит его траекторию. Просто поменяйте местами два показателя и два угла — уравнение останется тем же. Отличие лишь в направлении отклонения и в возможности полного внутреннего отражения при переходе из более плотной среды в менее плотную.
Почему калькулятор говорит, что предельного угла для света, идущего из воздуха в стекло, не существует?
Предельный угол существует только тогда, когда свет идёт из более плотной среды в менее плотную (\( n_1 > n_2 \)), потому что только в этом случае угол преломления может достичь 90° с ростом угла падения. При переходе из воздуха в стекло луч отклоняется к нормали, поэтому угол преломления никогда не превышает угол падения и не может достичь 90° — полное внутреннее отражение в этом направлении невозможно.
Что делать, если я измерил угол от поверхности, а не от нормали?
Перед вводом вычтите его из 90°. Закону Снеллиуса нужны углы, отсчитанные от нормали — воображаемой линии, перпендикулярной поверхности. Например, луч, падающий на воду под углом 50° к поверхности, входит под углом \( 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) к нормали. Это самая частая причина неверных ответов в задачах на преломление; это относится и к результату: он тоже отсчитывается от нормали.
Можно ли использовать этот калькулятор для звука, волн на воде и других волн?
Да, при условии, что каждая среда описывается единым показателем (отношением скоростей волны). Закон Снеллиуса применим к любой волне, пересекающей границу двух сред, — к звуку на границе воздуха и воды, сейсмическим волнам между слоями породы, волнам на воде между областями разной глубины. Используйте \( n = v_{ref}/v \) для каждой среды, где \( v\) — скорость волны, и формула останется той же.
Как перевести углы из градусов в радианы и обратно?
Умножьте градусы на \( \pi/180 \), чтобы получить радианы, и умножьте радианы на \( 180/\pi \), чтобы получить градусы. Например, \( 40^\circ = 40 \times 0.01745 \approx 0.6981 \) рад, а \( 1 \) рад \( \approx 57.3^\circ \). Калькулятор принимает любую из этих единиц для входного угла через выпадающий список и выводит результат в обеих, поэтому ручной пересчёт обычно не нужен.
Зависит ли показатель преломления от цвета света?
Да, незначительно — это свойство называется дисперсией. Почти во всех материалах показатель для синего света выше, чем для красного, поэтому призма разлагает белый свет в спектр. Разница невелика (несколько процентов для стекла), поэтому для большинства задач достаточно одного табличного значения. Если нужна точность, найдите показатель для вашей конкретной длины волны, например для жёлтой D-линии натрия (589 нм), commonly используемой в справочных таблицах.