Calculadora de Tau de Kendall
Digite duas listas de valores emparelhados para calcular o tau-b de Kendall, as contagens de pares concordantes e discordantes, a estatística z e o valor de p para a associação por postos entre as variáveis.
Meça a associação entre postos de duas variáveis emparelhadas
Fórmula do tau de Kendall
Onde:
- \(C\) — número de pares concordantes (X e Y variam na mesma direção)
- \(D\) — número de pares discordantes (X e Y variam em direções opostas)
- \(T_x\) — pares empatados apenas em X, \(T_y\) — pares empatados apenas em Y
- \(S\) — estatística de Kendall, \(S = C - D\)
- \(n\) — número de observações emparelhadas
- \(\Phi\) — função de distribuição acumulada da normal padrão
O \(\tau_B\) compara todos os pares possíveis de observações: se a maioria dos pares concorda na ordenação das duas variáveis, o tau é positivo; se a maioria discorda, o tau é negativo. A estatística z testa a hipótese nula \(\tau = 0\) por meio da aproximação normal.
Tau de Kendall – exemplo de cálculo
Exemplo: dez observações emparelhadas com \(X = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\) e \(Y = 2; 2; 1; 4; 5; 5; 7; 6; 9; 10\) (os valores padrão da calculadora).
Dos \(\frac{10 \times 9}{2} = 45\) pares: \(C = 40\), \(D = 3\), \(T_x = 0\), \(T_y = 2\), logo \(S = 40 - 3 = 37\).
\[ \tau_B = \frac{37}{\sqrt{(40 + 3 + 0)(40 + 3 + 2)}} = \frac{37}{\sqrt{43 \times 45}} = \frac{37}{\sqrt{1935}} \approx 0.8412 \]
\[ z = \frac{37}{\sqrt{10 \times 9 \times 25 / 18}} = \frac{37}{\sqrt{125}} \approx 3.3094 \]
Resultado: \(\tau_B \approx 0.8412\), uma associação monotônica positiva muito forte; o valor de p bicaudal é \(\approx 0.0009\), significativo ao nível de 1%.
Como usar a calculadora
- Digite os valores da Primeira variável (X) na primeira área de texto — um número por observação, separado por espaços, ponto e vírgula ou linhas em branco. Tanto postos quanto valores brutos funcionam, pois o tau depende apenas da ordenação.
- Digite os valores da Segunda variável (Y) na segunda área de texto, com a mesma quantidade de entradas. Cada valor de Y é emparelhado com o valor de X na mesma posição.
- Escolha a Hipótese alternativa: Bicaudal (τ ≠ 0) para o teste usual de qualquer associação, ou uma das opções unicaudais se você espera apenas uma tendência positiva ou negativa.
- Leia os resultados: o tau-b de Kendall, as contagens de pares (concordantes, discordantes e empatados), \(S\), a estatística z, o valor de p e uma breve interpretação da força, direção e significância.
O que é o tau de Kendall?
O tau de Kendall é uma medida não paramétrica de associação entre duas variáveis. Em vez de comparar os valores em si, ele olha a ordem das observações: um par de pontos é concordante se a observação com o maior X também tem o maior Y, e discordante se ocorre o contrário. O tau é essencialmente a diferença entre a proporção de pares concordantes e discordantes, escalada para variar de \(-1\) (relação perfeitamente decrescente) passando por 0 (nenhuma associação monotônica) até \(+1\) (relação perfeitamente crescente).
A versão calculada aqui, o tau-b, faz correções para empates: pares que compartilham o mesmo valor de X ou o mesmo valor de Y não podem ser classificados como concordantes ou discordantes, e o tau-b os remove do denominador para que os extremos \(\pm 1\) continuem alcançáveis quando os dados são perfeitamente monotônicos, sem empates conflitantes. Se seus dados não tiverem nenhum empate, o tau-b é igual ao tau-a e também à forma mais conhecida \(S / \binom{n}{2}\).
Por trabalhar com postos, o tau captura qualquer relação monotônica — crescimento exponencial, curvas de saturação, escalas ordinais — e não apenas padrões de linha reta, além de ser robusto a valores atípicos e dados não normais. Como regra prática, |τ| abaixo de 0,2 indica associação muito fraca, 0,2–0,4 fraca, 0,4–0,6 moderada, 0,6–0,8 forte e acima de 0,8 muito forte. Uma referência comum é que \(\tau_B \approx \frac{2}{\pi}\arcsin(r)\), onde \(r\) é a correlação de Pearson; assim, uma correlação de Pearson de 0,9 corresponde aproximadamente a \(\tau \approx 0.71\).
O valor de p responde à pergunta: se X e Y fossem de fato não relacionados, qual seria a probabilidade de surgir por acaso um tau pelo menos tão extremo quanto o observado? Um valor de p pequeno (convencionalmente abaixo de 0,05) indica uma associação monotônica estatisticamente significativa. Para converter uma estatística z em valor de p em outros testes, você também pode usar nossa calculadora de valor de p.
Tau de Kendall versus rho de Spearman
Ambas as estatísticas medem a associação monotônica a partir de postos e normalmente levam às mesmas conclusões. O tau de Kendall é construído a partir de comparações dois a dois e tem uma interpretação mais direta (diferença entre pares que concordam e pares que discordam); é menos sensível a erros e valores atípicos, e sua distribuição amostral se comporta melhor em amostras pequenas. O rho de Spearman é uma correlação de Pearson aplicada a postos e pode ser mais fácil de calcular à mão. Na maioria dos conjuntos de dados, os dois levam a decisões de significância semelhantes — para verificar a medida alternativa nos mesmos dados, experimente nossa calculadora de correlação por postos de Spearman.
Premissas, limitações e dicas
- Dados emparelhados: cada valor de X deve ter um valor de Y correspondente da mesma observação; as duas listas devem ter o mesmo comprimento e o emparelhamento deve fazer sentido (a ordem das entradas define quais valores pertencem juntos).
- Monotônico, não linear: o tau detecta relações que aumentam ou diminuem de forma consistente. Uma relação em forma de U pode ter tau próximo de zero mesmo com X e Y fortemente relacionados.
- Adequado a dados ordinais: como apenas os postos importam, o tau funciona para categorias ordenadas (por exemplo, notas de satisfação), e não apenas para medidas contínuas. Para categorias sem ordenação em uma tabela de contingência, use o teste do qui-quadrado ou o teste exato de Fisher.
- Aproximação normal: o valor de p usa \(z = S/\sqrt{n(n-1)(2n+5)/18}\), que é razoavelmente preciso a partir de cerca de \(n \ge 10\). Com amostras menores, ou com muitos empates, prefira tabelas exatas ou um software estatístico que calcule a variância exata de S.
- Independência: as observações devem ser independentes entre si; medições repetidas nos mesmos indivíduos exigem variantes especiais, como o W de Kendall.
Referência rápida: interpretando o tau
| \(|\tau_B|\) | Força da associação |
|---|---|
| 0,00 – 0,19 | Muito fraca |
| 0,20 – 0,39 | Fraca |
| 0,40 – 0,59 | Moderada |
| 0,60 – 0,79 | Forte |
| 0,80 – 1,00 | Muito forte |
Lembre-se de que estas são diretrizes informais, não cortes rígidos: com uma amostra grande o suficiente, até um tau minúsculo pode ser estatisticamente significativo, enquanto com poucas observações um tau grande pode não alcançar significância. Sempre informe o tamanho da amostra junto com o tau e o valor de p.
Perguntas frequentes
Como calcular o tau de Kendall à mão?
Liste suas observações emparelhadas e compare todos os pares possíveis de linhas — com n observações há \(\frac{n(n-1)}{2}\) pares. Para cada par, marque-o como concordante se o maior X vem com o maior Y, discordante se o maior X vem com o menor Y, e empate se algum dos valores é igual. Depois conte C, D, \(T_x\) e \(T_y\) e insira os valores em \(\tau_B = (C - D)/\sqrt{(C+D+T_x)(C+D+T_y)}\). A calculadora faz isso automaticamente e mostra todas as contagens de pares.
Qual é a diferença entre o tau-a e o tau-b de Kendall?
O tau-a é simplesmente \(S/\binom{n}{2}\), a diferença entre pares concordantes e discordantes dividida pelo número total de pares. Ele não alcança ±1 quando existem empates. O tau-b ajusta o denominador para excluir os pares empatados, de modo que ainda pode atingir os extremos −1 ou +1 com dados que contêm empates. Quando seus dados não têm nenhum empate, as duas versões dão resultados idênticos — e ambas diferem do rho de Spearman, que é uma correlação de Pearson dos postos.
De quantas observações preciso para um resultado confiável?
É possível calcular o tau-b com apenas 2 observações emparelhadas, mas o valor de p depende de uma aproximação normal que só é precisa a partir de aproximadamente n ≥ 10. Abaixo disso, use tabelas exatas da distribuição de Kendall ou um software estatístico com teste exato. Lembre-se também de que amostras pequenas dificultam a significância: com n = 5, até mesmo uma ordenação monotônica perfeita pode não resultar em p < 0,05.
Por que meu tau é significativo mesmo parecendo pequeno?
Significância estatística e tamanho de efeito são coisas diferentes. Com uma amostra grande, até uma associação muito fraca (digamos \(\tau = 0.08\)) pode produzir um valor de p minúsculo, porque há pares suficientes para detectá-la com confiabilidade. Sempre informe o tau junto com n e o valor de p, e julgue a relevância prática pela magnitude do tau, e não apenas pela significância. As faixas informais de força (muito fraca abaixo de 0,2, muito forte acima de 0,8) ajudam nesse julgamento.
O que acontece se minhas duas listas tiverem comprimentos diferentes ou contiverem erros de digitação?
A calculadora exige exatamente a mesma quantidade de entradas nas duas listas, porque o emparelhamento é posicional — o primeiro X corresponde ao primeiro Y, e assim por diante. Se as contagens forem diferentes ou um valor não puder ser interpretado como número, você receberá uma mensagem de erro em vez de um resultado. Você pode separar os valores com espaços, ponto e vírgula ou linhas em branco, e vírgulas decimais (por exemplo, 3,5) são aceitas da mesma forma que pontos decimais.
Posso usar o tau de Kendall com dados ordinais ou ranqueados?
Sim — essa é uma de suas principais vantagens. Como o tau usa apenas a ordenação dos valores, ele funciona para categorias ordenadas como notas em escala de Likert, classificações de competições ou graus de gravidade, sem assumir intervalos iguais entre os níveis. O que ele não suporta são categorias sem ordenação, como tipo sanguíneo ou país: nesses casos, use um teste qui-quadrado ou o teste exato de Fisher em uma tabela de contingência.
Posso converter o tau de Kendall em um coeficiente de correlação de Pearson?
Apenas de forma aproximada, e somente quando a relação é aproximadamente linear e as variáveis são contínuas, sem empates. A aproximação usual é \(r \approx \sin(\pi\tau/2)\), o inverso de \(\tau \approx \frac{2}{\pi}\arcsin(r)\). Por exemplo, \(\tau = 0.6\) corresponde a \(r \approx 0.95\). Tenha cuidado ao aplicá-la a dados ordinais ou com muitos empates — nesse caso, as duas medidas não são diretamente comparáveis.