Калькулятор модуля Юнга
Обчисліть модуль пружності Юнга за напруженням і деформацією або за силою, площею поперечного перерізу та зміною довжини. Результат у ГПа, МПа, Па та psi.
Знайти модуль Юнга за напруженням і деформацією
Формула модуля Юнга
Де:
- \(E\) — модуль пружності Юнга (Па)
- \(\sigma\) — напруження, сила на одиницю площі \(\sigma = F/A\) (Па)
- \(\varepsilon\) — деформація, відносна деформація \(\varepsilon = \Delta L / L_0\) (безрозмірнісна величина)
- \(F\) — прикладена розтягувальна або стискальна сила (Н)
- \(A\) — початкова площа поперечного перерізу зразка (м²)
- \(L_0\) — початкова довжина зразка (м)
- \(\Delta L\) — зміна довжини під навантаженням (м)
Формула виражає закон Гука у формі відношення: модуль Юнга — це постійне відношення між напруженням і деформацією в пружній області, тобто нахил прямолінійної ділянки діаграми деформації (кривої «напруження–деформація»).
Модуль Юнга — приклад обчислення
Приклад: стальний стрижень навантажено так, що напруження в ньому становить 200 МПа, і він видовжується на 0,1% від початкової довжини.
\[ \varepsilon = 0.1\% = 0.001 \]
\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{200\,000\,000\ \text{Pa}}{0.001} = 200\,000\,000\,000\ \text{Pa} \]
Результат: \(E = 200\ \text{GPa}\) — типове значення для конструкційної сталі.
Як користуватися калькулятором
- Відкрийте випадний список Метод обчислення і виберіть За напруженням і деформацією, якщо ви вже знаєте ці два значення, або За силою, площею та довжинами, якщо хочете, щоб калькулятор сам обчислив напруження і деформацію.
- Для першого методу введіть Напруження (σ) з одиницею вимірювання (Па, кПа, МПа, ГПа або psi) та Деформацію (ε) у вигляді десяткового дробу — 0.001 означає видовження на 0,1%.
- Для другого методу введіть Силу (F) (Н, кН, lbf або кгс), Площу поперечного перерізу (A) (мм², см², м² або дюйм²), Початкову довжину (L₀) і Зміну довжини (ΔL) у узгоджених одиницях довжини.
- Зчитайте результат: модуль Юнга відображається у ГПа, МПа, Па, psi, ksi та psf разом із підсумком напруження і деформації, використаних в обчисленні.
- Перегляньте примітку з інтерпретацією, яка порівнює ваш результат із типовими значеннями для поширених матеріалів, таких як сталь, алюміній, бетон і гумa.
Що таке модуль Юнга?
Модуль Юнга (його також називають модулем пружності) — це властивість матеріалу, яка описує, наскільки він жорсткий, тобто як сильно чинить опір розтягненню чи стисненню. Він визначається як відношення напруження до деформації в пружній області деформування, де матеріал повертається до початкової форми після зняття навантаження. Чим вищий модуль, тим більша сила потрібна для створення однакової деформації.
Напруження \(\sigma = F/A\) характеризує інтенсивність навантаження — силу, розподілену по площі поперечного перерізу, — а деформація \(\varepsilon = \Delta L / L_0\) характеризує реакцію — видовження або стиснення відносно початкової довжини. Оскільки деформація безрозмірнісна, модуль Юнга має ті самі одиниці, що й напруження: зазвичай гігапаскалі (ГПа) в метричній практиці або фунти на квадратний дюйм (psi) в імперській системі.
Результат показує нахил лінійної частини кривої «напруження–деформація». Значення 200 ГПа означає, що метровий брус із цього матеріалу видовжується лише на 5 мікрометрів на кожен мегапаскаль прикладеного напруження. Типові значення коливаються від приблизно 0,01 ГПа для м'якої гуми до близько 1100 ГПа для алмаза; конструкційна сталь знаходиться біля 200 ГПа, алюмінієві сплави — близько 70 ГПа, бетон — близько 30 ГПа. Знання модуля матеріалу має вирішальне значення в будівельній інженерії для прогнозування прогинів, у материаловедінні для характеристики нових матеріалів, а також у будь-якій ситуації, де важлива пружна деформація — від мостів до пружин.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Тільки лінійна пружна ділянка. Формула \(E = \sigma/\varepsilon\) справедлива лише нижче межі пропорційності, де напруження і деформація пропорційні. За межами цієї межі матеріал плиниться або деформується нелінійно, і єдиний модуль уже не описує його поведінку.
- Однорідний і ізотропний матеріал. Обчислення припускає, що жорсткість однакова всюди і в усіх напрямках. Деревина, композити та армовані волокном матеріали є анізотропними — їхній модуль вздовж волокон може бути в кілька разів вищим, ніж поперек.
- Малі деформації. Використовуйте початкову площу поперечного перерізу \(A\) і початкову довжину \(L_0\), а не значення, виміряні під навантаженням. При великих деформаціях інженерне визначення напруження та деформації стає неточним.
- Додатні значення. Вводьте величину видовження або стиснення; калькулятор не приймає нульові чи від'ємні значення. На практиці модулі розтягнення і стиснення одного матеріалу зазвичай близькі, але деякі матеріали (наприклад, бетон) поводяться дуже по-різному при стисненні й розтягненні.
- Вплив температури та швидкості. Модуль Юнга зменшується з підвищенням температури і може залежати від швидкості прикладання навантаження, особливо в полімерах. Значення в довідникових таблицях зазвичай виміряні при кімнатній температурі за повільного навантаження.
Типові значення модуля Юнга
| Матеріал | Модуль Юнга (ГПа) |
|---|---|
| Гума (натуральна) | 0.01 – 0.1 |
| Нейлон | 2 – 4 |
| Деревина (вздовж волокон) | 9 – 16 |
| Бетон | 30 – 40 |
| Алюмінієвий сплав | 69 – 79 |
| Латунь | 100 – 110 |
| Мідь | 110 – 130 |
| Сталь (конструкційна) | 190 – 210 |
| Вольфрам | 400 – 411 |
| Алмаз | 1050 – 1200 |
Якщо ви аналізуєте сили в навантаженій конструкції, вам також можуть стати в пригоді наш калькулятор натягу тросів і калькулятор сили тертя. А для енергії, накопиченої в деформованому пружному тілі, див. калькулятор пружної потенціальної енергії.
Часті запитання
Як обчислити модуль Юнга вручну, без калькулятора?
Розділіть напруження на деформацію. Спочатку обчисліть напруження \( \sigma = F/A \) і деформацію \( \varepsilon = \Delta L / L_0 \), а потім застосуйте \( E = \sigma / \varepsilon \). Приклад: сила 5000 Н на брусі з поперечним перерізом 50 мм² дає \( \sigma = \) 100 МПа; якщо базова довжина 200 мм видовжується на 0.1 мм, то \( \varepsilon = 0.0005 \), отже \( E = 100\,\text{MPa} / 0.0005 = 200\,\text{GPa} \). Переконайтеся, що одиниці сили й площі узгоджені перед діленням.
Яке значення модуля Юнга вважається хорошим або нормальним?
Усе залежить від матеріалу — універсального «хорошого» числа не існує. Гума перебуває в діапазоні близько 0.01–0.1 ГПа, деревина вздовж волокон — 9–16 ГПа, бетон — 30–40 ГПа, алюмінієві сплави — близько 70 ГПа, конструкційна сталь — 190–210 ГПа, а алмаз — понад 1000 ГПа. Якщо ваш результат далеко виходить за очікуваний діапазон для вашого матеріалу, перевірте одиниці, особливо площу поперечного перерізу (мм² чи м²) і деформацію (0.001 чи 0.1).
Як перевести модуль Юнга між ГПа, МПа та psi?
Перерахунки такі: 1 ГПа = 1000 МПа = 1,000,000,000 Па, а 1 psi = 6,894.757 Па. Отже, 1 ГПа ≈ 145,038 psi, а 1 ksi (тисяча psi) ≈ 6.895 МПа. Наприклад, сталь із модулем 200 ГПа дорівнює 200,000 МПа або приблизно 29,000,000 psi (29 Msi). Калькулятор автоматично показує ваш результат у всіх цих одиницях, тож ви можете зчитати будь-яку з них.
Чим модуль Юнга відрізняється від границі плинності чи жорсткості?
Модуль Юнга вимірює жорсткість — опір пружній деформації, — тоді як границя плинності вимірює напруження, яке матеріал може витримати до початку незворотної деформації. Матеріал може бути дуже жорстким, але слабким (скло), або гнучким, але міцним (деякі сталі мають схожий модуль, але дуже різну міцність). Модуль — це нахил пружної ділянки кривої «напруження–деформація»; границя плинності — це напруження, при якому ця крива перестає бути лінійною.
Чи може модуль Юнга бути від'ємним або нульовим?
Ні. Для звичайних інженерних матеріалів модуль Юнга завжди є додатним значенням, зазвичай від приблизно 0.001 ГПа (м'які гелі) до 1200 ГПа (алмаз). Якщо ваше ручне обчислення дає від'ємний або нульовий результат, ви допустили помилку в знаку або одиницях. Якщо виходить величезне число, наприклад 1,000,000 ГПа, ви, ймовірно, ввели деформацію у відсотках (0.1) замість десяткового дробу (0.001) або переплутали мм² з м².
Чому я отримав неправильний результат — які типові помилки?
Три найпоширеніші помилки: (1) введення деформації у відсотках — 0.1% потрібно вводити як 0.001, а не 0.1; (2) змішування одиниць, наприклад сила в Н із площею в мм² — калькулятор виконує перерахунки, але ручні обчислення потребують узгоджених одиниць СІ (Н і м² дають Па); (3) використання діаметра замість площі поперечного перерізу — круглий брус діаметром \( d \) має \( A = \pi d^2/4 \). Також переконайтеся, що ви використовуєте початкову довжину й площу, а не значення, виміряні під навантаженням.
Як модуль Юнга пов'язаний із модулем зсуву та коефіцієнтом Пуассона?
Для ізотропного матеріалу три пружні сталі пов'язані: \( E = 2G(1+\nu) \), де \( G \) — модуль зсуву, а \( \nu \) — коефіцієнт Пуассона. Знаючи будь-які дві величини, можна обчислити третю. Для сталі з \( E = 200 \) ГПа і \( \nu \approx 0.3 \) модуль зсуву становить близько 77 ГПа. Це співвідношення не виконується для анізотропних матеріалів, таких як деревина або вуглепластикові композити, які мають різні модулі в різних напрямках.