Калькулятор рівняння прямої
Введіть координати двох точок — і одразу отримаєте рівняння прямої, що через них проходить, у вигляді з кутовим коефіцієнтом (y = mx + b) та в загальному вигляді (Ax + By = C), разом із кутовим коефіцієнтом і покроковим поясненням.
Пряма через дві точки
Формула рівняння прямої
Де:
- \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) — дві точки, через які проходить пряма
- \(m\) — кутовий коефіцієнт прямої (відношення приросту \(y\) до приросту \(x\))
- \(b\) — вільний член, тобто точка, у якій пряма перетинає вісь Y
Формула кутового коефіцієнта показує, наскільки круто пряма піднімається між двома точками; коли \(m\) уже відоме, вільний член знаходять, підставивши будь-яку з точок у \(y = mx + b\). Ту саму пряму можна записати й у загальному вигляді \(Ax + By = C\) — калькулятор зводить його до найменших цілих коефіцієнтів.
Рівняння прямої — приклад обчислення
Приклад: знайдіть рівняння прямої, що проходить через точки \((2, 3)\) і \((6, 11)\).
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2 \]
\[ b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \times 2 = -1 \]
Результат: \(y = 2x - 1\) (вигляд з кутовим коефіцієнтом) або \(2x - y = 1\) у загальному вигляді. Кутовий коефіцієнт \(m = 2\), а пряма перетинає вісь Y у точці \((0, -1)\).
Як користуватися калькулятором
- Введіть координату x₁ і координату y₁ першої точки.
- Введіть координату x₂ і координату y₂ другої точки.
- Зчитайте результати: кутовий коефіцієнт (m), рівняння з кутовим коефіцієнтом (y = mx + b), рівняння в загальному вигляді (Ax + By = C) і покрокове пояснення того, як воно обчислено.
Дві точки мусять бути різними — одна точка не визначає єдиної прямої. Якщо обидві точки мають однакову координату x, пряма вертикальна: тоді калькулятор повідомляє, що кутовий коефіцієнт не визначений, і натомість видає рівняння \(x = x_1\).
Що таке рівняння прямої?
Пряму на площині можна описати лінійним рівнянням, що пов’язує \(x\) і \(y\). Найпоширеніший опис — вигляд з кутовим коефіцієнтом \(y = mx + b\): кутовий коефіцієнт \(m\) показує, наскільки змінюється \(y\), коли \(x\) збільшується на одиницю, а \(b\) вказує, де пряма перетинає вісь Y. Двох різних точок достатньо, щоб однозначно задати рівно одну пряму — саме тому введення двох точок повністю визначає рівняння.
Геометричний зміст закладено саме в кутовому коефіцієнті. Якщо він додатний, пряма зростає зліва направо; якщо від’ємний — спадає; якщо дорівнює нулю — пряма цілком горизонтальна. У прикладі вище \(m = 2\) означає, що кожен зсув на 1 вправо піднімає пряму на 2. Загальний вигляд \(Ax + By = C\) часто застосовують у курсах алгебри та при розв’язанні систем рівнянь, адже цілі коефіцієнти роблять подальші перетворення — зокрема метод додавання — простими й зручними.
Щоб перевірити результат, підставте будь-яку з даних точок у рівняння. У нашому прикладі точка \((6, 11)\) задовольняє рівняння \(y = 2x - 1\), бо \(2 \times 6 - 1 = 11\). Обидві задані точки завжди задовольнятимуть рівняння, які видає калькулятор.
Припущення, обмеження та поради
- Вертикальні прямі: якщо обидві точки мають однакову координату x, у формулі \(m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\) відбувається ділення на нуль. Калькулятор повідомляє, що кутовий коефіцієнт не визначений, і видає рівняння в загальному вигляді \(x = x_1\); для вертикальної прямої вигляду \(y = mx + b\) не існує.
- Горизонтальні прямі: якщо обидві точки мають однакову координату y, кутовий коефіцієнт дорівнює 0, а рівняння спрощується до \(y = b\).
- Однакові точки: якщо ввести ту саму точку двічі, виникне помилка, адже через одну точку проходить нескінченно багато прямих.
- Округлення: результати округлюються до 6 десяткових знаків. Якщо кутовий коефіцієнт або вільний член ірраціональні, виведене рівняння вважайте наближенням і в подальших обчисленнях за потреби зберігайте більшу точність.
- Порядок точок неважливий: яка б із точок не була введена як перша, а яка — як друга, пряма вийде тією самою.
Пряма, що проходить через початок координат, має \(b = 0\), тому її рівняння — \(y = mx\). Таку залежність називають прямою пропорційністю: \(y\) пропорційне \(x\). Якщо ви далі братиметеся за квадратні вирази, пам’ятайте, що лінійне рівняння має рівно один корінь (точку перетину з віссю X), а для розкриття дужок у розкладених на множники виразах вищих степенів знадобиться метод FOIL.
Часті запитання
Що таке рівняння прямої за точкою і кутовим коефіцієнтом і коли ним зручніше користуватися?
Це рівняння вигляду \(y - y_1 = m(x - x_1)\). Воно зручне, коли точка і кутовий коефіцієнт уже відомі: рівняння можна записати одразу, не обчислюючи попередньо вільний член. Щоб перейти до вигляду з кутовим коефіцієнтом, розкрийте дужки, помноживши на \(m\), а потім додайте \(y_1\) до обох частин. Щоб перейти до загального вигляду, перенесіть доданок із \(x\) ліворуч і позбутися дробів.
Яка найпоширеніша помилка при обчисленні кутового коефіцієнта вручну?
Віднімання координат у різному порядку. У чисельнику і знаменнику віднімати треба в одному й тому ж напрямку: \(m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\), а не \((y_2 - y_1)/(x_1 - x_2)\). така помилка змінює знак кутового коефіцієнта на протилежний. Також пильнуйте знаки від’ємних координат — записати \(3 - (-2)\) як \(3 - 2\) є типовою недбалістю. А от поміняти місцями першу й другу точки не страшно: пряма від цього не зміниться.
Як знайти точку перетину прямої з віссю X?
Прирівняйте \(y\) до нуля і розв’яжіть рівняння відносно \(x\). У вигляді з кутовим коефіцієнтом з \(0 = mx + b\) отримуємо \(x = -b/m\). Для прямої \(y = 2x - 1\) точка перетину з віссю X — це \(x = 1/2\), тобто точка \((0,5, 0)\). Горизонтальна пряма \(y = b\), де \(b \neq 0\), ніколи не перетинає вісь X, а вертикальна пряма \(x = c\) перетинає її в точці \((c, 0)\).
Чи можна за кутовими коефіцієнтами визначити, що прямі паралельні або перпендикулярні?
Так. Дві різні прямі паралельні тоді й лише тоді, коли мають однаковий кутовий коефіцієнт \(m\). Перпендикулярними вони є, коли їхні кутові коефіцієнти — протилежні обернені числа: \(m_1 \times m_2 = -1\) (наприклад, \(2\) і \(-1/2\)). Вертикальні прямі — окремий випадок: усі вертикальні прямі паралельні між собою, а будь-яка вертикальна пряма перпендикулярна до будь-якої горизонтальної, адже в однієї кутовий коефіцієнт не визначений, а в другої він дорівнює 0.
Чи можна вводити дроби як координати і як отримати кутовий коефіцієнт у вигляді дробу?
Поля вводу приймають лише десяткові числа, тому дріб на кшталт \(3/4\) спершу переведіть у 0,75. Результати також показуються десятковими дробами, округленими до 6 знаків. Якщо вам потрібні точні дроби, обчисліть кутовий коефіцієнт вручну: \(m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)\), скоротіть його і побудуйте рівняння з вигляду за точкою і кутовим коефіцієнтом. Якщо точні значення раціональні, десятковий результат є слушним наближенням.
Як побудувати пряму на графіку, коли рівняння вже відоме?
Спершу позначте точку перетину з віссю Y — \((0, b)\), а тоді використайте кутовий коефіцієнт як відношення вертикального зміщення до горизонтального: від цієї точки відкладайте \(m\) одиниць по вертикалі на кожну 1 одиницю вправо (якщо \(m\) від'ємний — униз, а не вгору) і позначте другу точку. Проведіть пряму лінію через обидві точки. Для перевірки обидві початково введені точки мають лежати рівно на побудованій прямій.
Чому загальний вигляд іноді відрізняється від відповіді в підручнику?
Загальний вигляд — не єдиний: множення \(Ax + By = C\) на будь-яке число, відмінне від нуля, дає рівносильне рівняння. Цей калькулятор зводить коефіцієнти до найменших цілих чисел за умови \(A \geq 0\). У вашому підручнику може бути інша домовленість — наприклад, вимагається, щоб \(A, B, C\) були цілими, а \(A\) — додатним, або наводиться нескорочений кратний варіант на кшталт \(4x - 2y = 2\). Обидві відповіді правильні, якщо одна є кратною другої.