Kragträger mit aufgeprägtem Moment – Rechner

Q: Wie rechne ich die Neigung von Radiant in Grad um und prüfe die Gültigkeit der Kleinwinkelnäherung?

Multiplizieren Sie das Ergebnis im Bogenmaß mit 180/π ≈ 57.2958, um Grad zu erhalten. Beispiel: Eine Neigung von 2.07 × 10^-5 rad entspricht etwa 0,00119°. Radiantwerte unterhalb von etwa 0,05 (rund 3°) bestätigen, dass die Annahme kleiner Durchbiegungen der Euler-Bernoulli-Theorie gültig ist; bei größeren Neigungen können die linearen Formeln die tatsächliche Durchbiegung unterschätzen.

Q: Was passiert, wenn ich eine Position x größer als die Balkenlänge oder x = 0 eingebe?

Bei x = 0 ist die Durchbiegung exakt null — dort liegt die Einspannung. Die Eingabe x = L liefert die maximale Enddurchbiegung ML^2/(2EI), was eine nützliche Plausibilitätsprüfung ist. Die Eingabe x > L berechnet einen Wert außerhalb des physisch vorhandenen Balkens; halten Sie die Position daher zwischen 0 und L. Das Neigungsergebnis gilt nur am freien Ende und hängt nicht von x ab.

Aktualisiert: 3 Oktober 2026

Berechnen Sie die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung an jeder Stelle eines Kragträgers, der mit einem aufgeprägten Moment (Kräftepaar) belastet wird. Geben Sie das Moment, den Elastizitätsmodul, das Flächenträgheitsmoment, die Länge und die betrachtete Position ein.

Formel für Kragträger mit aufgeprägtem Moment

Formel

\[ \theta_{free} = \frac{M \cdot L}{E \cdot I} \] \[ \delta_x = \frac{M \cdot x^2}{2 \cdot E \cdot I} \]

mit:

\(M\) — am freien Ende angreifendes Moment (Kräftepaar) (lb·in oder N·m)
\(L\) — Länge des Balkens, vom eingespannten Ende bis zum freien Ende (in oder m)
\(x\) — Abstand vom eingespannten Ende bis zu der Stelle, an der die Durchbiegung berechnet wird (in oder m)
\(E\) — Elastizitätsmodul (E-Modul) des Materials (psi oder Pa)
\(I\) — Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts (in⁴ oder m⁴)
\(\theta_{free}\) — Neigung (Drehwinkel) am freien Ende, im Bogenmaß (Radiant)
\(\delta_x\) — vertikale Durchbiegung an der Position \(x\)

Da das aufgeprägte Moment entlang des gesamten Balkens ein konstantes Biegemoment erzeugt, ist die Krümmung gleichmäßig: Die verformte Biegelinie ist ein Kreisbogen, sodass die Durchbiegung mit dem Quadrat des Abstands vom eingespannten Ende zunimmt.

Kragträger mit aufgeprägtem Moment – Rechenbeispiel

Beispiel: Ein Stahl-Kragträger mit einer Länge von 120 in trägt an seinem freien Ende ein im Uhrzeigersinn wirkendes Moment (Kräftepaar) von 500 lb·in. Der Stahl hat einen Elastizitätsmodul von 29.000.000 psi, und der Querschnitt ein Flächenträgheitsmoment von 100 in⁴. Gesucht sind die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung 60 in von der Einspannung entfernt.

\[ \theta_{free} = \frac{M \cdot L}{E \cdot I} = \frac{500 \times 120}{29{,}000{,}000 \times 100} = 2.07 \times 10^{-5}\ \text{rad} \]

\[ \delta_{60} = \frac{M \cdot x^2}{2 \cdot E \cdot I} = \frac{500 \times 60^2}{2 \times 29{,}000{,}000 \times 100} = 3.10 \times 10^{-4}\ \text{in} \]

Ergebnis: Die Neigung am freien Ende beträgt etwa 0,0000207 Radiant (0,00119°), und die Durchbiegung 60 in vom eingespannten Ende beträgt rund 0,00031 in.

So benutzen Sie den Rechner

Geben Sie das Moment (Kräftepaar) am freien Ende \(M\) ein, das reine Moment, das am Ende des Kragträgers angreift.
Geben Sie den Elastizitätsmodul \(E\) des Balkenmaterials ein (zum Beispiel 29.000.000 psi für Stahl oder 4.350.000 psi für Beton).
Geben Sie das Flächenträgheitsmoment \(I\) des Querschnitts bezogen auf die Biegeachse ein.
Geben Sie die Länge des Balkens \(L\) ein, gemessen von der Einspannung bis zum freien Ende.
Geben Sie die Position der Last \(x\) ein, den Abstand vom eingespannten Ende, an dem Sie die Durchbiegung wünschen. Drücken Sie auf Berechnen, um die Neigung am freien Ende (im Bogenmaß) und die Durchbiegung an der gewählten Stelle zu erhalten.

Was ist ein Kragträger mit aufgeprägtem Moment?

Ein Kragträger ist an einem Ende eingespannt und am anderen Ende vollständig frei. Anders als eine Einzellast oder eine Gleichlast ist ein Moment (Kräftepaar) ein reines Moment — ein Paar gleich großer, entgegengesetzt gerichteter Kräfte, das eine Verdrehung ohne resultierende Kraft erzeugt. Wird ein solches Moment am freien Ende eines Kragträgers aufgebracht, entsteht ein konstantes Biegemoment \(M\) über die gesamte Länge des Balkens.

Dieser Lastfall zeigt ein charakteristisches Verhalten: Da das Biegemoment in jedem Querschnitt gleich groß ist, biegt sich der Balken zu einem Kreisbogen mit konstanter Krümmung \(M / (EI)\). Die Neigung wächst linear von null am eingespannten Ende bis zum Maximum \(ML/(EI)\) am freien Ende, während die Durchbiegung mit dem Quadrat des Abstands zunimmt und am Endpunkt \(ML^2/(2EI)\) erreicht. Beachten Sie, dass im gesamten Balken keine Querkraft auftritt — nur Biegung.

In der Praxis tritt dieser Fall überall dort auf, wo ein reines Moment auf das Ende eines Balkens übertragen wird: eine Maschinenwelle, die ein biegeerzeugendes Moment einleitet, ein angeschlossener Rahmen oder eine exzentrische Last, die als Moment idealisiert werden kann. Er ist zudem ein Grundbaustein der Momentenflächen- und Superpositionsmethode zur Analyse komplexerer Lastfälle — weshalb er in nahezu jeder Vorlesung über Festigkeitslehre vorkommt.

Die Ergebnisse liefern für die Bemessung zwei Informationen: Die Neigung am freien Ende zeigt, wie stark sich der Balken endpunkt verdreht (wichtig für Anschlüsse, Ausrichtung und Maschinen), und die Durchbiegung zeigt, wie stark sich der Balken an jeder Stelle vertikal verschiebt. Bemessungsnormen begrenzen Durchbiegungen typischerweise auf einen Bruchteil der Spannweite — zum Beispiel L/360. Vergleichen Sie die berechnete Durchbiegung daher immer mit dem maßgebenden Grenzwert Ihrer Konstruktion.

Annahmen und Grenzen

Kleine Durchbiegungen: Die Formeln setzen linear-elastisches Verhalten und kleine Verdrehungen voraus; die Neigungen werden im Bogenmaß angegeben, und die verformte Biegelinie wird nur genau angenähert, wenn \(\delta \ll L\).
Die Schubverformung wird vernachlässigt; die Ergebnisse beruhen auf der Euler-Bernoulli-Balkentheorie, die für schlanke Balken geeignet ist (Verhältnis Spannweite zu Höhe typischerweise größer als 10).
Das Material ist homogen, isotrop und linear-elastisch mit konstantem \(E\); der Querschnitt ist prismatisch mit konstantem \(I\).
Die Einspannung wird als völlig starr und vollständig eingespannt angenommen. Reale Anschlüsse haben eine gewisse Nachgiebigkeit, was die tatsächlichen Durchbiegungen vergrößert.
Berücksichtigt wird nur das aufgeprägte Moment. Wirken weitere Lasten gleichzeitig auf den Balken — Einzellasten, Gleichlasten —, fügen Sie deren Wirkung per Superposition hinzu und prüfen Sie das Gesamtergebnis gegen Durchbiegungs- und Festigkeitsgrenzen, etwa die maximale Verkehrslast von Decken.
Halten Sie die Einheiten konsistent: Wenn \(E\) in psi und die Abmessungen in Zoll vorliegen, muss das Moment in lb·in angegeben werden; die Ergebnisse erscheinen dann im Bogenmaß und in Zoll. Die Vermischung von Einheitensystemen liefert sinnlose Ergebnisse.

Zur schnellen Plausibilitätsprüfung: Die maximale Durchbiegung am freien Ende ist einfach \(ML^2/(2EI)\) — setzen Sie im Rechner \(x = L\), um dies nachzuprüfen. Wenn Sie auch zugehörige Bauteile bemessen, helfen unsere Rechner zur maximalen Betonplattenlänge und zur maximalen Wandlast auf Betonplatten, die Nachweise abzurunden.

Häufig gestellte Fragen

Welches Vorzeichenkonvention gilt für Neigung und Durchbiegung in diesem Rechner?

Der Rechner liefert Beträge. Konventionell erzeugt ein im Uhrzeigersinn wirkendes Moment am freien Ende eines horizontalen Kragträgers (mit dem eingespannten Ende links) eine Durchbiegung nach unten und eine Verdrehung im Uhrzeigersinn, sodass beide Ergebnisse in einer vollständigen Vektoranalyse negativ wären. Ein Moment gegen den Uhrzeigersinn kehrt die Richtung um. Prüfen Sie beim Interpretieren der Ergebnisse stets die physikalische Richtung Ihres Moments gegen Ihr Koordinatensystem.

Wie verwende ich diesen Rechner mit metrischen (SI-)Einheiten?

Verwenden Sie ein konsistentes SI-System: Moment in N·m, Elastizitätsmodul in Pa (oder MPa — sorgfältig umrechnen, 1 MPa = 10⁶ Pa), Flächenträgheitsmoment in m⁴ und Längen in m. Die Neigung ergibt sich dann im Bogenmaß und die Durchbiegung in Metern. Ein häufiger Fehler ist die Eingabe von I in mm⁴, während die übrigen Werte in Metern vorliegen — rechnen Sie mm⁴ in m⁴ um, indem Sie mit 10⁻¹² multiplizieren.

Warum ist die Durchbiegungsformel quadratisch, während die Neigungsformel linear ist?

Weil das Biegemoment über die gesamte Spannweite konstant ist, ist die Krümmung \(M/(EI)\) gleichmäßig, sodass sich der Balken zu einem Kreisbogen biegt. Die einfache Integration der konstanten Krümmung ergibt eine Neigung, die linear mit dem Abstand vom eingespannten Ende wächst, \(\theta = Mx/(EI)\); die nochmalige Integration ergibt eine Durchbiegung, die mit dem Quadrat des Abstands wächst, \(\delta = Mx^2/(2EI)\).

Worin unterscheidet sich ein Moment (Kräftepaar) von einer Einzellast am freien Ende?

Eine Einzellast erzeugt ein Biegemoment, das linear von null am freien Ende bis zum Maximum an der Einspannung anwächst, zusätzlich eine konstante Querkraft. Ein Moment (Kräftepaar) erzeugt dagegen in jedem Querschnitt dasselbe Biegemoment und keine Querkraft. Auch die verformten Biegelinien unterscheiden sich: Eine Einzellast führt zu einer kubischen Durchbiegungslinie mit maximaler Enddurchbiegung \(PL^3/(3EI)\), ein Moment zu einem Kreisbogen mit Enddurchbiegung \(ML^2/(2EI)\).

Wie rechne ich die Neigung von Radiant in Grad um und prüfe die Gültigkeit der Kleinwinkelnäherung?

Multiplizieren Sie das Ergebnis im Bogenmaß mit \(180/\pi \approx 57.2958\), um Grad zu erhalten. Beispiel: Eine Neigung von \(2.07 \times 10^{-5}\) rad entspricht etwa 0,00119°. Radiantwerte unterhalb von etwa 0,05 (rund 3°) bestätigen, dass die Annahme kleiner Durchbiegungen der Euler-Bernoulli-Theorie gültig ist; bei größeren Neigungen können die linearen Formeln die tatsächliche Durchbiegung unterschätzen.

Was passiert, wenn ich eine Position x größer als die Balkenlänge oder x = 0 eingebe?

Bei \(x = 0\) ist die Durchbiegung exakt null — dort liegt die Einspannung. Die Eingabe \(x = L\) liefert die maximale Enddurchbiegung \(ML^2/(2EI)\), was eine nützliche Plausibilitätsprüfung ist. Die Eingabe \(x > L\) berechnet einen Wert außerhalb des physisch vorhandenen Balkens; halten Sie die Position daher zwischen 0 und \(L\). Das Neigungsergebnis gilt nur am freien Ende und hängt nicht von \(x\) ab.

Kann ich dieses Moment mit anderen Lasten am selben Kragträger kombinieren?

Ja — verwenden Sie Superposition. Berechnen Sie hier Neigung und Durchbiegung infolge des Moments und addieren Sie die entsprechenden Ergebnisse getrennter Berechnungen für Einzellasten, Gleichlasten oder das Eigengewicht des Balkens, wobei Sie auf die Vorzeichen achten. Das funktioniert, weil der Balken linear-elastisch ist. Prüfen Sie anschließend die Gesamtdurchbiegung gegen Grenzwerte wie L/360 und stellen Sie sicher, dass das gesamte Biegemoment die Kapazität des Querschnitts nicht überschreitet.