Kragträger mit Last am freien Ende – Rechner

Q: Wie berechne ich die Durchbiegung eines Kragträgers von Hand?

Verwenden Sie die Formel heta = racP L^22 E I für die Neigung am Ende sowie \ ; theta = (P L^2)/(2 E I) für die Neigung und \ ; delta_x = (P x^2 (3L - x))/(6 E I) für die Durchbiegung. Gehen Sie Schritt für Schritt vor: Quadrieren Sie die Länge, multiplizieren Sie sie mit der Last und teilen Sie anschließend durch \ 2 E I oder \ 6 E I . Halten Sie alle Einheiten konsistent – wenn \ E in psi angegeben ist, müssen \ P , \ L und \ x in lbs, Zoll und Zoll vorliegen. Die Durchbiegung ergibt sich dann direkt in Zoll.

Q: Kann ich diesen Rechner mit metrischen Einheiten (N, mm, MPa) verwenden?

Ja, solange Sie einheitlich bleiben. Wenn Sie \ P in Newton, \ E in Pascal (oder MPa mit Längen in mm und \ I in mm⁴) sowie \ L und \ x in Metern eingeben, erhalten Sie die Ergebnisse in Metern. Eine gängige metrische Kombination ist \ P in N, \ E in MPa (N/mm²), \ I in mm⁴ und Längen in mm – dies ergibt die Durchbiegung in mm und die Neigung im Bogenmaß. Mischen Sie niemals psi mit metrischen Längen.

Q: Wie groß ist die maximale Durchbiegung eines Kragträgers mit Endlast?

Die größte Durchbiegung tritt am freien Ende auf, \ x = L : \ ; delta_max = (P L^3)/(3 E I) . Beachten Sie die kubische Abhängigkeit von der Länge – ein doppelt so langer Balken biegt sich achtmal so stark durch. Wenn Sie diesen Endwert im Rechner benötigen, geben Sie als Durchbiegungspunkt \ x einfach die Balkenlänge \ L ein.

Aktualisiert: 3 Oktober 2026

Berechnen Sie die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung an jedem Punkt eines Kragträgers mit einer Einzellast an seinem Ende. Geben Sie Last, Elastizitätsmodul, Flächenträgheitsmoment, Balkenlänge und die gewünschte Position ein.

Kragträger mit Endlast – Analyse

Formel für den Kragträger mit Last am freien Ende

Formel

\[ \theta = \frac{P \, L^2}{2 E I} \qquad \delta_x = \frac{P \, x^2 (3L - x)}{6 E I} \]

Dabei bedeuten:

\(P\) — aufgebrachte Last am freien Ende (lbs oder N)
\(L\) — Länge des Balkens von der Einspannung bis zum freien Ende (Zoll oder m)
\(E\) — Elastizitätsmodul des Materials (psi oder Pa)
\(I\) — Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts (Zoll⁴ oder m⁴)
\(x\) — Abstand von der Einspannung bis zu dem Punkt, an dem die Durchbiegung berechnet wird
\(\theta\) — Neigung (Verdrehung) am freien Ende, im Bogenmaß (rad)
\(\delta_x\) — vertikale Durchbiegung an der Position \(x\)

Die erste Formel liefert die Verdrehung des Balkens an seinem Ende; die zweite liefert die Durchbiegung in beliebiger Entfernung \(x\) von der Einspannung. Setzt man in der zweiten Formel \(x = L\), ergibt sich die bekannte maximale Durchbiegung am Ende \(\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}\).

Kragträger mit Last am freien Ende – Rechenbeispiel

Beispiel: Ein Stahl-Kragträger mit einer Länge von 120 Zoll trägt an seinem freien Ende eine Last von 500 lbs. Der Stahl hat einen Elastizitätsmodul von 29.000.000 psi, und der Querschnitt ein Flächenträgheitsmoment von 150 Zoll⁴. Gesucht sind die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung in 100 Zoll Abstand von der Einspannung.

\[ \theta = \frac{P L^2}{2 E I} = \frac{500 \times 120^2}{2 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{7{,}200{,}000}{8{,}700{,}000{,}000} = 0.008276 \text{ rad} \]

\[ \delta = \frac{P x^2 (3L - x)}{6 E I} = \frac{500 \times 100^2 \times (3 \times 120 - 100)}{6 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{1{,}300{,}000{,}000}{26{,}100{,}000{,}000} = 0.0498 \text{ Zoll} \]

Ergebnis: Die Neigung am freien Ende beträgt 0,0083 rad (etwa 0,47°), und der Balken biegt sich in 100 Zoll Abstand von der Wand um 0,0498 Zoll durch. Am äußersten Ende (\(x = L\)) erreicht die Durchbiegung ihr Maximum von 0,0662 Zoll.

So benutzen Sie den Rechner

Geben Sie die aufgebrachte Last \(P\) in lbs ein – die Kraft, die am freien Ende des Balkens wirkt.
Geben Sie den Elastizitätsmodul \(E\) in psi ein. Für Stahl verwenden Sie etwa 29.000.000 psi, für Aluminium etwa 10.000.000 psi, für Holz je nach Holzart etwa 1.000.000–1.600.000 psi.
Geben Sie das Flächenträgheitsmoment \(I\) des Balkenquerschnitts in Zoll⁴ ein. Für einen Rechteckquerschnitt gilt \(I = \frac{b h^3}{12}\), wobei \(h\) die Abmessung in Richtung der Biegung ist.
Geben Sie die Balkenlänge \(L\) in Zoll ein, gemessen von der Einspannung bis zu dem Punkt, an dem die Last angreift.
Geben Sie den Durchbiegungspunkt \(x\) in Zoll ein – den Abstand vom eingespannten Ende, an dem Sie die Durchbiegung kennen möchten. Verwenden Sie \(x = L\) für die maximale Durchbiegung am Ende.
Lesen Sie die Neigung am freien Ende (im Bogenmaß) und die Durchbiegung an Ihrem gewählten Punkt (in Zoll) ab.

Was ist ein Kragträger mit Endlast?

Ein Kragträger ist an einem Ende starr eingespannt – in eine Wand, eine Stütze oder ein Fundament – und am anderen Ende völlig frei. Wirkt eine einzelne Einzellast \(P\) am freien Ende, biegt sich der Balken nach unten, wobei Durchbiegung und Neigung an der Einspannung null sind und die größte Bewegung am Ende auftritt. Dies ist einer der grundlegendsten Fälle der Strukturmechanik, und er tritt in der Praxis überall auf: Balkonplatten, Flugzeugflügel, Sprungbretter, Wandkonsolen, Schilderpfosten und Roboterarme verhalten sich im Wesentlichen wie Kragträger.

Der Rechner beruht auf der Standardlösung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie für diesen Lastfall. Die durchgebogene Form ist eine glatte kubische Kurve: An der Wand bewegt sich nichts, und die Durchbiegung wächst zum freien Ende hin rasch an. Da die Durchbiegungsformel Terme mit \(x^2\) und \(x^3\) enthält, hat eine Verdopplung von Last oder Länge dramatische Auswirkungen – die Durchbiegung skaliert linear mit \(P\), aber mit der dritten Potenz der Länge. Ein doppelt so langer Balken biegt sich unter derselben Endlast achtmal so stark durch.

Das Ergebnis Neigung sagt Ihnen, wie stark sich der Balken am Ende verdreht, im Bogenmaß. Kleine Werte sind bei steifen Tragwerken normal; wenn Sie Grad benötigen, multiplizieren Sie den Bogenmaßwert mit \(\frac{180}{\pi} \approx 57,3\). Das Ergebnis Durchbiegung sagt Ihnen, wie weit der Balken an Ihrem gewählten Punkt durchhängt. Die meisten Bemessungsnormen begrenzen die Durchbiegung auf einen Bruchteil der Spannweite – zum Beispiel \(L/240\) oder \(L/360\) für Nutzlasten im Hochbau. Für den obigen Beispielbalken gilt \(L/240 = 0,5\) Zoll; eine Durchbiegung am Ende von 0,066 Zoll würde eine solche Grenze also problemlos einhalten.

Annahmen und Grenzen

Kleine Durchbiegungen: Die Formeln setzen voraus, dass die Neigung klein ist (in der Regel deutlich unter 0,1 rad) und dass die Last senkrecht aufgebracht wird. Bei großen Verdrehungen werden die Ergebnisse ungenau.
Linear elastisches Material: Das Material muss unterhalb seiner Streckgrenze bleiben, und \(E\) muss über die gesamte Balkenlänge konstant sein.
Konstanter Querschnitt: \(I\) wird als über die gesamte Länge gleichbleibend angenommen. Ein konisch zulaufender oder abgesetzter Balken erfordert eine genauere Analyse.
Starre Einspannung: Wand bzw. Auflager werden als vollkommen starr angenommen. In Wirklichkeit erhöhen die Nachgiebigkeit der Verbindung oder eine Verdrehung am Fuß die tatsächliche Durchbiegung.
Last nur ganz am Ende: Wenn die Last verteilt ist, an einem Zwischenpunkt angreift oder mit anderen Lasten kombiniert wird, wenden Sie die Superposition mit Bedacht an oder verwenden Sie einen anderen Lastfall. Das Eigengewicht des Balkens ist nicht enthalten, sofern Sie es nicht als gleichwertige Last hinzufügen.
Nur Durchbiegung: Dieses Werkzeug berechnet kein Biegemoment und keine Querkraft. Bei einer Endlast beträgt das maximale Biegemoment \(M = P L\) an der Einspannung – prüfen Sie die Spannungen vor der endgültigen Bemessung immer separat.

Bei der Dimensionierung realer Bauteile ist die Durchbiegung nur eine von mehreren Prüfungen. Möglicherweise möchten Sie auch Tragfähigkeitsgrenzen überprüfen, zum Beispiel mit dem Rechner für die maximale Verkehrslast von Decken, oder eine aufliegende Platte mit dem Rechner für die maximale Wandlast auf einer Betonplatte nachweisen. Wenn Ihr Kragträger Teil einer Dachkonstruktion ist, kann Ihnen der Sparrenlängen-Rechner bei der Anordnung der tragenden Bauteile helfen.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Durchbiegung eines Kragträgers von Hand?

Verwenden Sie die Formel \( heta = rac{P L^2}{2 E I} \) für die Neigung am Ende sowie \\( \\theta = \frac{P L^2}{2 E I} \) für die Neigung und \\( \\delta_x = \frac{P x^2 (3L - x)}{6 E I} \) für die Durchbiegung. Gehen Sie Schritt für Schritt vor: Quadrieren Sie die Länge, multiplizieren Sie sie mit der Last und teilen Sie anschließend durch \\( 2 E I \) oder \\( 6 E I \). Halten Sie alle Einheiten konsistent – wenn \\( E \) in psi angegeben ist, müssen \\( P \), \\( L \) und \\( x \) in lbs, Zoll und Zoll vorliegen. Die Durchbiegung ergibt sich dann direkt in Zoll.

Kann ich diesen Rechner mit metrischen Einheiten (N, mm, MPa) verwenden?

Ja, solange Sie einheitlich bleiben. Wenn Sie \\( P \) in Newton, \\( E \) in Pascal (oder MPa mit Längen in mm und \\( I \) in mm⁴) sowie \\( L \) und \\( x \) in Metern eingeben, erhalten Sie die Ergebnisse in Metern. Eine gängige metrische Kombination ist \\( P \) in N, \\( E \) in MPa (N/mm²), \\( I \) in mm⁴ und Längen in mm – dies ergibt die Durchbiegung in mm und die Neigung im Bogenmaß. Mischen Sie niemals psi mit metrischen Längen.

Wie groß ist die maximale Durchbiegung eines Kragträgers mit Endlast?

Die größte Durchbiegung tritt am freien Ende auf, \\( x = L \): \\( \\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I} \). Beachten Sie die kubische Abhängigkeit von der Länge – ein doppelt so langer Balken biegt sich achtmal so stark durch. Wenn Sie diesen Endwert im Rechner benötigen, geben Sie als Durchbiegungspunkt \\( x \) einfach die Balkenlänge \\( L \) ein.

Wie finde ich das Flächenträgheitsmoment I für meinen Balken?

Das hängt vom Querschnitt ab. Für ein massives Rechteck gilt \\( I = \frac{b h^3}{12} \), wobei \\( h \) die in Richtung der Biegung liegende Abmessung ist – die größere Abmessung senkrecht zu orientieren, erhöht die Steifigkeit erheblich. Für einen Kreisquerschnitt gilt \\( I = \frac{\pi d^4}{64} \). Für genormte Stahlprofile (I-Träger, U-Profile, Rohre) suchen Sie den tabellierten Wert in einer Profiltafel heraus, und für zusammengesetzte Querschnitte kombinieren Sie die Teile mit dem Satz von Steiner.

Welche Durchbiegung ist noch akzeptabel?

Die meisten Bauvorschriften begrenzen die Durchbiegung auf einen Bruchteil der Spannweite. Bei Kragarmen wird der Grenzwert üblicherweise auf die doppelte Auskragungslänge bezogen, sodass eine Prüfung nach \\( L/240 \) \\( \\frac{2L}{240} \) bedeutet, wobei \\( L \) die Kraglänge ist. Übliche Grenzwerte für Nutzlasten sind \\( L/360 \) für leicht rissende Ausbauten und \\( L/240 \) für unempfindlichere Situationen. Prüfen Sie immer die maßgebende Norm, und bedenken Sie, dass die Durchbiegung allein noch keine sichere Bemessung bestätigt – kontrollieren Sie auch Biegespannung und Querkraft.

Warum ist meine berechnete Neigung im Bogenmaß angegeben, und wie rechne ich sie in Grad um?

Das Bogenmaß ist in der Balkentheorie üblich, weil sich die Formeln direkt aus der Analysis herleiten. Zur Umrechnung multiplizieren Sie mit \\( \frac{180}{\pi} \approx 57.296 \): Eine Neigung von 0,05 rad entspricht etwa 2,86 Grad. Übersteigt Ihre Neigung etwa 0,1 rad (rund 5,7°), beginnt die hinter den Formeln stehende Annahme kleiner Durchbiegungen zusammenzubrechen, und die Ergebnisse werden zunehmend ungenauer.

Funktioniert dies auch für eine verteilte Last oder eine Last, die irgendwo entlang des Balkens angreift?

Nein – diese Formeln gelten nur für eine einzelne Einzellast ganz am Ende. Bei einer gleichmäßig verteilten Last beträgt die Durchbiegung am Ende \\( \frac{w L^4}{8 E I} \) und die Neigung am Ende \\( \frac{w L^3}{6 E I} \). Für eine Last an einem Zwischenpunkt im Abstand \\( a \) vom Auflager gelten andere Fallformeln. Unabhängige Lastfälle können Sie durch Superposition kombinieren (Durchbiegungen und Neigungen addieren), da die zugrunde liegende Theorie linear ist.