Kragbalken mit Last an beliebiger Stelle – Rechner
Berechnen Sie Neigung und Durchbiegung eines Kragbalkens mit einer Einzellast, die an beliebiger Stelle entlang seiner Länge angreift. Geben Sie Last, Balkeigenschaften, Lastposition und Auswertepunkt ein und erhalten Sie sofort Ergebnisse.
Durchbiegung eines Kragbalkens mit Einzellast analysieren
Formel für den Kragbalken mit Last an beliebiger Stelle
Dabei ist:
- \(P\) — angreifende Einzellast (lbs)
- \(E\) — Elastizitätsmodul des Balkenwerkstoffs (psi)
- \(I\) — Flächenträgheitsmoment des Querschnitts (in⁴)
- \(L\) — Gesamtlänge des Balkens (in)
- \(a\) — Abstand von der Einspannung bis zur Last (in)
- \(x\) — Abstand von der Einspannung bis zu dem Punkt, an dem die Durchbiegung ausgewertet wird (in)
Die Formel für die Neigung liefert die Verdrehung am freien Ende des Balkens. Die Formel für die Durchbiegung ist stückweise definiert: Der erste Ausdruck gilt zwischen der Einspannung und der Last, der zweite von der Last bis zum freien Ende, wo sich der Balken geradlinig (als starrer Körper) weiterbewegt.
Kragbalken mit Last an beliebiger Stelle – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Stahlkragbalken ist 120 in lang und hat \(E = 29{,}000{,}000\) psi und \(I = 150\) in⁴. Eine Last von 500 lbs greift 80 in von der Einspannung entfernt an. Gesucht sind die Neigung am freien Ende und die Durchbiegung 90 in von der Einspannung entfernt.
\[ \theta_{free} = \frac{P a^2}{2 E I} = \frac{500 \times 80^2}{2 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{3{,}200{,}000}{8{,}700{,}000{,}000} = 0.000368 \text{ rad} \]
Da der Auswertepunkt der Durchbiegung \(x = 90\) in hinter der Last \(a = 80\) in liegt, wird der zweite Ausdruck verwendet:
\[ \delta = \frac{P a^2 (3x - a)}{6 E I} = \frac{500 \times 80^2 \times (3 \times 90 - 80)}{6 \times 29{,}000{,}000 \times 150} = \frac{608{,}000{,}000}{26{,}100{,}000{,}000} = 0.0233 \text{ in} \]
Ergebnis: Die Neigung am freien Ende beträgt ungefähr 0,000368 rad (etwa 0,021°) und die Durchbiegung 90 in von der Einspannung beträgt 0,0233 in nach unten.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie die Last \(P\) in Pfund (lbs) ein — die Einzellast, die auf den Balken wirkt.
- Geben Sie den Elastizitätsmodul \(E\) in psi ein. Für Stahl ist dies typischerweise 29.000.000 psi; für Aluminium etwa 10.000.000 psi.
- Geben Sie das Flächenträgheitsmoment \(I\) in in⁴ für den Balkenquerschnitt ein (aus gängigen Profiltabellen erhältlich).
- Geben Sie die Balkenlänge \(L\) in Zoll ein, gemessen von der Einspannung bis zum freien Ende.
- Geben Sie die Lastposition \(a\) in Zoll ein — den Abstand von der Einspannung bis zum Angriffspunkt der Last. Sie muss zwischen 0 und \(L\) liegen.
- Geben Sie den Durchbiegungspunkt \(x\) in Zoll ein — den Abstand von der Einspannung, an dem Sie die Durchbiegung ermitteln möchten.
- Lesen Sie die Neigung am freien Ende (im Bogenmaß) und die Durchbiegung (in Zoll) unterhalb der Eingabefelder ab.
Was ist ein Kragbalken mit Last an beliebiger Stelle?
Ein Kragbalken ist an einem Ende starr eingespannt und am anderen Ende frei. In vielen praktischen Fällen greift die Last nicht an der freien Spitze an — zum Beispiel bei einem Rohr oder einer Leitung, das auf halber Strecke von einer Konsole getragen wird, einem Schild, das mittig an einem Auslegerarm befestigt ist, oder einer Maschine, die an einen Plattformauslauf geschraubt ist. In diesen Fällen liegt die Last im Abstand \(a\) von der Einspannung, und der Balkenabschnitt jenseits der Last trägt kein Biegemoment; er dreht sich lediglich wie ein starrer Körper.
Das verändert die durchgebogene Form gegenüber einem an der Spitze belasteten Kragbalken. Zwischen der Einspannung und der Last folgt der Balken einer gekrümmten elastischen Linie, die durch die erste Formel beschrieben wird. Jenseits der Last bleibt der Balken gerade, aber geneigt, sodass jeder Punkt in diesem Bereich gemäß der zweiten Formel ausweicht. Die maximale Durchbiegung tritt immer am freien Ende auf; ihr Wert ergibt sich, indem \(x = L\) in den zweiten Ausdruck eingesetzt wird: \(\delta_{max} = \frac{P a^2 (3L - a)}{6EI}\).
Die Neigung am freien Ende hängt nur von der Größe der Last und ihrem Abstand von der Einspannung ab, nicht davon, wo entlang des Balkens man sie anschließend misst — der Abschnitt jenseits der Last dreht sich gleichförmig. Eine kleine Neigung im Bogenmaß bedeutet einen nahezu horizontalen Balken; multiplizieren Sie sie mit \(57.3\), um sie bei Bedarf in Grad umzurechnen.
Die Interpretation des Ergebnisses besteht meist darin, die Durchbiegung mit einem Grenzwert zu vergleichen. Viele Normen begrenzen die Durchbiegung von Balken unter Verkehrslast auf \(L/360\) oder \(L/240\). Für den Beispielsbalken oben gilt \(L/360 = 120/360 = 0.333\) in, sodass eine Durchbiegung von 0,0233 in deutlich innerhalb dieses Grenzwerts liegt. Wenn Sie eine Bodenfläche oder Plattform umfassender prüfen möchten, können Sie auch die gesamte Tragfähigkeit mit dem Rechner Maximale Verkehrslastkapazität von Böden überprüfen.
Annahmen und Grenzen
- Theorie kleiner Durchbiegungen: Die Formeln setzen voraus, dass die Durchbiegungen im Verhältnis zur Balkenlänge klein sind und das Material linear-elastisch bleibt (unterhalb der Streckgrenze).
- Starre, vollkommen feste Einspannung: Jede Verdrehung oder Nachgiebigkeit an der Verankerung erhöht die tatsächlichen Durchbiegungen über die berechneten Werte hinaus.
- Nur Einzellast: Das Eigengewicht des Balkens und verteilte Lasten bleiben unberücksichtigt. Bei schweren Profilen das Eigengewicht als separate Prüfung hinzufügen.
- Konstanter Querschnitt: \(E\) und \(I\) sind über die gesamte Länge gleich. Ein konisch zulaufender oder abgestufter Balken erfordert eine genauere Analyse.
- Konsistente Einheiten: Dieser Rechner arbeitet mit Pfund (lbs), psi, Zoll und in⁴. Liegen Ihre Daten in metrischen Einheiten vor, rechnen Sie sie vorher um oder interpretieren Sie die Ausgaben entsprechend (die Formeln selbst sind einheitenunabhängig, solange die Eingaben konsistent sind).
- Vorzeichenkonvention: Das Ergebnis der Durchbiegung ist ein Betrag; eine Durchbiegung nach unten unter einer nach unten wirkenden Last ist impliziert.
Wenn Ihr Entwurf Lasten betrifft, die direkt auf eine Bodenplatte und nicht auf ein Kragbauteil wirken, siehe den Rechner Maximale Wandlast auf einer Betonplatte, oder prüfen Sie die erforderlichen Mengen für die tragende Struktur mit dem Werkzeug Betonbedarf.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Durchbiegung von Hand, ohne den Rechner?
Prüfen Sie zuerst, wo Ihr Auswertepunkt relativ zur Last liegt. Wenn \(x \leq a\), berechnen Sie \(\delta = \frac{P x^2 (3a - x)}{6EI}\). Wenn \(x \geq a\), berechnen Sie \(\delta = \frac{P a^2 (3x - a)}{6EI}\). Multiplizieren Sie zuerst P mit den Abstandstermen und dividieren Sie dann durch \(6EI\). Mit Einheiten in lbs, psi und Zoll ergibt sich die Durchbiegung direkt in Zoll.
Kann ich diesen Rechner mit metrischen Einheiten (N, mm, MPa) verwenden?
Ja, aber alle Eingaben müssen dasselbe Einheitensystem verwenden. Mit Newton, Megapascal (N/mm²) und Millimetern ergibt sich die Durchbiegung in Millimetern und die Neigung im Bogenmaß. Die Formeln sind einheitenunabhängig, solange Sie konsistent bleiben — die Kombination von Pfund mit Millimetern liefert sinnlose Ergebnisse. Rechnen Sie alle Eingaben um, bevor Sie sie eingeben.
Was passiert, wenn die Last genau am freien Ende angreift (a = L)?
Die Formeln reduzieren sich auf den klassischen Fall des an der Spitze belasteten Kragbalkens: \(\delta_{tip} = \frac{P L^3}{3EI}\) und \(\theta = \frac{P L^2}{2EI}\). Das ist eine gute Plausibilitätsprüfung. Wenn Ihre Ergebnisse bei a = L nicht mit diesen bekannten Werten übereinstimmen, enthalten Ihre Einheiten oder Eingaben wahrscheinlich einen Fehler.
Was gilt als zulässige Durchbiegung für einen Kragbalken?
Übliche Grenzwerte sind \(L/180\), \(L/240\) oder \(L/360\) der Spannweite, je nach Anwendung und einschlägiger Baunorm. Für eine verputzte Decke oder spröde Oberflächen ist \(L/360\) typisch; für eine einfache Plattform kann \(L/240\) genügen. Prüfen Sie immer gegen die konkrete Norm, die für Ihr Projekt gilt, und bedenken Sie, dass Kragdurchbiegungen mit der dritten Potenz der Länge wachsen.
Warum ist der Balken jenseits des Lastpunkts gerade?
Jenseits der Last gibt es kein Biegemoment, weil auf dieses Segment keine Kraft wirkt. Es überträgt nur die von der Last übertragene konstante Querkraft, bleibt also gerade und neigt sich lediglich mit der Neigung, die an der Lastposition besteht. Deshalb ist die zweite Formel linear in \(x\) — jeder Punkt jenseits der Last biegt sich durch, als wäre er an einer starren, verdrehten Verlängerung befestigt.
Was sind die häufigsten Fehler bei der Verwendung dieser Formeln?
Die größten sind die Vermischung von Einheitensystemen (psi mit metrischen Längen), das Messen von \(x\) oder \(a\) vom freien Ende statt von der Einspannung und die Verwendung des falschen Zweigs der stückweisen Formel, wenn \(x\) und \(a\) nahe beieinander liegen. Prüfen Sie außerdem, ob \(E\) in psi und nicht in ksi angegeben ist — ein vergessener Faktor 1000 unterschätzt die Durchbiegung um drei Zehnerpotenzen.
Berücksichtigt der Rechner das Eigengewicht des Balkens?
Nein. Die Formeln erfassen nur die einzelne Einzellast \(P\). Bei einem Balken mit erheblichem Eigengewicht schätzen Sie die Gleichstreckenlast \(w\) (Gewicht pro Zoll) ab und addieren die zusätzliche Durchbiegung an der Spitze \(\frac{w L^4}{8EI}\) aus dem Eigengewicht allein. Bei leichten Konsolen und kurzen Spannweiten ist diese Korrektur meist vernachlässigbar; bei langen, schweren Profilen kann sie relevant sein.