Hohmann-Transfer-Rechner
Berechnen Sie die beiden Zündungen, das Gesamt-Delta-v und die Transferdauer eines Hohmann-Transfers zwischen zwei koplanaren Kreisbahnen. Geben Sie den Gravitationsparameter und die beiden Bahnradien ein.
Delta-v und Transferzeit zwischen zwei Kreisbahnen berechnen
Formel zum Hohmann-Transfer
Dabei bedeuten:
- \(\mu\) — Gravitationsparameter des Zentralkörpers, \(\mu = GM\) (km³/s²)
- \(r_1\) — Radius der Anfangskreisbahn, gemessen vom Mittelpunkt des Körpers (km)
- \(r_2\) — Radius der Zielkreisbahn (km)
- \(\Delta v_1, \Delta v_2\) — Geschwindigkeitsänderungen der ersten und zweiten Zündung (km/s)
- \(a\) — große Halbachse der Transferellipse (km)
- \(t\) — Transferdauer, also die halbe Umlaufzeit der Transferellipse (s)
Die erste Formel liefert das Manöver bei \(r_1\), um in eine Ellipse einzuschwenken, die beide Kreisbahnen berührt; die zweite liefert die Zündung eine halbe Umdrehung später bei \(r_2\), mit der die Bahn wieder kreisförmig gemacht wird. Das Gesamt-Delta-v ist die Summe der beiden Beträge: \(\Delta v = |\Delta v_1| + |\Delta v_2|\).
Hohmann-Transfer – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Raumschiff in einem 300 km hohen erdnahen Orbit (Radius \(r_1 = 6678\) km) soll in eine geostationäre Bahn (Radius \(r_2 = 42{,}164\) km) gebracht werden. Für die Erde gilt \(\mu = 398{,}600.44\) km³/s².
\[ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{398600.44}{6678}} \left( \sqrt{\frac{2 \times 42164}{6678 + 42164}} - 1 \right) = 7.726 \times 0.3140 = 2.426 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{398600.44}{42164}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 \times 6678}{48842}} \right) = 3.075 \times 0.4771 = 1.467 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v = 2.426 + 1.467 = 3.893 \text{ km/s} \]
\[ t = \pi \sqrt{\frac{24421^3}{398600.44}} \approx 18{,}986 \text{ s} \approx 5.27 \text{ h} \]
Ergebnis: Das Raumschiff zündet 2,426 km/s, um in die Transferellipse einzuschwenken, und weitere 1,467 km/s, um im GEO die Kreisbahn zu erreichen — zusammen 3,893 km/s. Der Transfer selbst dauert rund 5,27 Stunden (die Hälfte der 10,55-stündigen Umlaufzeit der Transferellipse).
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie den Gravitationsparameter (μ) des Zentralkörpers ein und wählen Sie die Einheit (km³/s² oder m³/s²). Für die Erde verwenden Sie 398.600,44 km³/s²; in den Feldbeschreibungen finden Sie Werte für Mond, Sonne und Mars.
- Geben Sie den Anfangsbahnradius (r₁) ein. Das ist die Entfernung vom Mittelpunkt des Körpers, nicht die Flughöhe. Wenn Sie nur die Höhe kennen, addieren Sie zunächst den Körperradius (Erde ≈ 6.371 km).
- Geben Sie den Zielbahnradius (r₂) auf dieselbe Weise ein und wählen Sie für beide Radien km, m oder Meilen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Erste Geschwindigkeitsänderung (Δv₁), Zweite Geschwindigkeitsänderung (Δv₂), Gesamt-Delta-v, Transferdauer sowie eine Detailtabelle mit den Geschwindigkeiten auf der Kreis- und der Transferbahn, der großen Halbachse der Transferellipse und den Umlaufzeiten beider Bahnen.
Was ist ein Hohmann-Transfer?
Ein Hohmann-Transfer bringt ein Raumschiff mit genau zwei Zündungen von einer Kreisbahn in eine andere, wenn beide Bahnen in derselben Ebene liegen. Zuerst zündet das Triebwerk in Flugrichtung (bei einem Transfer in eine niedrigere Bahn entgegen der Flugrichtung), wodurch die gegenüberliegende Seite der Bahn angehoben — oder abgesenkt — wird, sodass eine Ellipse entsteht, die beide Kreisbahnen berührt. Am anderen Ende dieser Ellipse, eine halbe Umdrehung später, passt eine zweite Zündung die Geschwindigkeit an die Zielkreisbahn an. Da die Ellipse beide Bahnen genau einmal berührt, ist die Geometrie vollkommen symmetrisch, und die Manöver fallen so klein aus, wie es die Geometrie überhaupt erlaubt.
Walter Hohmann beschrieb dieses Manöver 1925; später wurde bewiesen, dass es der treibstoffsparendste Transfer zwischen koplanaren Kreisbahnen mit nur zwei Impulsen ist. Diese Effizienz machte ihn zum Standard für Bahnhebemanöver: Kommunikationssatelliten, die in den geostationären Orbit gelangen, und interplanetare Sonden, die zwischen Planetenbahnen um die Sonne unterwegs sind, folgen alle einer Hohmann-ähnlichen Bahn. Der klassische Transfer von der Erde zum Mars beispielsweise ist eine Hohmann-Ellipse um die Sonne und dauert etwa 8,5 Monate.
Die eigentlichen „Treibstoffkosten“ des Manövers sind das Gesamt-Delta-v. Zusammen mit der Raketengrundgleichung bestimmt es, wie viel Treibstoff das Raumschiff mitführen muss — deshalb vergleichen Missionsplaner Transfers fast ausschließlich in km/s. Die Transferdauer — die halbe Umlaufzeit der Ellipse — ist der Preis für diese Effizienz: Ein Hohmann-Transfer ist die langsamste sinnvolle Route mit zwei Zündungen. Schnellere Transfers gibt es zwar, sie erfordern aber größere Manöver und eine anders geformte Bahn.
Achten Sie bei der Interpretation der Ergebnisse auf die Richtung des Manövers. Nach außen (Bahn anheben) sind beide Zündungen Beschleunigungen. Nach innen sind beide Zündungen Bremsmanöver — der Rechner zeigt deren Beträge an, denn ein Bremsmanöver verbraucht genauso viel Treibstoff.
Annahmen, Grenzen und praktische Hinweise
- Koplanare Kreisbahnen. Sind die Bahnen gegeneinander geneigt, kommen Bahnänderungsmanöver zu den hier angezeigten Werten hinzu, und die optimale Aufteilung der Zündungen verschiebt sich.
- Impulszündungen. Reale Triebwerke brennen Minuten lang, nicht augenblicklich, was kleine Schwerkraftverluste verursacht; Antriebe mit geringem Schub (elektrische Antriebe) nutzen eine völlig andere, spiralförmige Bahn.
- Punktförmiger Körper, keine Störungen. Atmosphärischer Widerstand in sehr niedrigen Bahnen, die Abplattung des Körpers und die Anziehung dritter Körper werden vernachlässigt. Im erdnahen Orbit senkt der Luftwiderstand die Bahn laufend ab und muss separat ausgeglichen werden.
- Radien, nicht Höhen. Der häufigste Eingabefehler ist die Verwendung der Flughöhe. Radius = Höhe + Körperradius; das Standardbeispiel (300 km Höhe → 6.678 km Radius) zeigt die Umrechnung für die Erde.
- Sehr große Radienverhältnisse. Wenn \(r_2/r_1\) etwa 11,9 übersteigt, kann ein bielliptischer Transfer (drei Zündungen über eine sehr hohe Zwischenbahn) den Hohmann-Transfer beim Gesamt-Delta-v schlagen — auf Kosten einer deutlich längeren Flugzeit.
- Interplanetare Transfers. Verwenden Sie das \(\mu\) der Sonne (1,32712×10¹¹ km³/s²) und die Bahnradien der beiden Planeten, und bedenken Sie, dass die Planeten zum Abflugzeitpunkt die richtige Stellung zueinander haben müssen.
Zur schnellen Übersicht die üblichen Gravitationsparameter: Erde 398.600,44 km³/s², Mond 4.902,8 km³/s², Mars 42.828,4 km³/s², Sonne 1,32712×10¹¹ km³/s². Nützliche Bahnradien: LEO ≈ 6.678 km, GPS ≈ 26.560 km, GEO = 42.164 km, Mondbahn ≈ 384.400 km — alle gemessen vom Erdmittelpunkt.
Häufig gestellte Fragen
Warum weicht meine Handrechnung vom Ergebnis des Rechners ab?
Die zwei häufigsten Ursachen sind Einheiten- und Radiusfehler. Wenn Sie \(\mu\) in m³/s² eingegeben haben, die Radien aber in km, weichen die Geschwindigkeiten um den Faktor \(\sqrt{10^9} \approx 31{,}623\) ab. Kombinieren Sie immer km³/s² mit km oder m³/s² mit m. Die zweite Ursache ist die Verwendung der Höhe statt des Radius: Denken Sie an \(r = \text{Höhe} + R_{Körper}\); 300 km über der Erde bedeuten also \(r = 6{,}671 + 300 \approx 6{,}678\) km.
Welche Delta-v-Werte sind für typische Hohmann-Transfers üblich?
Einige Richtwerte: Von LEO in den GEO kosten rund 3,9 km/s, von LEO in die Mondbahn etwa 3,1 km/s, und der heliozentrische Hohmann-Transfer von der Erde zum Mars benötigt etwa 5,6 km/s für Ab- und Anflugmanöver zusammen. Kleine Bahnhebungen innerhalb des LEO, etwa von 400 km auf 800 km, kosten nur einige zehn m/s. Liegt Ihr Ergebnis weit außerhalb dieser Größenordnungen, prüfen Sie, ob Sie Radien oder Höhen verwendet haben.
Berücksichtigt der Rechner Bahnänderungen oder Bahnneigungsunterschiede?
Nein. Ein reiner Hohmann-Transfer setzt voraus, dass beide Bahnen in derselben Ebene liegen. Ist die Zielbahn geneigt, benötigen Sie ein zusätzliches Bahnänderungsmanöver mit \(\Delta v = 2v\sin(\Delta i/2)\), wobei \(v\) die Bahngeschwindigkeit am Ort des Manövers ist. Bahnänderungen sind in großer Höhe am billigsten, weil die Geschwindigkeit dort gering ist — deshalb kombinieren Missionsplaner sie oft mit der Zirkularisierungszündung im Apogäum, statt sie separat auszuführen.
Wie finde ich das richtige Startfenster für einen interplanetaren Hohmann-Transfer?
Die Transferdauer des Raumschiffs muss zur Bewegung des Zielplaneten passen. Berechnen Sie zunächst die Transferdauer \(t\) mit diesem Rechner und ermitteln Sie dann, wie weit der Zielplanet in dieser Zeit zurücklegt: \(\theta = 360° \cdot t/T_{Ziel}\), wobei \(T_{Ziel}\) die Umlaufzeit des Zielplaneten ist. Der erforderliche Phasenwinkel zwischen den beiden Planeten zum Abflugzeitpunkt beträgt \(180° - \theta\). Für die Erde-Mars-Route ergibt das etwa 44° — deshalb kehren die Mars-Startfenster ungefähr alle 26 Monate wieder.
Kann ich diesen Rechner für elliptische oder exzentrische Ausgangsbahnen verwenden?
Nein, die Formeln gelten nur zwischen Kreisbahnen. Bei einer elliptischen Ausgangsbahn hängen die Manöver davon ab, an welcher Stelle der Ellipse gezündet wird, und ein einfacher Zwei-Impuls-Transfer mit Berührungspunkten ist in der Regel nicht anwendbar. Für exzentrische Bahnen brauchen Sie ein allgemeineres Lambert-Lösungsverfahren, das eine Bahn zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum findet. Nur bei schwach exzentrischen Bahnen (e < 0,01, wie bei den meisten operativen Bahnen) liegen die Ergebnisse nahe am kreisförmigen Fall.
Wie rechne ich das Gesamt-delta-v in den benötigten Treibstoff um?
Verwenden Sie die Raketengrundgleichung von Ziolkowski \(\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)\), wobei \(v_e\) die Ausströmgeschwindigkeit ist und \(m_0\), \(m_f\) die Start- und Endmassen. Umgestellt: \(m_0 = m_f \cdot e^{\Delta v / v_e}\). Der Treibstoffanteil wächst mit dem Delta-v sehr schnell an — deshalb kämpfen Missionsplaner um jedes m/s. So bedeuten beispielsweise 3,9 km/s für den LEO-GEO-Transfer mit einem chemischen Triebwerk (\(v_e \approx 3\) km/s), dass mehr als 70 % der Startmasse Treibstoff sind.
Ist ein Hohmann-Transfer immer die beste Wahl?
Nicht immer. Er ist der effizienteste Transfer mit zwei Zündungen zwischen koplanaren Kreisbahnen, aber nicht zwangsläufig die beste Lösung insgesamt. Überschreitet das Radienverhältnis \(r_2/r_1\) etwa 11,9, kann ein bielliptischer Transfer mit drei Zündungen günstiger sein. Spielt die Zeit eine Rolle, gibt es schnellere Transfers mit größeren Manövern. Und Raumfahrzeuge mit elektrischem Antrieb nutzen kontinuierliche Spiralen mit geringem Schub, die die Bahn langsam anheben — sie kosten zwar etwas mehr Delta-v, dank ihrer hohen Ausströmgeschwindigkeit aber deutlich weniger Treibstoff.