Calculadora de transferencia de Hohmann
Calcula los dos encendidos, el delta-v total y el tiempo de transferencia de una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares coplanarias. Introduce el parámetro gravitacional y los radios de las dos órbitas.
Calcula el delta-v y el tiempo de transferencia entre dos órbitas circulares
Fórmula de la transferencia de Hohmann
Donde:
- \(\mu\) — parámetro gravitacional del cuerpo central, \(\mu = GM\) (km³/s²)
- \(r_1\) — radio de la órbita circular inicial, medido desde el centro del cuerpo (km)
- \(r_2\) — radio de la órbita circular de destino (km)
- \(\Delta v_1, \Delta v_2\) — cambios de velocidad del primer y del segundo encendido (km/s)
- \(a\) — semieje mayor de la elipse de transferencia (km)
- \(t\) — tiempo de transferencia, es decir, la mitad del periodo orbital de la elipse de transferencia (s)
La primera expresión da el encendido necesario en \(r_1\) para entrar en una elipse que toca ambas órbitas circulares; la segunda da el encendido que hay que hacer media revolución después, en \(r_2\), para circularizar. El delta-v total es la suma de los dos módulos: \(\Delta v = |\Delta v_1| + |\Delta v_2|\).
Transferencia de Hohmann – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: una nave en una órbita terrestre baja de 300 km (radio \(r_1 = 6678\) km) se traslada a la órbita geoestacionaria (radio \(r_2 = 42{,}164\) km). Para la Tierra, \(\mu = 398{,}600.44\) km³/s².
\[ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{398600.44}{6678}} \left( \sqrt{\frac{2 \times 42164}{6678 + 42164}} - 1 \right) = 7.726 \times 0.3140 = 2.426 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{398600.44}{42164}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 \times 6678}{48842}} \right) = 3.075 \times 0.4771 = 1.467 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v = 2.426 + 1.467 = 3.893 \text{ km/s} \]
\[ t = \pi \sqrt{\frac{24421^3}{398600.44}} \approx 18{,}986 \text{ s} \approx 5.27 \text{ h} \]
Resultado: la nave enciende el motor para ganar 2,426 km/s y entrar en la elipse de transferencia, y luego otros 1,467 km/s para circularizar en la órbita geoestacionaria —3,893 km/s en total— y la transferencia en sí dura unas 5,27 horas (la mitad del periodo de 10,55 horas de la elipse de transferencia).
Cómo usar la calculadora
- Introduce el Parámetro gravitacional (μ) del cuerpo central y elige la unidad (km³/s² o m³/s²). Para la Tierra usa 398 600,44 km³/s²; en las descripciones de los campos tienes los valores de la Luna, el Sol y Marte.
- Introduce el Radio de la órbita inicial (r₁). Es la distancia desde el centro del cuerpo, no la altitud. Si solo conoces la altitud, súmale antes el radio del cuerpo (en la Tierra, ≈ 6 371 km).
- Introduce el Radio de la órbita de destino (r₂) de la misma forma, y elige km, m o millas para ambos radios.
- Lee los resultados: Primer cambio de velocidad (Δv₁), Segundo cambio de velocidad (Δv₂), Delta-v total, Tiempo de transferencia, además de una tabla de detalles con las velocidades de las órbitas circulares y de transferencia, el semieje mayor de la elipse de transferencia y los periodos de ambas órbitas.
¿Qué es una transferencia de Hohmann?
Una transferencia de Hohmann lleva una nave de una órbita circular a otra, ambas en el mismo plano, usando exactamente dos encendidos. La nave enciende primero el motor en dirección prograda (o retrógrada, si desciende a una órbita más baja), con lo que eleva —o baja— el punto opuesto de su órbita hasta formar una elipse tangente a las dos circunferencias. En el extremo lejano de esa elipse, media revolución después, un segundo encendido ajusta la velocidad para igualarla a la de la órbita circular de destino. Como la elipse toca cada órbita exactamente una vez, la geometría es perfectamente simétrica y los encendidos son tan pequeños como la geometría permite.
Walter Hohmann describió esta maniobra en 1925, y más tarde se demostró que es la transferencia más eficiente en propelente entre órbitas circulares coplanarias que usa solo dos impulsos. Esa eficiencia la convirtió en el procedimiento estándar para elevar órbitas: los satélites de comunicaciones que alcanzan la órbita geoestacionaria y las sondas interplanetarias que viajan entre las órbitas de los planetas alrededor del Sol siguen todos trayectorias de tipo Hohmann. La clásica transferencia Tierra-Marte, por ejemplo, es una elipse de Hohmann alrededor del Sol que dura unos 8,5 meses.
El delta-v total es el verdadero «coste en combustible» de la maniobra. Combinado con la ecuación del cohete, determina cuánto propelente tiene que llevar la nave, y por eso los planificadores de misiones comparan las transferencias casi exclusivamente en km/s. El tiempo de transferencia —la mitad del periodo de la elipse— es el precio que se paga por esa eficiencia: la transferencia de Hohmann es la ruta razonable de dos encendidos más lenta. Existen transferencias más rápidas, pero necesitan encendidos mayores y una trayectoria de forma diferente.
Fíjate en la dirección de la maniobra al interpretar los resultados. Al ir hacia fuera (elevar la órbita), ambos encendidos son aceleraciones. Al ir hacia dentro, ambos son frenadas —la calculadora muestra sus módulos, ya que una frenada consume igualmente propelente.
Supuestos, limitaciones y consejos prácticos
- Órbitas circulares coplanarias. Si las órbitas están inclinadas entre sí, hacen falta encendidos de cambio de plano adicionales a los valores que aquí se muestran, y el reparto óptimo de los encendidos cambia.
- Encendidos impulsivos. Los motores reales funcionan durante minutos, no de forma instantánea, lo que añade pequeñas pérdidas gravitatorias; la propulsión de bajo empuje (eléctrica) usa una trayectoria completamente distinta, en espiral.
- Cuerpo puntual, sin perturbaciones. Se ignoran el arrastre atmosférico en órbitas muy bajas, el achatamiento del cuerpo y la gravedad de terceros cuerpos. En órbita terrestre baja, el arrastre atmosférico va reduciendo la órbita de forma continua y debe compensarse aparte.
- Radios, no altitudes. El error de entrada más común es introducir la altitud. Radio = altitud + radio del cuerpo; el ejemplo por defecto (300 km de altitud → 6 678 km de radio) muestra la conversión para la Tierra.
- Razones de radios muy grandes. Cuando \(r_2/r_1\) supera aproximadamente 11,9, una transferencia bielíptica (tres encendidos pasando por una órbita intermedia muy alta) puede superar a la de Hohmann en delta-v total, a costa de un tiempo de vuelo mucho mayor.
- Transferencias interplanetarias. Usa el \(\mu\) del Sol (1,32712×10¹¹ km³/s²) y los radios orbitales de los dos planetas, y recuerda que los planetas deben estar correctamente en fase en la salida.
Como referencia rápida, parámetros gravitacionales habituales: Tierra 398 600,44 km³/s², Luna 4 902,8 km³/s², Marte 42 828,4 km³/s² y Sol 1,32712×10¹¹ km³/s². Radios útiles en torno a la Tierra: LEO ≈ 6 678 km, GPS ≈ 26 560 km, GEO = 42 164 km y la órbita de la Luna ≈ 384 400 km, todos medidos desde el centro de la Tierra.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi cálculo a mano no coincide con el resultado de la calculadora?
La causa más frecuente es un error de unidades. Si has introducido \(\mu\) en m³/s² mientras los radios están en km, las velocidades salen mal por un factor de \(\sqrt{10^9} \approx 31{,}623\). Empareja siempre km³/s² con km, o m³/s² con m. La segunda causa es usar la altitud en lugar del radio: recuerda que \(r = \text{altitud} + R_{cuerpo}\), de modo que 300 km sobre la Tierra significan \(r = 6{,}671 + 300 \approx 6{,}678\) km.
¿Qué valores de delta-v son típicos en las transferencias de Hohmann más comunes?
Algunas cifras de referencia: de LEO a GEO cuesta unos 3,9 km/s; de LEO a la órbita de la Luna, unos 3,1 km/s; y la transferencia de Hohmann heliocéntrica Tierra-Marte requiere unos 5,6 km/s sumando los encendidos de salida y de llegada. Los ascensos pequeños dentro de la LEO, por ejemplo de 400 a 800 km, cuestan solo decenas de m/s. Si tu resultado se aleja mucho de estos órdenes de magnitud, comprueba si has usado radios o altitudes.
¿Incluye la calculadora los cambios de plano o las diferencias de inclinación?
No. Una transferencia de Hohmann pura presupone que ambas órbitas están en el mismo plano. Si la órbita de destino está inclinada, necesitas un encendido adicional de cambio de plano con un coste de \(\Delta v = 2v\sin(\Delta i/2)\), donde \(v\) es la velocidad orbital en el punto de la maniobra. Los cambios de plano salen más baratos a gran altura, donde la velocidad es baja, así que los diseñadores de misiones suelen combinarlos con el encendido de circularización en el apogeo en lugar de hacerlos por separado.
¿Cómo encuentro la ventana de lanzamiento adecuada para una transferencia interplanetaria de Hohmann?
El tiempo de transferencia de la nave debe casar con el movimiento del planeta de destino. Calcula el tiempo de transferencia \(t\) con esta calculadora y averigua después cuánto avanza el planeta de destino durante ese tiempo: \(\theta = 360° \cdot t/T_{destino}\), donde \(T_{destino}\) es el periodo orbital del planeta de destino. El ángulo de fase necesario entre los dos planetas en la salida es \(180° - \theta\). Para Tierra-Marte esto da unos 44°, y por eso las ventanas de lanzamiento hacia Marte se repiten aproximadamente cada 26 meses.
¿Puedo usar esta calculadora con órbitas de partida elípticas o excéntricas?
No, las fórmulas solo son válidas entre órbitas circulares. Si tu órbita de partida es elíptica, el tamaño de los encendidos depende del punto de la elipse donde los hagas, y una transferencia tangente sencilla de dos impulsos normalmente no sirve. Para órbitas excéntricas se necesita un enfoque más general basado en el problema de Lambert, que encuentra una trayectoria que une dos puntos arbitrarios del espacio. Dicho esto, las órbitas poco excéntricas (e < 0,01, como la mayoría de las órbitas operativas) dan resultados muy próximos al caso circular.
¿Cómo convierto el delta-v total en la cantidad de propelente necesaria?
Usa la ecuación del cohete de Tsiolkovsky \(\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)\), donde \(v_e\) es la velocidad de eyección de los gases y \(m_0\), \(m_f\) son las masas inicial y final. Despejando: \(m_0 = m_f \cdot e^{\Delta v / v_e}\). La fracción de propelente crece muy deprisa con el delta-v, y por eso los planificadores de misiones pelean por cada m/s. Por ejemplo, una transferencia de LEO a GEO de 3,9 km/s con un motor químico (\(v_e \approx 3\) km/s) implica que más del 70 % de la masa de salida sea propelente.
¿Es la transferencia de Hohmann siempre la mejor opción?
No siempre. Es la transferencia de dos encendidos más eficiente entre órbitas circulares coplanarias, pero no necesariamente la mejor en conjunto. Cuando la razón de radios \(r_2/r_1\) supera unas 11,9, una transferencia bielíptica con tres encendidos puede salir más barata. Si el tiempo importa, existen transferencias más rápidas a base de encendidos mayores. Y las naves con propulsión eléctrica usan espirales de bajo empuje continuo que elevan la órbita poco a poco: cuestan algo más de delta-v, pero mucho menos propelente gracias a su alta velocidad de eyección.