Calculadora de transferência de Hohmann
Calcule as duas queimas, o delta-v total e o tempo de transferência de uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares coplanares. Informe o parâmetro gravitacional e os raios das duas órbitas.
Calcule o delta-v e o tempo de transferência entre duas órbitas circulares
Fórmula da transferência de Hohmann
Onde:
- \(\mu\) — parâmetro gravitacional do corpo central, \(\mu = GM\) (km³/s²)
- \(r_1\) — raio da órbita circular inicial, medido a partir do centro do corpo (km)
- \(r_2\) — raio da órbita circular de destino (km)
- \(\Delta v_1, \Delta v_2\) — variações de velocidade da primeira e da segunda queima (km/s)
- \(a\) — semieixo maior da elipse de transferência (km)
- \(t\) — tempo de transferência, ou seja, metade do período orbital da elipse de transferência (s)
A primeira expressão dá a queima necessária em \(r_1\) para entrar em uma elipse que tangencia as duas órbitas circulares; a segunda dá a queima meio período orbital depois, em \(r_2\), para circularizar. O delta-v total é a soma dos dois módulos, \(\Delta v = |\Delta v_1| + |\Delta v_2|\).
Transferência de Hohmann – Exemplo de cálculo
Exemplo: uma nave em órbita terrestre baixa a 300 km de altitude (raio \(r_1 = 6678\) km) é transferida para a órbita geoestacionária (raio \(r_2 = 42{,}164\) km). Para a Terra, \(\mu = 398{,}600.44\) km³/s².
\[ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{398600.44}{6678}} \left( \sqrt{\frac{2 \times 42164}{6678 + 42164}} - 1 \right) = 7.726 \times 0.3140 = 2.426 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{398600.44}{42164}} \left( 1 - \sqrt{\frac{2 \times 6678}{48842}} \right) = 3.075 \times 0.4771 = 1.467 \text{ km/s} \]
\[ \Delta v = 2.426 + 1.467 = 3.893 \text{ km/s} \]
\[ t = \pi \sqrt{\frac{24421^3}{398600.44}} \approx 18{,}986 \text{ s} \approx 5.27 \text{ h} \]
Resultado: a nave gasta 2,426 km/s para entrar na elipse de transferência e mais 1,467 km/s para circularizar na órbita geoestacionária — 3,893 km/s no total — e a transferência em si leva cerca de 5,27 horas (metade do período de 10,55 horas da elipse de transferência).
Como usar a calculadora
- Digite o Parâmetro gravitacional (μ) do corpo central e escolha a unidade (km³/s² ou m³/s²). Para a Terra, use 398.600,44 km³/s²; as descrições dos campos listam os valores da Lua, do Sol e de Marte.
- Digite o Raio da órbita inicial (r₁). Essa é a distância até o centro do corpo, não a altitude. Se você só conhece a altitude, some antes o raio do corpo (Terra ≈ 6.371 km).
- Digite o Raio da órbita de destino (r₂) da mesma forma e escolha km, m ou milhas para os dois raios.
- Leia os resultados: Primeira variação de velocidade (Δv₁), Segunda variação de velocidade (Δv₂), Delta-v total, Tempo de transferência, além de uma tabela de detalhes com as velocidades nas órbitas circular e de transferência, o semieixo maior da elipse de transferência e os períodos das duas órbitas.
O que é uma transferência de Hohmann?
A transferência de Hohmann leva uma nave entre duas órbitas circulares no mesmo plano usando exatamente duas queimas. A nave primeiro acende o motor em sentido prógrado (ou retrógrado, ao passar para uma órbita mais baixa), o que eleva — ou rebaixa — o lado oposto da órbita, formando uma elipse tangente aos dois círculos. No extremo dessa elipse, meio período orbital depois, uma segunda queima ajusta a velocidade para igualar a da órbita circular de destino. Como a elipse toca cada uma das órbitas exatamente uma vez, a geometria é perfeitamente simétrica e as queimas são as menores que a geometria permite.
Walter Hohmann descreveu essa manobra em 1925, e mais tarde se provou que ela é a transferência mais eficiente em propelente entre órbitas circulares coplanares usando apenas dois impulsos. Essa eficiência fez dela o padrão para elevação de órbita: satélites de comunicação a caminho da órbita geoestacionária e sondas interplanetárias viajando entre órbitas planetárias ao redor do Sol seguem todos trajetórias do tipo Hohmann. A clássica transferência Terra–Marte, por exemplo, é uma elipse de Hohmann ao redor do Sol que leva cerca de 8,5 meses.
O delta-v total é o verdadeiro “custo de combustível” da manobra. Combinado com a equação do foguete, ele determina quanto propelente a nave precisa carregar, e é por isso que os planejadores de missão comparam transferências quase exclusivamente em km/s. O tempo de transferência — metade do período da elipse — é o preço pago por essa eficiência: a transferência de Hohmann é o trajeto de duas queimas mais lento dentre os razoáveis. Existem transferências mais rápidas, mas elas exigem queimas maiores e um formato de trajetória diferente.
Atenção ao sentido da manobra ao interpretar os resultados. Indo para fora (elevando a órbita), as duas queimas são acelerações. Indo para dentro, as duas são frenagens — a calculadora mostra os módulos, já que uma queima de frenagem gasta a mesma quantidade de propelente.
Premissas, limitações e dicas práticas
- Órbitas circulares coplanares. Se as órbitas forem inclinadas entre si, são necessárias queimas extras de mudança de plano além dos valores mostrados aqui, e a divisão ótima das queimas muda.
- Queimas impulsivas. Motores reais queimam por minutos, não instantaneamente, o que adiciona pequenas perdas gravitacionais; a propulsão de baixo empuxo (elétrica) usa uma trajetória espiralada completamente diferente.
- Corpo puntual, sem perturbações. O arrasto atmosférico em órbitas muito baixas, o achatamento do corpo e a gravidade de terceiros corpos são ignorados. Em órbita terrestre baixa, o arrasto atmosférico rebaixa continuamente a órbita e precisa ser compensado à parte.
- Raios, não altitudes. O erro de digitação mais comum é informar a altitude. Raio = altitude + raio do corpo; o exemplo padrão (300 km de altitude → 6.678 km de raio) mostra a conversão para a Terra.
- Razões entre raios muito grandes. Quando \(r_2/r_1\) passa de aproximadamente 11,9, uma transferência bielíptica (três queimas passando por uma órbita intermediária muito alta) pode superar a transferência de Hohmann no delta-v total, ao custo de um tempo de voo muito maior.
- Transferências interplanetárias. Use o \(\mu\) do Sol (1,32712×10¹¹ km³/s²) e os raios orbitais dos dois planetas, e lembre-se de que os planetas precisam estar na fase correta na partida.
Para consulta rápida, parâmetros gravitacionais comuns: Terra 398.600,44 km³/s², Lua 4.902,8 km³/s², Marte 42.828,4 km³/s² e Sol 1,32712×10¹¹ km³/s². Raios úteis em torno da Terra: LEO ≈ 6.678 km, GPS ≈ 26.560 km, GEO = 42.164 km e órbita da Lua ≈ 384.400 km — todos medidos a partir do centro da Terra.
Perguntas frequentes
Por que meu cálculo manual dá um resultado diferente do da calculadora?
As duas causas mais comuns são erros de unidade. Se você digitou \(\mu\) em m³/s² enquanto os raios estão em km, as velocidades saem erradas por um fator de \(\sqrt{10^9} \approx 31{,}623\). Sempre combine km³/s² com km, ou m³/s² com m. A segunda causa é usar a altitude em vez do raio: lembre-se de que \(r = \text{altitude} + R_{body}\), então 300 km acima da Terra correspondem a \(r = 6{,}671 + 300 \approx 6{,}678\) km.
Quais são os valores típicos de delta-v para transferências de Hohmann comuns?
Alguns números de referência: LEO para GEO custa cerca de 3,9 km/s; LEO para a órbita da Lua, aproximadamente 3,1 km/s; e a transferência de Hohmann heliocêntrica Terra–Marte exige cerca de 5,6 km/s somando as queimas de partida e de chegada. Elevações pequenas de órbita dentro da LEO, digamos de 400 km para 800 km, custam apenas dezenas de m/s. Se o seu resultado estiver muito fora dessas faixas, verifique se você usou raios ou altitudes.
A calculadora leva em conta mudanças de plano ou diferenças de inclinação?
Não. Uma transferência de Hohmann pura pressupõe que as duas órbitas estejam no mesmo plano. Se a órbita de destino for inclinada, é necessária uma queima extra de mudança de plano com custo \(\Delta v = 2v\sin(\Delta i/2)\), onde \(v\) é a velocidade orbital no ponto da manobra. Mudanças de plano são mais baratas em altitudes elevadas, onde a velocidade é baixa, por isso os projetistas de missões costumam combiná-las com a queima de circularização no apogeu em vez de executá-las separadamente.
Como encontro a janela de lançamento certa para uma transferência interplanetária de Hohmann?
O tempo de transferência da nave precisa acompanhar o movimento do planeta de destino. Calcule o tempo de transferência \(t\) com esta calculadora e depois determine quanto o planeta de destino avança durante esse tempo: \(\theta = 360° \cdot t/T_{target}\), onde \(T_{target}\) é o período orbital do planeta de destino. O ângulo de fase necessário entre os dois planetas na partida é \(180° - \theta\). Para a Terra–Marte isso dá cerca de 44°, e é por isso que as janelas de lançamento para Marte se repetem aproximadamente a cada 26 meses.
Posso usar esta calculadora com órbitas iniciais elípticas ou excêntricas?
Não, as fórmulas só valem entre órbitas circulares. Se a órbita inicial for elíptica, o tamanho das queimas depende do ponto da elipse em que elas são feitas, e uma transferência tangente simples de dois impulsos geralmente não se aplica. Para órbitas excêntricas é preciso uma abordagem mais geral baseada no resolvedor de Lambert, que encontra uma trajetória ligando dois pontos arbitrários no espaço. Dito isso, órbitas pouco excêntricas (e < 0,01, como a maioria das órbitas operacionais) produzem resultados próximos do caso circular.
Como converto o delta-v total na quantidade de propelente necessária?
Use a equação do foguete de Tsiolkovsky \(\Delta v = v_e \ln(m_0/m_f)\), onde \(v_e\) é a velocidade de exaustão e \(m_0\), \(m_f\) são as massas inicial e final. Reagrupando: \(m_0 = m_f \cdot e^{\Delta v / v_e}\). A fração de propelente cresce muito rápido com o delta-v, e é por isso que os planejadores de missão brigam por cada m/s. Por exemplo, 3,9 km/s de transferência LEO–GEO com um motor químico (\(v_e \approx 3\) km/s) significam que mais de 70% da massa na partida é propelente.
A transferência de Hohmann é sempre a melhor escolha?
Nem sempre. Ela é a transferência de duas queimas mais eficiente entre órbitas circulares coplanares, mas não necessariamente a melhor no geral. Quando a razão entre os raios \(r_2/r_1\) passa de cerca de 11,9, uma transferência bielíptica com três queimas pode sair mais barata. Se o tempo importa, existem transferências mais rápidas usando queimas maiores. E naves com propulsão elétrica usam espirais contínuas de baixo empuxo que elevam a órbita lentamente, custando um pouco mais de delta-v, porém muito menos propelente graças à alta velocidade de exaustão.