Logarithmus-Rechner
Berechnen Sie den Logarithmus jeder positiven Zahl zu einer beliebigen Basis — 2, 10, e (natürlicher Logarithmus) oder einer eigenen Basis. Geben Sie die Zahl ein, wählen Sie eine Basis und Sie erhalten das Ergebnis samt Probe sowie den dekadischen, natürlichen und binären Logarithmus zum Vergleich.
Logarithmus zu beliebiger Basis berechnen
Formel für den Logarithmus
Dabei gilt:
- \(x\) — die Zahl, deren Logarithmus Sie berechnen möchten; sie muss positiv sein (\(x > 0\))
- \(b\) — die Basis des Logarithmus; sie muss positiv und ungleich 1 sein (\(b > 0,\ b \neq 1\))
- \(\ln\) — der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis \(e \approx 2{,}71828\))
Der Logarithmus \(\log_b(x)\) beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss die Basis \(b\) potenziert werden, um \(x\) zu erhalten? Die oben gezeigte Formel zum Basenwechsel erlaubt es, einen Logarithmus zu jeder Basis mit Hilfe natürlicher Logarithmen zu berechnen — genau so arbeitet dieser Rechner bei jeder Basis, nicht nur bei 10 und \(e\).
Logarithmus – Rechenbeispiel
Beispiel: Berechnen Sie \(\log_2(1000)\) — also: Mit welchem Exponenten muss 2 potenziert werden, um 1000 zu erhalten?
\[ \log_2(1000) = \frac{\ln(1000)}{\ln(2)} = \frac{6.907755}{0.693147} \]
\[ \log_2(1000) \approx 9.965784 \]
Ergebnis: \(\log_2(1000) \approx 9.965784\). Probe: \(2^{9.965784} \approx 1000\) — das ergibt wieder die ursprüngliche Zahl.
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie die Zahl \(x\) in das Feld Zahl (x) ein — zum Beispiel 1000. Die Zahl muss positiv sein.
- Wählen Sie im Auswahlfeld Basis (b): 2 für den binären Logarithmus, 10 für den dekadischen Logarithmus, e für den natürlichen Logarithmus oder Eigene Basis ….
- Haben Sie eine eigene Basis gewählt, tragen Sie sie in das dann erscheinende Feld Eigene Basis ein — jede positive Zahl außer 1, etwa 3, 5 oder 2,5.
- Lesen Sie das Hauptergebnis Logarithmus logₑ(x) ab und prüfen Sie es mit Probe: Basis hoch dem Ergebnis — dort muss wieder Ihre ursprüngliche Zahl herauskommen.
- Zum Vergleich zeigt der Rechner zusätzlich den dekadischen Logarithmus \(\log_{10}(x)\), den natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\) und den binären Logarithmus \(\log_2(x)\) sowie unter So wurde gerechnet eine Schritt-für-Schritt-Erklärung.
Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Der Potenzausdruck \(b^y\) fragt: „Was erhalte ich, wenn ich \(b\) mit \(y\) potenziere?“ Der Logarithmus \(\log_b(x)\) stellt die umgekehrte Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich \(b\) potenzieren, um \(x\) zu erhalten?“ Zum Beispiel gilt \(10^3 = 1000\), also ist \(\log_{10}(1000) = 3\). Die beiden Aussagen \(b^y = x\) und \(y = \log_b(x)\) enthalten genau dieselbe Information.
Drei Basen kommen so häufig vor, dass sie eigene Namen und Schreibweisen haben. Der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus) hat die Basis 10 und wird \(\log_{10}\) oder einfach log geschrieben; er begegnet einem in der Chemie (pH-Wert), in der Akustik (Dezibel) und bei der Richterskala für Erdbeben. Der natürliche Logarithmus hat die Basis \(e \approx 2.71828\) und wird \(\ln\) geschrieben; er beherrscht die Analysis und alle Fragen rund um kontinuierliches Wachstum. Der binäre Logarithmus hat die Basis 2 und wird \(\log_2\) geschrieben; er ist in der Informatik von grundlegender Bedeutung — er misst die Anzahl der Halbierungsschritte in Algorithmen wie Binärsuche und Mergesort und zählt die Bits, die man zur Darstellung einer Zahl braucht.
Wie man ein Ergebnis deutet, hängt von der Basis ab. Ein Logarithmus mit dem Wert 3 zur Basis 10 bedeutet „drei Zehner-Faktoren“: \(10 \times 10 \times 10\). Ist das Ergebnis keine ganze Zahl, liegt die Zahl schlicht zwischen zwei exakten Potenzen der Basis — \(\log_2(1000) \approx 9.9658\) etwa sagt Ihnen, dass 1000 knapp unter \(2^{10} = 1024\) liegt, und genau deshalb passt 1000 in 10 Bits.
Die Formel zum Basenwechsel \(\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)\) ist die praktische Brücke zwischen allen Basen: Wer eine Art von Logarithmus berechnen kann, kann sie alle berechnen. Deshalb funktioniert dieser Rechner mit jeder Basis, auch mit ungewöhnlichen wie 5 oder 2,5. Wenn Sie mit Potenzen und Wurzeln arbeiten: Unser Rechner für die n-te Wurzel behandelt die andere Seite des Potenzierens, und der Rechner für den geometrischen Mittelwert zeigt eine klassische Anwendung von Logarithmen auf multiplikative Daten.
Regeln, Voraussetzungen und Tipps
Definitionsbereich. Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen und zulässige Basen definiert: \(x > 0\), \(b > 0\) und \(b \neq 1\). Es gibt keinen Logarithmus von null oder einer negativen Zahl, und die Basis 1 ist unmöglich, weil 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt und daher nie eine andere Zahl hervorbringen kann. Der Rechner prüft alle drei Bedingungen und erklärt den Fehler, wenn eine verletzt wird.
Nützliche Rechenregeln, die man sich beim Arbeiten mit Logarithmen merken sollte:
- \(\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)\) — der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen
- \(\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)\) — der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen
- \(\log_b(x^n) = n \log_b(x)\) — Exponenten rücken als Faktoren vor den Logarithmus
- \(\log_b(b) = 1\) und \(\log_b(1) = 0\) für jede zulässige Basis
Rundung. Die Ergebnisse werden auf 6 Dezimalstellen gerundet angezeigt, und die Probe \(b^{\log_b(x)}\) kann sich wegen dieser Rundung in der letzten angezeigten Stelle von \(x\) unterscheiden — das ist normal und kein Fehler.
Exakte Ergebnisse. Viele Schulaufgaben haben ganze Zahlen als Ergebnis: \(\log_2(8) = 3\), \(\log_{10}(100) = 2\), \(\log_5(125) = 3\). Kommt Ihr Resultat einer ganzen Zahl sehr nahe (etwa 2,999999), ist die exakte Antwort mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit genau diese ganze Zahl.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich einen Logarithmus ohne Taschenrechner von Hand?
Formulieren Sie die Aufgabe als Potenzfrage: Fragen Sie sich, welcher Exponent die Basis in Ihre Zahl verwandelt. \(\log_2(32)\) fragt zum Beispiel: „2 hoch was ergibt 32?“ Da \(2^5 = 32\), lautet die Antwort 5. Ist die Antwort keine ganze Zahl, nutzen Sie die Formel zum Basenwechsel \(\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)\) mit einer Tabelle natürlicher Logarithmen oder schätzen Sie zwischen zwei bekannten Potenzen: Da \(10^2 = 100\) und \(10^3 = 1000\), muss \(\log_{10}(500)\) zwischen 2 und 3 liegen.
Was ist der Unterschied zwischen log, ln und log₂?
Es sind alles Logarithmen — nur die Basis ist unterschiedlich. log bezeichnet meist den dekadischen Logarithmus zur Basis 10 (verwendet für pH-Wert, Dezibel, Richterskala). ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis \(e \approx 2.71828\) (verwendet in der Analysis und bei Wachstumsprozessen). log₂ ist der binäre Logarithmus zur Basis 2 (verwendet in der Informatik für die Komplexität von Algorithmen und Bitanzahlen). Mit der Formel zum Basenwechsel können Sie zwischen ihnen umrechnen.
Warum ist der Logarithmus einer negativen Zahl oder von null nicht definiert?
Ein Logarithmus fragt: Mit welchem Exponenten muss eine positive Basis potenziert werden, um x zu erhalten? Eine positive Basis ergibt hoch jede reelle Zahl stets ein positives Ergebnis — keine Potenz kann also jemals null oder eine negative Zahl liefern, die Antwort existiert schlicht nicht. Wenn irgendwo \(\log_b(-8) = -3\) steht, ist das die Welt der komplexen Zahlen mit einer anderen (mehrdeutigen) Definition, die dieser reelle Rechner nicht verwendet.
Kann die Basis ein Bruch oder eine Dezimalzahl wie 0,5 oder 2,5 sein?
Ja. Jede positive Basis außer 1 ist zulässig — 2,5, 0,5 oder sogar 1/3 funktionieren problemlos. Eine Basis zwischen 0 und 1 dreht das Vorzeichen der Ergebnisse um: \(\log_{0.5}(8) = -3\), denn \(0.5^{-3} = 8\). Solche Logarithmen nehmen mit wachsendem x ab, was nützlich ist, um Zerfallsprozesse zu modellieren. Die Basis 1 ist die einzige verbotene Wahl, denn 1 hoch jede Zahl ergibt immer 1.
Wie viele Bits brauche ich, um eine Zahl darzustellen?
Bilden Sie den binären Logarithmus der Zahl und runden Sie auf: Die Bitanzahl ist \(\lceil \log_2(n) \rceil\) für n ≥ 1. Zum Beispiel ist \(\log_2(1000) \approx 9.966\), also braucht 1000 genau 10 Bits. Liefert das Ergebnis glatt eine ganze Zahl, wie \(\log_2(256) = 8\), ist die Zahl eine reine Zweierpotenz und passt in genau so viele Bits.
Mein Ergebnis lautet 2,999999 statt 3 — rechnet der Rechner falsch?
Nein, das ist nur eine Rundungserscheinung der Gleitkommazahlen. Wenn die wahre Antwort eine ganze Zahl ist, kann die Berechnung \(\ln(x)/\ln(b)\) minimal daneben liegen, etwa 2,9999999999999996, was dann gerundet als 2,999999 oder 3,000001 angezeigt wird. Liegt Ihr Resultat extrem nah an einer ganzen Zahl, ist die exakte Antwort mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit diese ganze Zahl — \(\log_{10}(1000)\) ist beispielsweise exakt 3.
Wie rechne ich einen Logarithmus von einer Basis in eine andere um?
Wenden Sie die Formel zum Basenwechsel an. Um \(\log_b(x)\) über \(\log_c\) auszudrücken, berechnen Sie \(\log_b(x) = \log_c(x)/\log_c(b)\). Zum Beispiel: \(\log_2(100) = \log_{10}(100)/\log_{10}(2) = 2/0.30103 \approx 6.644\). Für die Umrechnung funktioniert jede verfügbare Basis — 10, e oder 2 —, und genau mit diesem Trick arbeitet der Rechner intern bei jeder von Ihnen gewählten Basis.