Potenzrechner
Berechnen Sie eine Potenz aus Basis und Exponent oder ermitteln Sie eine fehlende Basis bzw. einen fehlenden Exponenten. Wählen Sie aus, wonach gesucht werden soll, und geben Sie die beiden bekannten Werte ein.
Potenz berechnen oder fehlenden Wert ermitteln
Formel für Potenzen
Dabei ist:
- \(a\) — die Basis
- \(b\) — der Exponent
- \(r\) — das Ergebnis \(a^b\)
Die erste Gleichung berechnet eine Potenz. Die umgestellten Gleichungen bestimmen die Basis oder den Exponenten – vorbehaltlich der unten erläuterten Einschränkungen für reelle Zahlen; die Formel \(b=\ln(r)/\ln(a)\) setzt insbesondere voraus, dass \(a>0\), \(a\ne1\) und \(r>0\).
Potenz – Rechenbeispiel
Beispiel: Mit den Standardwerten wird die Basis 2 hoch 10 potenziert.
\[r=2^{10}=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=1024\]
Ergebnis: \(1024\) bzw. \(1.024\times10^3\) in wissenschaftlicher Schreibweise. Potenzen sind dimensionslos, sofern die Basis keine Einheit besitzt; hat sie eine Einheit, wird diese mit demselben Exponenten potenziert.
So benutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie unter Gesucht die Option Ergebnis (Basis hoch Exponent), Basis oder Exponent. Das Feld für den gesuchten Wert wird ausgeblendet.
- Um eine Potenz zu berechnen, geben Sie Basis (a) und Exponent (b) ein. Die Standardeingaben 2 und 10 ergeben 1024.
- Um die Basis zu ermitteln, geben Sie Exponent (b) und Ergebnis (a^b) ein. Um den Exponenten zu ermitteln, geben Sie Basis (a) und Ergebnis (a^b) ein.
- Lesen Sie den gesuchten Wert im Feld Ergebnis ab. Die Felder Exakter Wert, Wissenschaftliche Schreibweise und Schritte und Sonderfälle liefern zusätzliche Details oder erklären, warum eine Eingabe keine eindeutige reelle Lösung besitzt.
Das Feld Exponent (b) akzeptiert eine ganze Zahl wie 10, eine Dezimalzahl mit höchstens neun Nachkommastellen wie -2.5 oder einen Bruch wie 2/3. Geben Sie den Bruch direkt statt einer gerundeten Dezimalzahl ein, wenn es auf den Nenner ankommt: Der Rechner kürzt den Bruch, bevor er prüft, ob eine negative Basis ein reelles Ergebnis liefert.
Was ein Exponent bedeutet
Ein Exponent beschreibt eine Potenz einer Basis. Bei einem positiven ganzzahligen Exponenten multipliziert \(a^b\) die Zahl \(a\) \(b\)-mal mit sich selbst. Der Exponent null ergibt \(a^0=1\) für jede Basis ungleich null. Ein negativer Exponent liefert den Kehrwert: \(a^{-b}=1/a^b\), sofern \(a\ne0\). So gilt \(2^{-3}=1/8\) und nicht \(-8\).
Ein gebrochener Exponent verbindet Wurzeln und Potenzen. Für ganze Zahlen \(p\) und \(q\ne0\) gilt \(a^{p/q}=(\sqrt[q]{a})^p\), wo immer diese Wurzel reell ist. Beispiel: \(8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4\). Der Nenner legt die Wurzel fest, der Zähler die Potenz. Für direkte Wurzelberechnungen verwenden Sie den Rechner für n-te Wurzeln.
Die Suche nach dem Exponenten kehrt die Rechnung um. Aus \(a^b=r\) folgt nach dem Logarithmieren \(b=\ln(r)/\ln(a)\). So ergibt \(2^b=1024\) den Wert \(b=10\). Diese Logarithmenmethode funktioniert hier nur mit einer positiven Basis ungleich 1 und einem positiven Ergebnis. Der Logarithmusrechner hilft bei Logarithmen unabhängig von einer Potenzgleichung.
Bei der Suche nach der Basis kann es mehr als eine Lösung geben. Aus \(a^2=16\) folgen sowohl \(4\) als auch \(-4\), die Antwort lautet also \(\pm4\). Der Rechner berücksichtigt beide Vorzeichen, wenn der gekürzte Exponent einen geraden Zähler und einen ungeraden Nenner besitzt. Andernfalls dürfen Sie nicht davon ausgehen, dass eine Wurzel neben einer positiven stets auch eine negative reelle Basis liefert.
Grenzfälle bei reellen Zahlen und Ergebnisanzeige
- Null: Der Rechner behandelt \(0^0\) als undefiniert. Null hoch einem positiven Exponenten ergibt null; null hoch einem negativen Exponenten würde eine Division durch null erfordern. Jede Basis ungleich null ergibt hoch null den Wert 1, weshalb die Gleichung \(a^0=1\) keine eindeutige Basis festlegt.
- Negative Basen: Ein gekürzter gebrochener Exponent mit geradem Nenner liefert für eine negative Basis kein reelles Ergebnis. Ein ungerader Nenner kann ein reelles Ergebnis geben: \((-8)^{1/3}=-2\). Um einen unbekannten Exponenten zu bestimmen, arbeitet dieser Rechner mit reellen Logarithmen und verlangt deshalb eine positive Basis.
- Basis 1: Jeder reelle Exponent ergibt \(1^b=1\). Ist das geforderte Ergebnis 1, ist der Exponent nicht eindeutig; bei jedem anderen Ergebnis existiert kein passender Exponent.
- Anzeigegenauigkeit: Exakter Wert steht für unterstützte ganzzahlige und rationale Potenzen ganzzahliger Basen zur Verfügung, mit einer Anzeigegrenze von 2.000 Stellen. Sonstige Wurzeln oder logarithmische Ergebnisse sind numerisch. Wissenschaftliche Schreibweise macht sehr große oder sehr kleine Ergebnisse besser lesbar; der Rechner für wissenschaftliche Schreibweise bietet eine eigene Möglichkeit, mit diesem Format zu arbeiten.
Diese Ergebnisse betreffen gewöhnliche Potenzen reeller Zahlen, nicht die modulare Arithmetik. Benötigen Sie den Rest einer ganzzahligen Potenz nach der Division durch eine andere ganze Zahl, verwenden Sie stattdessen den Rechner für modulare Exponentiation.
Häufig gestellte Fragen
Wie kann ich eine große Potenz von Hand schneller berechnen?
Nutzen Sie wiederholtes Quadrieren, statt Schritt für Schritt mit der Basis zu multiplizieren. Um etwa \(3^{10}\) zu finden, berechnen Sie \(3^2=9\), \(3^4=81\) und \(3^8=6561\). Damit ist \(3^{10}=3^8\times3^2=59{,}049\). Diese Methode ist besonders nützlich, wenn der Exponent eine große ganze Zahl ist.
Ist \(-2^4\) dasselbe wie \((-2)^4\)?
Nein. Nach der üblichen Reihenfolge der Rechenschritte bedeutet \(-2^4\) \(-(2^4)=-16\), während \((-2)^4=16\) gilt. Klammern machen das Minuszeichen zur Basis. Wenn Sie eine negative Zahl potenzieren möchten, geben Sie diese als Basis ein, statt das Ergebnis hinterher zu negieren.
Warum sollte ich für eine negative Basis \(1/3\) statt \(0.333333333\) eingeben?
Die Dezimalzahl ist nur eine Näherung an \(1/3\), nicht derselbe Exponent. Als exakter Bruch ist \(0.333333333=333333333/1000000000\), was nach dem Kürzen einen geraden Nenner besitzt. Eine negative Basis mit diesem exakten Dezimalexponenten ist daher nicht reell, obwohl \((-8)^{1/3}=-2\). Geben Sie den gemeinten Bruch ein, damit die Wurzel erhalten bleibt.
Wann darf ich Exponenten addieren oder multiplizieren?
Addieren Sie Exponenten, wenn Sie Potenzen mit derselben Basis multiplizieren: \(a^m a^n=a^{m+n}\). Multiplizieren Sie Exponenten, wenn Sie eine Potenz erneut potenzieren: \((a^m)^n=a^{mn}\), sofern die Ausdrücke definiert sind. Keine dieser Regeln erlaubt es, Exponenten über verschiedene Basen hinweg zu addieren: \(2^3\times3^4\) lässt sich nicht zu \(6^7\) vereinfachen.
Wie ändern sich Einheiten, wenn ich eine Messgröße potenziere?
Potenzieren Sie die Einheit zusammen mit der Zahl. Das Quadrat von \(2\,\mathrm{m}\) ist z. B. \(4\,\mathrm{m}^2\). Rechnet man zuerst um, gilt \(2\,\mathrm{m}=200\,\mathrm{cm}\), dieselbe Fläche ist also \(200^2=40{,}000\,\mathrm{cm}^2\). Denken Sie daran, dass Umrechnungen von Flächen quadriert werden: \(1\,\mathrm{m}^2=10{,}000\,\mathrm{cm}^2\) und nicht \(100\,\mathrm{cm}^2\).
Wie kann ich die Anzahl der Ziffern einer großen Potenz abschätzen?
Bei einem positiven ganzzahligen Exponenten \(n\) und einer ganzzahligen Basis \(a>1\) ist die Ziffernanzahl von \(a^n\) gleich \(\lfloor n\log_{10}(a)\rfloor+1\). \(2^{1000}\) hat zum Beispiel \(\lfloor1000\log_{10}(2)\rfloor+1=302\) Ziffern. Liegt der Logarithmus extrem nahe an einer ganzen Zahl, rechnen Sie mit höherer Genauigkeit, bevor Sie die Schätzung vertrauen.
Warum weicht die angezeigte Dezimalzahl eventuell von einer exakten Potenz ab?
Gewöhnliche Dezimalrechnungen haben eine begrenzte Genauigkeit, sodass ein numerisches Ergebnis selbst dann gerundet sein kann, wenn die mathematische Antwort exakt ist. Prüfen Sie, wenn verfügbar, das Feld Exakter Wert; die wissenschaftliche Schreibweise ist ein kompaktes Anzeigeformat, nicht zwangsläufig ein exakter Wert. Extrem große oder kleine Ergebnisse können außerdem außerhalb des Bereichs liegen, der für gewöhnliche numerische Berechnungen verwendet wird.