Polynomdivision-Rechner
Teilen Sie ein Polynom Schritt für Schritt durch ein anderes. Geben Sie die Koeffizienten von Dividend und Divisor ein (höchste Potenz zuerst, Nullen mit eingeschlossen) und erhalten Sie den Quotienten, den Rest und jeden einzelnen Divisionsschritt.
Ein Polynom durch ein anderes Polynom dividieren
Formel der Polynomdivision
Dabei gilt:
- \(P(x)\) — der Dividend, also das Polynom, das geteilt wird
- \(D(x)\) — der Divisor, der nicht das Nullpolynom sein darf
- \(Q(x)\) — der Quotient
- \(R(x)\) — der Rest, mit \(\deg R < \deg D\)
Die Polynomdivision liefert das eindeutige Paar aus Quotient und Rest, das diese Gleichung erfüllt — ganz analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen, bei der \(a = b \cdot q + r\) mit \(0 \le r < b\) gilt. Ist \(R(x) = 0\), teilt der Divisor den Dividenden ohne Rest, und die Nullstellen von \(D(x)\) sind dann auch Nullstellen von \(P(x)\).
Polynomdivision – Rechenbeispiel
Beispiel: Teilen Sie \(P(x) = x^3 - 7x + 6\) durch \(D(x) = x - 2\).
Der fehlende \(x^2\)-Term wird als \(0x^2\) geschrieben, daher lauten die Koeffizienten des Dividenden 1; 0; −7; 6 und die des Divisors 1; −2. Schritt für Schritt:
\[x^3 \div x = x^2, \quad (x-2)\,x^2 = x^3 - 2x^2, \quad (x^3 - 7x + 6) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 7x + 6\]
\[2x^2 \div x = 2x, \quad (x-2)\,2x = 2x^2 - 4x, \quad (2x^2 - 7x + 6) - (2x^2 - 4x) = -3x + 6\]
\[-3x \div x = -3, \quad (x-2)(-3) = -3x + 6, \quad (-3x + 6) - (-3x + 6) = 0\]
Ergebnis: \(Q(x) = x^2 + 2x - 3\) und \(R(x) = 0\). Die Probe \((x-2)(x^2+2x-3) = x^3 - 7x + 6\) bestätigt, dass die Division ohne Rest aufgeht; \(x = 2\) ist also eine Nullstelle von \(P(x)\).
So bedienen Sie den Rechner
- Geben Sie die Koeffizienten des Dividenden (höchste Potenz zuerst) in das erste Feld ein. Setzen Sie für jede fehlende Potenz eine 0 ein: Aus \(x^3 - 7x + 6\) wird
1; 0; -7; 6. - Geben Sie die Koeffizienten des Divisors (höchste Potenz zuerst) in das zweite Feld ein. Für \(x - 2\) lautet die Eingabe
1; -2; der Leitkoeffizient darf nicht null sein. - Trennen Sie die Zahlen mit Leerzeichen, Kommas oder Semikolons — der Rechner akzeptiert alle drei.
- Wählen Sie die Variable (x, t, n oder y), mit der die Polynome angezeigt werden.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: den Quotienten, den Rest, eine zeilenweise Aufschlüsselung der Divisionsschritte sowie die Probe D(x) · Q(x) + R(x), die den Dividenden wieder liefern muss.
Was ist Polynomdivision?
Die Polynomdivision ist das algebraische Gegenstück zur schriftlichen Division von Zahlen. Aus einem Dividenden \(P(x)\) und einem Divisor \(D(x)\) entstehen ein Quotient \(Q(x)\) und ein Rest \(R(x)\), sodass \(P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x)\) gilt, wobei der Rest einen echt kleineren Grad hat als der Divisor. Dieses Paar aus Quotient und Rest ist eindeutig — deshalb ergibt die Probe \(D(x)\,Q(x) + R(x)\) immer wieder das ursprüngliche Polynom.
Der Algorithmus wiederholt einen einzigen einfachen Zyklus: Man dividiert den jeweils führenden Term durch den Leitterm des Divisors, multipliziert den gesamten Divisor mit diesem Ergebnis und subtrahiert. Jeder Durchgang hebt die höchste noch vorhandene Potenz des Dividenden auf, sodass der Grad des Arbeitsrests Schritt für Schritt sinkt, bis er unter den Grad des Divisors fällt. Dort endet die Division, und was übrig bleibt, ist der Rest.
Wie man das Ergebnis deutet, hängt vom Rest ab. Ein Rest von null bedeutet, dass \(D(x)\) ein Faktor von \(P(x)\) ist — darauf beruhen der Faktor- und Nullstellentest ebenso wie die synthetische Division. Auch ein Rest ungleich null ist aufschlussreich: Nach dem Restsatz ergibt die Division durch \(x - c\) genau \(P(c)\), der Rest ist also der Wert des Polynoms an der Stelle \(c\).
Die Polynomdivision kommt überall dort zum Einsatz, wo Polynome vereinfacht werden müssen: bei der Partialbruchzerlegung in der Integralrechnung, beim Bestimmen von Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen und beim Rechnen mit einem Polynom modulo einem anderen. Außerdem ist sie ein praktisches Mittel, um Polynome höheren Grades zu faktorisieren, sobald eine Nullstelle bekannt ist oder erraten wurde.
Tipps, Voraussetzungen und Grenzen
- Immer mit Nullen auffüllen. \(x^3 - 7x + 6\) muss als
1; 0; -7; 6eingegeben werden, nicht als1; -7; 6. Fehlende Nullen verschieben jeden Koeffizienten auf die falsche Potenz und liefern ein falsches Ergebnis. - Der Divisor darf nicht null sein. Der Leitkoeffizient kann nicht null sein; der Rechner entfernt führende Nullen automatisch, ein aus lauter Nullen bestehender Divisor wird jedoch abgelehnt.
- Divisor mit höherem Grad liefert den Dividenden zurück. Wenn \(\deg D > \deg P\), ist der Quotient 0 und der Rest gleich dem Dividenden — das ist das korrekte Ergebnis und kein Fehler.
- Die Koeffizienten dürfen beliebige reelle Zahlen sein, auch Brüche und Dezimalzahlen (z. B.
0.5; -3; 2). Ergebnisse werden zur Anzeige auf 4 Dezimalstellen gerundet; sehr lange Dezimalzahlen können daher leicht gekürzt wirken. - Division durch ein Monom wie \(x^2\) funktioniert ebenfalls — geben Sie als Divisor
1; 0ein; jeder Term des Dividenden wird dabei einfach um einen Grad erniedrigt. - Wer die Multiplikation in der Probe von Hand nachvollziehen möchte: Die Rechner zum Multiplizieren von Binomen und zur FOIL-Methode decken die häufigsten Fälle ab, und der gewöhnliche Divisionsrechner übernimmt einfache Zahlendivisionen.
Häufig gestellte Fragen
Wie unterscheidet sich die synthetische Division von der Polynomdivision?
Die synthetische Division (das Horner-Schema) ist eine Abkürzung für den Sonderfall, dass der Divisor linear ist, also \(D(x) = x - c\). Man notiert nur die Koeffizienten des Dividenden und rechnet ausschließlich mit der Zahl \(c\) — das geht schneller und ist auf dem Papier weniger fehleranfällig. Die Polynomdivision ist allgemeiner: Sie funktioniert für jeden Divisor, auch für \(x^2 + 1\) oder \(3x - 2\). Beide Verfahren liefern denselben Quotienten und denselben Rest, sodass Sie mit diesem Rechner auch ein Ergebnis der synthetischen Division überprüfen können.
Kann ich durch einen Divisor teilen, dessen Leitkoeffizient nicht 1 ist?
Ja. Der Algorithmus setzt keinen monischen Divisor voraus. In jedem Schritt wird der aktuelle Leitkoeffizient durch den Leitkoeffizienten des Divisors geteilt, wobei Brüche im Quotienten entstehen können. So ergibt beispielsweise die Division von \(x^2 + 1\) durch \(2x\) den Quotienten \(Q(x) = 0.5x\) und den Rest \(R(x) = 1\). Geben Sie den Divisor genau so ein, wie er dasteht, etwa 2; -5 für \(2x - 5\) — der Rechner kommt mit gebrochenen Koeffizienten zurecht.
Was bedeutet ein Rest ungleich null für die Nullstellen?
Wenn Sie durch \(x - c\) teilen und der Rest nicht null ist, dann ist \(c\) keine Nullstelle von \(P(x)\). Nach dem Restsatz ist der Rest genau \(P(c)\), also der Wert des Polynoms an der Stelle \(c\). Ein Rest von etwa 5 bei der Division durch \(x - 3\) bedeutet demnach \(P(3) = 5\). Bei einem Rest von null ist es umgekehrt: Er beweist, dass \(x - c\) ein Faktor und \(c\) eine Nullstelle ist.
Wie überprüfe ich meine Polynomdivision von Hand?
Multiplizieren Sie den Quotienten mit dem Divisor und addieren Sie den Rest: Das Ergebnis muss exakt den Dividenden liefern. Wenn \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1\), \(D(x) = x - 1\), \(Q(x) = 2x^2 - x - 1\) und \(R(x) = 2\), berechnen Sie \((x-1)(2x^2 - x - 1) + 2\) und prüfen Sie, dass sich wieder \(2x^3 - 3x^2 + 1\) ergibt. Stimmt etwas nicht, liegt ein Rechenfehler vor — meistens ein Vorzeichenfehler beim Subtrahieren.
Warum bekomme ich ein anderes Ergebnis, wenn ich die Null-Koeffizienten weglasse?
Weil die Koeffizienten zu den richtigen Potenzen ausgerichtet sein müssen. Wer für \(x^3 - 7x + 6\) nur 1; -7; 6 eingibt, lässt den Rechner \(x^2 - 7x + 6\) lesen — ein völlig anderes Polynom. Der fehlende \(x^2\)-Term muss als ausdrückliche 0 geschrieben werden, also 1; 0; -7; 6. Dasselbe gilt für Lücken in der Mitte und am Ende des Divisors. Genau hier liegen auch die häufigsten Fehler bei handschriftlichen Rechnungen.
Kann ich damit Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen?
Ja. Teilt man den Zähler durch den Nenner einer gebrochenrationalen Funktion, lässt sie sich als Polynom plus echter Bruch schreiben. Sind die Grade gleich, gibt der konstante Quotient die horizontale Asymptote an. Hat der Zähler genau einen Grad mehr, ist der lineare Quotient die schiefe Asymptote. Beispiel: \((x^2+1)/(x-1) = x+1+2/(x-1)\), also ist \(y = x+1\) die schiefe Asymptote.
Was passiert, wenn Dividend und Divisor denselben Grad haben?
Die Division ist nach einem einzigen Schritt beendet: Der Quotient ist eine Konstante, nämlich das Verhältnis der Leitkoeffizienten, und der Rest ist das, was übrig bleibt. Beispiel: \((x^2 + 3x) \div (x^2 - 1)\) ergibt \(Q(x) = 1\) und \(R(x) = 3x + 1\), denn \(x^2 + 3x = 1\cdot(x^2-1) + 3x + 1\). Der Grad des Rests (1) liegt sauber unter dem Grad des Divisors (2), das Ergebnis ist also gültig.