Schwarzschild-Radius-Rechner
Geben Sie eine Masse in kg, Tonnen, Erdmassen oder Sonnenmassen ein und berechnen Sie den zugehörigen Schwarzschild-Radius — die Größe des Ereignishorizonts, den das Objekt als Schwarzes Loch hätte, inklusive Interpretation des Ergebnisses.
Ereignishorizont-Radius jeder beliebigen Masse berechnen
Formel für den Schwarzschild-Radius
Dabei gilt:
- \(r_s\) — Schwarzschild-Radius, also der Radius des Ereignishorizonts (m)
- \(G\) — Gravitationskonstante, \(6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)
- \(M\) — Masse des Objekts (kg)
- \(c\) — Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, \(299{,}792{,}458\ \mathrm{m/s}\)
Die Formel liefert den kritischen Radius, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit einer Masse genau der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Wird die gesamte Masse innerhalb dieses Radius zusammengepresst, kann nichts mehr entweichen — nicht einmal Licht: Das Objekt wird zum Schwarzen Loch.
Schwarzschild-Radius – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Stern mit der Masse unserer Sonne kollabiert, nachdem sein Kernbrennstoff erschöpft ist. Wie groß ist der Ereignishorizont des dabei entstehenden Schwarzen Lochs? Nehmen wir \(M = 1\) Sonnenmasse \(= 1{,}98847 \times 10^{30}\) kg.
\[ r_s = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 1.98847 \times 10^{30}}{(2.998 \times 10^{8})^2} = \frac{2.654 \times 10^{20}}{8.988 \times 10^{16}} \approx 2953\ \mathrm{m} \]
Ergebnis: Der Schwarzschild-Radius beträgt rund 2953 m, also etwa 2,95 km. Würde die gesamte Masse der Sonne in eine Kugel von knapp 3 km Durchmesser gepresst, entstünde ein Schwarzes Loch mit genau diesem Horizont.
So benutzen Sie den Rechner
- Geben Sie die Masse des Objekts (M) in das Zahlenfeld ein — etwa 1 für ein Objekt mit einer Sonnenmasse.
- Wählen Sie im Dropdown-Menü die passende Einheit: kg, g, Tonnen, lb, Erdmassen oder Sonnenmassen.
- Lesen Sie das Ergebnis Schwarzschild-Radius (rs) ab — angezeigt in Metern und Kilometern sowie umgerechnet in cm, mm, Meilen, Fuß und Astronomische Einheiten.
- Werfen Sie einen Blick in den Block Details und Interpretation: Dort finden Sie die Fluchtgeschwindigkeit am Horizont, die mittlere Dichte innerhalb des Horizonts und eine leicht verständliche Erklärung, was die Zahl bedeutet.
Was ist der Schwarzschild-Radius?
Der Schwarzschild-Radius ist der Abstand vom Zentrum einer Masse, an dem ihre Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit erreicht. Er ist nach Karl Schwarzschild benannt, der diese Lösung der Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins bereits 1916 fand — nur wenige Monate nach Veröffentlichung der Theorie. Die Kugel mit dem Radius \(r_s\) um ein kollabiertes Objekt ist sein Ereignishorizont: die Grenze, hinter der kein Signal, keine Materie und kein Licht jemals ins äußere Universum zurückkehren kann.
Jedes Objekt hat einen Schwarzschild-Radius — er schlicht proportional zu seiner Masse. Das Problem: Bei ganz normalen Objekten ist dieser Radius absurd klein. Ein 70 kg schwerer Mensch hat \(r_s \approx 10^{-25}\) m, viele Größenordnungen kleiner als ein Proton — deshalb verwandeln sich Menschen nicht von selbst in Schwarze Löcher. Erst wenn Materie innerhalb ihres eigenen \(r_s\) zusammengepresst wird, ist der Gravitationskollaps nicht mehr aufzuhalten.
Da \(r_s\) linear mit der Masse wächst, das Volumen aber mit der dritten Potenz des Radius, sind große Schwarze Löcher im Mittel sogar weniger dicht. Ein supermassereiches Schwarzes Loch mit einer Milliarde Sonnenmassen hat im Durchschnitt eine Dichte vergleichbar mit Luft, während ein stellarer Schwarzes Loch Dichten weit über derjenigen von Kernmaterie erreicht. Die Dichtea usgabe des Rechners zeigt Ihnen diesen kontraintuitiven Trend direkt.
Das Ergebnis dient zudem als praktischer Maßstab in der Astronomie: Ein Schwarzes Loch mit einer Sonnenmasse hat \(r_s \approx 2{,}95\) km, das der Erde wäre etwa 8,87 mm, und Sagittarius A*, das zentrale Schwarze Loch der Milchstraße mit rund 4 Millionen Sonnenmassen, besitzt einen Horizont von etwa 12.000 km Durchmesser — eine Kugel, die etwas größer ist als die Erde.
Annahmen, Grenzen und Hinweise
- Nicht rotierendes, ungeladenes Objekt. Die Formel beschreibt ein idealisiertes Schwarzschild-Loch. Reale Schwarze Löcher rotieren (Kerr-Schwarze Löcher), und ihre Horizonte fallen etwas kleiner aus — bei maximaler Rotation bis um den Faktor 2. Für alltägliche Abschätzungen ist dieser Unterschied in der Regel vertretbar.
- Klassische Betrachtung. Effekte der Quantengravitation bleiben unberücksichtigt. Bei extrem kleinen Massen kann der klassische Horizontradius kleiner als die Planck-Länge \(\approx 1{,}6 \times 10^{-35}\) m werden — dort verliert die Formel ihre physikalische Bedeutung.
- Gesamte Masse im Zentrum. Die Formel setzt voraus, dass die vollständige Masse innerhalb von \(r_s\) liegt. Ein Stern oder Planet gleicher Masse, der größer als sein Schwarzschild-Radius ist, ist einfach ein gewöhnliches Objekt — zum Schwarzen Loch wird er erst, wenn er innerhalb dieses Radius zusammengepresst wird.
- Für große Objekte große Einheiten verwenden. Die Eingabe einer riesigen Masse in Kilogramm kann die Berechnung zum Überlauf bringen. Stellen Sie das Einheiten-Menü auf Sonnenmassen oder Erdmassen, dann bleiben die Zahlen handhabbar.
- Sie arbeiten mit Strahlung heißer Akkretionsscheiben? Ein solcher Scheib leuchtet wie ein Schwarzer Strahler. Mit dem Rechner zum Stefan-Boltzmann-Gesetz und dem Rechner zum Wienschen Verschiebungsgesetz können Sie seine Leistung und die Wellenlänge des Strahlungsmaximums abschätzen.
Referenzwerte
| Objekt | Masse (ungefähr) | Schwarzschild-Radius |
|---|---|---|
| Mensch (70 kg) | 70 kg | \(\sim 10^{-25}\) m |
| Erde | \(5{,}97 \times 10^{24}\) kg | 8,87 mm |
| Sonne | \(1{,}99 \times 10^{30}\) kg | 2,95 km |
| Sagittarius A* (Zentrum der Milchstraße) | \(\sim 4 \times 10^6\) Sonnenmassen | \(\sim 1{,}2 \times 10^7\) km |
| M87* (erstes abgebildetes Schwarzes Loch) | \(\sim 6{,}5 \times 10^9\) Sonnenmassen | \(\sim 1{,}9 \times 10^{10}\) km |
Jede Zeile können Sie im Rechner nachprüfen, indem Sie die Masse in der passenden Einheit eingeben — die obigen Werte beruhen auf derselben Formel und denselben Konstanten.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich den Schwarzschild-Radius von Hand?
Multiplizieren Sie die Masse mit 2 und der Gravitationskonstante und teilen Sie dann durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit: \(r_s = 2GM/c^2\). Eine praktische Abkürzung: \(r_s \approx 1{,}48 \times 10^{-27}\) m pro Kilogramm — multiplizieren Sie die Masse in kg einfach mit diesem Faktor. Beispielsweise ergibt sich für 1000 kg \(r_s \approx 1{,}5 \times 10^{-24}\) m, ganz ohne separates Hantieren mit den riesigen Konstanten.
Was ist ein typischer oder „normaler“ Schwarzschild-Radius?
Das hängt allein von der Masse ab: Der Radius beträgt etwa 2,95 km pro Sonnenmasse. Ein Schwarzes Loch mit 10 Sonnenmassen (ein typischer kollabierter Stern) hat einen Horizont von rund 30 km, die Erdmasse ergäbe etwa 8,87 mm, und supermassereiche Schwarze Löcher erreichen Millionen bis Milliarden Kilometer. Einen einzigen „normalen“ Wert gibt es nicht — nur die lineare Skalierung mit der Masse.
Ist der Schwarzschild-Radius die Größe des Schwarzen Lochs?
Er ist der Radius des Ereignishorizonts — das Nächstliegende, was ein Schwarzes Loch an einer „Oberfläche“ besitzt. Streng genommen existiert am Horizont nichts Physisches; er ist eine Grenze in der Raumzeit. Die Singularität liegt im Zentrum, und die Materie, aus der das Loch entstanden ist, ist in sie kollabiert. Der Horizont umschließt also im Wesentlichen leeren Raum plus alles, was gerade hineinstürzt.
Wie rechne ich das Ergebnis in Meilen, Fuß oder Astronomische Einheiten um?
Der Rechner erledigt das automatisch. Wenn Sie von Hand rechnen: Teilen Sie Meter durch 1609,344 für Meilen, durch 0,3048 für Fuß oder durch \(1{,}496 \times 10^{11}\) für Astronomische Einheiten. Der Horizont der Sonne mit 2953 m entspricht beispielsweise etwa 1,84 Meilen, 9690 Fuß oder \(2 \times 10^{-8}\) AE — bezogen auf die Erde-Sonne-Distanz kleiner als ein Atom.
Haben mein Körper oder Alltagsgegenstände einen Schwarzschild-Radius?
Ja, jede Masse hat einen — der einer 70 kg schweren Person liegt bei etwa \(10^{-25}\) m, rund zehn Größenordnungen unterhalb eines Protons. Das ist völlig harmlos: Zum Schwarzen Loch wird ein Objekt nur, wenn etwas es innerhalb dieses Radius zusammenpresst, und kein physikalischer Prozess vermag das mit normaler Materie. Die Zahl ist rein theoretische Grenze.
Warum haben größere Schwarze Löcher eine geringere mittlere Dichte?
Weil die Masse linear mit dem Schwarzschild-Radius wächst, das eingeschlossene Volumen aber mit der dritten Potenz des Radius: \(\rho = 3c^6/(32\pi G^3 M^2)\). Verdoppelt sich die Masse, verdoppelt sich der Radius, das Volumen wächst aber auf das Achtfache — die mittlere Dichte sinkt also auf ein Viertel. Deshalb hat ein Schwarzes Loch mit einer Milliarde Sonnenmassen im Mittel etwa die Dichte von Luft, während ein stellares die Dichte von Kernmaterie deutlich übersteigt.
Welche Fehler passieren bei der Anwendung der Formel häufig?
Der häufigste Fehler ist das Vermischen von Einheiten — wandeln Sie die Masse stets in Kilogramm um und verwenden Sie SI-Werte für \(G\) und \(c\), bevor Sie einsetzen. Weitere Stolperfallen: zu übersehen, dass das Ergebnis in Metern (nicht km) ausgegeben wird; anzunehmen, die Formel beschreibe die aktuelle Größe eines Sterns (sie spielt erst eine Rolle, sobald die Masse in \(r_s\) hineinpasst); und zu ignorieren, dass Rotation den realen Horizont eines Kerr-Schwarzen Lochs bis um den Faktor 2 verkleinert.