Steigungsrechner

Q: Wie lautet die Formel für die Steigung und wie rechne ich sie von Hand aus?

Die Steigungsformel lautet m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) , oft als „Δy durch Δx“ oder „Höhenänderung geteilt durch horizontale Änderung“ gemerkt. Ziehen Sie die y-Koordinaten voneinander ab, um die Höhenänderung zu erhalten, und die x-Koordinaten, um die horizontale Änderung zu erhalten, und teilen Sie dann. Bleiben Sie konsequent: Wählen Sie einen Punkt als Punkt 1 und ziehen Sie dessen Koordinaten in derselben Reihenfolge von denen des Punkts 2 ab — sowohl im Zähler als auch im Nenner.

Q: Darf ich die Punkte in beliebiger Reihenfolge in die Formel einsetzen?

Ja, aber bleiben Sie konsequent. Wenn Sie vertauschen, welcher Punkt „Punkt 1“ und welcher „Punkt 2“ ist, wechseln Höhen- und horizontale Änderung beide das Vorzeichen — der Bruch bleibt also gleich. Vermeiden sollten Sie es, die Reihenfolgen zu vermischen, also etwa (y_2 - y_1)/(x_1 - x_2) zu rechnen — das dreht das Vorzeichen des Ergebnisses um.

Q: Wie rechne ich eine Steigung in einen Winkel in Grad um?

Verwenden Sie den Arkustangens: θ = arctan(m) liefert den Winkel im Bogenmaß; multiplizieren Sie ihn mit 180/π , um Grad zu erhalten. Eine Steigung von 1 entspricht 45°, eine Steigung von √(3) ≈ 1.732 entspricht 60°, und eine Steigung von 0 entspricht 0°. Umgekehrt gilt m = tan(θ) .

Q: Wie rechne ich eine Steigung in eine Steigung in Prozent um?

Multiplizieren Sie die Steigung mit 100. Eine Steigung von 0,08 entspricht 8 Prozent und eine Steigung von 0,25 entspricht 25 Prozent — so die übliche Angabe bei Straßen, Rampen und Dächern. Umgekehrt teilen Sie den Prozentsatz durch 100. Beachten Sie, dass die prozentuale Steigung über 100 % liegen kann, wenn die Gerade steiler als 45° verläuft.

Q: Was bedeutet es, wenn die Steigung undefiniert statt null ist?

Eine Steigung von null bedeutet, dass die Gerade exakt horizontal verläuft — y ändert sich nie. Eine undefinierte Steigung bedeutet, dass die Gerade senkrecht verläuft — x ändert sich nie, weshalb die Formel durch null teilt. Das sind völlig verschiedene Fälle: Die Steigung null ist eine ganz normale reelle Zahl (0), während eine undefinierte Steigung gar keine Zahl ist und sich nicht in y = mx + b einsetzen lässt.

Q: Woran erkenne ich an den Steigungen, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht zueinander sind?

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: m_1 = m_2 . Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 beträgt: m_1 · m_2 = -1 , was gleichbedeutend mit m_2 = -1/m_1 ist. Die Steigungen 2 und -1/2 gehören beispielsweise zu senkrecht aufeinander stehenden Geraden. Senkrechte und horizontale Geraden stehen immer senkrecht aufeinander.

Q: Funktioniert die Steigungsformel auch mit Dezimal- oder negativen Koordinaten?

Ja. Die Formel funktioniert für beliebige reelle Koordinaten, also auch für Dezimalzahlen, Brüche und negative Werte. Achten Sie bei negativen Zahlen auf doppelte Minuszeichen: Eine negative Koordinate zu subtrahieren bedeutet, sie zu addieren. Wenn zum Beispiel y_2 = -3 und y_1 = -8 gilt, beträgt die Höhenänderung -3 - (-8) = 5 .

Aktualisiert: 15 Oktober 2026

Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch zwei Punkte. Geben Sie die x- und y-Koordinaten beider Punkte ein und Sie erhalten die Steigung, den Typ der Geraden, den Steigungswinkel und die vollständige Geradengleichung.

Steigung zwischen zwei Punkten berechnen

Formel für die Steigung

Formel

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Dabei gilt:

\(m\) — Steigung der Geraden
\((x_1, y_1)\) — Koordinaten des ersten Punkts
\((x_2, y_2)\) — Koordinaten des zweiten Punkts

Die Steigung ist das Verhältnis aus der Höhenänderung (Änderung von \(y\)) und der horizontalen Änderung (Änderung von \(x\)). Sie gibt also an, wie steil eine Gerade steigt oder fällt. Ein damit zusammenhängender Wert ist der Steigungswinkel \(\theta\), der sich über den Arkustangens berechnen lässt: \(\theta = \arctan(m)\).

Steigung – Rechenbeispiel

Beispiel: Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch die Punkte \((2, 3)\) und \((6, 11)\).

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ \theta = \arctan(2) \approx 63.4349° \]

\[ b = y_1 - m \cdot x_1 = 3 - 2 \times 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 1 \]

Ergebnis: Die Steigung beträgt \(m = 2\) — die Gerade ist steigend (sie geht um 2 Einheiten nach oben, wenn sie um 1 Einheit nach rechts verläuft), ihr Steigungswinkel liegt bei etwa \(63.4349°\), und ihre Gleichung lautet \(y = 2x - 1\).

So benutzen Sie den Steigungsrechner

Geben Sie die x₁-Koordinate und die y₁-Koordinate des ersten Punkts ein.
Geben Sie die x₂-Koordinate und die y₂-Koordinate des zweiten Punkts ein.
Lesen Sie die Ergebnisse ab: die Steigung (m), den Typ der Geraden (horizontal, vertikal, steigend oder fallend), den Steigungswinkel in Grad sowie die Geradengleichung in Normalform.
Werfen Sie einen Blick in den Bereich So wurde gerechnet, um jeden Zwischenschritt nachzuvollziehen — das ist praktisch, um Hausaufgaben zu kontrollieren.

Was ist die Steigung und wie deutet man sie richtig?

Die Steigung einer Geraden beschreibt, wie steil sie verläuft und in welche Richtung. Geometrisch beantwortet sie die Frage: „Wenn ich auf der Geraden 1 Einheit nach rechts gehe, wie weit gehe ich dann nach oben (oder unten)?“ Die Antwort ist die Steigung. Eine Steigung von \(2\) bedeutet, dass die Gerade um 2 Einheiten steigt, wenn sie sich um 1 Einheit horizontal bewegt; eine Steigung von \(-0.5\) bedeutet, dass sie pro Einheit nach rechts um eine halbe Einheit fällt.

Das Vorzeichen der Steigung verrät die Richtung der Geraden:

\(m > 0\) — die Gerade ist steigend: Sie verläuft von links nach rechts aufwärts.
\(m < 0\) — die Gerade ist fallend: Sie verläuft von links nach rechts abwärts.
\(m = 0\) — die Gerade ist horizontal: \(y\) ändert sich nie.
\(m\) ist undefiniert — die Gerade ist vertikal: \(x\) ändert sich nie, und die Formel teilt durch null.

Der Betrag \(|m|\) misst die Steilheit: Je größer der Absolutbetrag, desto steiler die Gerade. Aus demselben Gedanken ergibt sich der Steigungswinkel \(\theta\) — der Winkel, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Einer Steigung von 1 entspricht \(45°\); Steigungen über 1 sind steiler als \(45°\), Steigungen zwischen 0 und 1 verlaufen flacher. Senkrechte Geraden haben einen Steigungswinkel von \(90°\).

Neben der Steigung selbst stellt der Rechner die vollständige Geradengleichung in Normalform \(y = mx + b\) auf, indem er den y-Achsenabschnitt \(b = y_1 - m \cdot x_1\) bestimmt. Beide eingegebenen Punkte erfüllen diese Gleichung, sodass Sie damit \(y\) für jedes andere \(x\) auf derselben Geraden berechnen können — etwa beim Zeichnen von Graphen oder bei Textaufgaben zu Änderungsraten wie Geschwindigkeit, Kosten pro Stück oder Zuwachs pro Stunde.

Voraussetzungen, Grenzen und Tipps

Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle. Wenn Sie Punkt 1 und Punkt 2 vertauschen, wechseln Höhen- und horizontale Änderung beide das Vorzeichen — die Steigung bleibt gleich.
Senkrechte Geraden haben keine Steigung. Wenn \(x_1 = x_2\) gilt, ist die horizontale Änderung null und die Steigung nicht definiert. Der Rechner meldet diesen Fall ausdrücklich und gibt die Gleichung \(x = x_1\) sowie einen Steigungswinkel von \(90°\) aus.
Identische Punkte werden abgelehnt. Liegen beide Punkte exakt übereinander, gehen unendlich viele Geraden durch sie — eine eindeutige Steigung gibt es dann nicht.
Dezimalzahlen und negative Werte sind kein Problem. Verwenden Sie negative Werte für Koordinaten links vom oder unterhalb des Ursprungs; der Rechner verarbeitet beliebige reelle Zahlen.
Steigung oder Steigung in Prozent. Im Straßenbau und bei Dächern wird die „Steigung“ in Prozent angegeben: Eine Steigung von \(0.08\) entspricht 8 Prozent. Zur Umrechnung multiplizieren Sie die Steigung mit 100.
Dieser Rechner gilt nur für Geraden. Bei Kurven wie Parabeln ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt — das ist ein Thema der Analysis.

Wenn Sie später mit linearen Gleichungssystemen arbeiten, hilft der Rechner zum Additionsverfahren beim gleichzeitigen Lösen zweier Geradengleichungen; parallele oder proportionale Zusammenhänge zwischen zwei Variablen prüfen Sie mit dem Rechner zur proportionalen Zuordnung. Für das Grundrechnen hinter der Formel sehen Sie sich die Rechner für Division und Subtraktion an.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für die Steigung und wie rechne ich sie von Hand aus?

Die Steigungsformel lautet \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \), oft als „Δy durch Δx“ oder „Höhenänderung geteilt durch horizontale Änderung“ gemerkt. Ziehen Sie die y-Koordinaten voneinander ab, um die Höhenänderung zu erhalten, und die x-Koordinaten, um die horizontale Änderung zu erhalten, und teilen Sie dann. Bleiben Sie konsequent: Wählen Sie einen Punkt als Punkt 1 und ziehen Sie dessen Koordinaten in derselben Reihenfolge von denen des Punkts 2 ab — sowohl im Zähler als auch im Nenner.

Darf ich die Punkte in beliebiger Reihenfolge in die Formel einsetzen?

Ja, aber bleiben Sie konsequent. Wenn Sie vertauschen, welcher Punkt „Punkt 1“ und welcher „Punkt 2“ ist, wechseln Höhen- und horizontale Änderung beide das Vorzeichen — der Bruch bleibt also gleich. Vermeiden sollten Sie es, die Reihenfolgen zu vermischen, also etwa \( (y_2 - y_1)/(x_1 - x_2) \) zu rechnen — das dreht das Vorzeichen des Ergebnisses um.

Wie rechne ich eine Steigung in einen Winkel in Grad um?

Verwenden Sie den Arkustangens: \( \theta = \arctan(m) \) liefert den Winkel im Bogenmaß; multiplizieren Sie ihn mit \( 180/\pi \), um Grad zu erhalten. Eine Steigung von 1 entspricht 45°, eine Steigung von \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) entspricht 60°, und eine Steigung von 0 entspricht 0°. Umgekehrt gilt \( m = \tan(\theta) \).

Wie rechne ich eine Steigung in eine Steigung in Prozent um?

Multiplizieren Sie die Steigung mit 100. Eine Steigung von 0,08 entspricht 8 Prozent und eine Steigung von 0,25 entspricht 25 Prozent — so die übliche Angabe bei Straßen, Rampen und Dächern. Umgekehrt teilen Sie den Prozentsatz durch 100. Beachten Sie, dass die prozentuale Steigung über 100 % liegen kann, wenn die Gerade steiler als 45° verläuft.

Was bedeutet es, wenn die Steigung undefiniert statt null ist?

Eine Steigung von null bedeutet, dass die Gerade exakt horizontal verläuft — y ändert sich nie. Eine undefinierte Steigung bedeutet, dass die Gerade senkrecht verläuft — x ändert sich nie, weshalb die Formel durch null teilt. Das sind völlig verschiedene Fälle: Die Steigung null ist eine ganz normale reelle Zahl (0), während eine undefinierte Steigung gar keine Zahl ist und sich nicht in \( y = mx + b \) einsetzen lässt.

Woran erkenne ich an den Steigungen, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht zueinander sind?

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: \( m_1 = m_2 \). Sie stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen \(-1\) beträgt: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \), was gleichbedeutend mit \( m_2 = -1/m_1 \) ist. Die Steigungen 2 und \(-1/2\) gehören beispielsweise zu senkrecht aufeinander stehenden Geraden. Senkrechte und horizontale Geraden stehen immer senkrecht aufeinander.

Funktioniert die Steigungsformel auch mit Dezimal- oder negativen Koordinaten?

Ja. Die Formel funktioniert für beliebige reelle Koordinaten, also auch für Dezimalzahlen, Brüche und negative Werte. Achten Sie bei negativen Zahlen auf doppelte Minuszeichen: Eine negative Koordinate zu subtrahieren bedeutet, sie zu addieren. Wenn zum Beispiel \( y_2 = -3 \) und \( y_1 = -8 \) gilt, beträgt die Höhenänderung \( -3 - (-8) = 5 \).