Calculadora de péndulo balístico
Calcula la velocidad de un proyectil a partir de un experimento con péndulo balístico. Introduce las masas del proyectil y del péndulo junto con la altura de elevación o el ángulo de oscilación y la longitud del péndulo.
Calcula la velocidad del proyectil a partir de un péndulo balístico
Fórmula del péndulo balístico
Donde:
- \(v\) — velocidad del proyectil justo antes del impacto (m/s)
- \(m\) — masa del proyectil (kg)
- \(M\) — masa del bloque del péndulo (kg)
- \(u = \sqrt{2gh}\) — velocidad del conjunto proyectil + bloque justo después del impacto (m/s)
- \(g\) — aceleración de la gravedad, 9,80665 m/s\(^2\)
- \(h\) — elevación vertical del bloque durante la oscilación (m)
- \(L\) — longitud del péndulo, del punto de suspensión al centro de masas (m)
- \(\theta\) — ángulo máximo de oscilación respecto a la vertical (grados)
La fórmula combina dos leyes físicas: durante la colisión perfectamente inelástica se conserva la cantidad de movimiento, \(mv = (m + M)u\), y durante la elevación del bloque se conserva la energía mecánica, \(\tfrac{1}{2}(m + M)u^2 = (m + M)gh\). Resolviendo ambas de forma conjunta se obtiene la velocidad del proyectil antes del impacto.
Péndulo balístico – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: un proyectil de 10 g se incrusta en un bloque de péndulo de 250 g. El bloque sube hasta un ángulo máximo de 30\(\degree\) en un péndulo de 0,5 m de longitud. ¿Qué velocidad llevaba el proyectil?
Primero calcula la elevación vertical:
\[ h = L (1 - \cos\theta) = 0.5 \times (1 - \cos 30\degree) = 0.06699 \text{ m} \]
Luego la velocidad del conjunto justo después del impacto:
\[ u = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 0.06699} = 1.146 \text{ m/s} \]
Por último, aplica la conservación de la cantidad de movimiento:
\[ v = \frac{m + M}{m} \, u = \frac{0.01 + 0.25}{0.01} \times 1.146 = 29.80 \text{ m/s} \]
Resultado: el proyectil viajaba a unos 29,80 m/s (107,3 km/h, 97,8 ft/s) antes del impacto. El conjunto se movía a solo 1,146 m/s tras el impacto, y el 96,2 % de la energía cinética inicial (unos 4,27 J) se perdió en forma de calor y deformación durante la colisión.
Cómo usar la calculadora
- Introduce la Masa del proyectil (m) y elige su unidad (g, kg, lb u oz). Es la masa de la bala, bola o perdigón que se incrusta en el bloque.
- Introduce la Masa del péndulo (M) con su unidad: la masa del bloque solo, sin el proyectil.
- En ¿Cómo se mide la oscilación máxima?, indica si registraste directamente la elevación vertical (Por altura de elevación (h)) o si mediste el ángulo y la longitud del péndulo (Por ángulo y longitud de oscilación (\(\theta\), L)).
- Según lo que elijas, introduce la Altura máxima de elevación (h), o bien el Ángulo máximo de oscilación (\(\theta\)) en grados y la Longitud del péndulo (L) desde el punto de suspensión hasta el centro de masas del bloque cargado.
- Lee los resultados: la velocidad del proyectil antes del impacto en varias unidades, la velocidad del conjunto después del impacto, la altura de elevación y el desglose de la energía perdida en la colisión.
¿Qué es un péndulo balístico?
Un péndulo balístico es un dispositivo clásico de la física para medir la velocidad de un proyectil rápido, difícil de cronometrar directamente. El proyectil se dispara horizontalmente contra un bloque pesado colgado de cuerdas o varillas largas. Se incrusta en el bloque, el bloque se eleva y la altura máxima —leída en una escala o como ángulo de oscilación— revela la velocidad que debía de llevar el proyectil.
El análisis se hace en dos etapas porque se aplican dos leyes de conservación distintas. Durante el impacto, que apenas dura un instante, la energía cinética no se conserva —gran parte se dedica a deformar el bloque y el proyectil—, pero la cantidad de movimiento sí. De ahí se obtiene la velocidad \(u\) del conjunto justo después del impacto. Durante la elevación posterior, más lenta, la fricción y la resistencia del aire son despreciables, así que la energía mecánica se conserva: la energía cinética se convierte en energía potencial gravitatoria, que es justamente lo que mide la altura de elevación.
Ten en cuenta que la velocidad del proyectil es siempre mayor que la velocidad tras el impacto en el factor de masas \((m + M)/m\). Con un proyectil ligero y un bloque pesado, este factor es grande —en el ejemplo anterior es 26—, de modo que una oscilación modesta del bloque corresponde a un proyectil muy rápido. Por eso la calculadora también indica una gran pérdida de energía: perder energía cinética en la colisión no es un error, sino precisamente lo que hace posible la medición con el péndulo sin equipos de cronometraje.
En la historia de la física, los péndulos balísticos se usaron desde el siglo XVIII para medir la velocidad de boca de las armas de fuego, y el mismo principio sigue presente en los laboratorios universitarios. Sigue siendo una demostración clara de que la conservación de la cantidad de movimiento y la de la energía rigen cada una en su propio ámbito, y de que confundirlas conduce a resultados erróneos.
Supuestos, limitaciones y consejos prácticos
- Colisión perfectamente inelástica. El proyectil debe incrustarse en el bloque y quedarse en él. Si rebota o lo atraviesa, la transferencia de cantidad de movimiento cambia y el resultado será incorrecto.
- Impacto instantáneo. Se supone que la gravedad y la tensión de las cuerdas son despreciables durante la colisión, algo válido porque el impacto dura solo unos milisegundos.
- Oscilación sin fricción. Se desprecian el rozamiento del pivote y la resistencia del aire, por lo que la altura medida subestima ligeramente la velocidad real tras el impacto. Los péndulos reales pierden por fricción algunos puntos porcentuales de su oscilación.
- Longitud del péndulo hasta el centro de masas. Al usar el método del ángulo, \(L\) debe medirse desde el punto de suspensión hasta el centro de masas del bloque con el proyectil incrustado, no la longitud de las cuerdas.
- Ángulos cercanos a 180\(\degree\). La fórmula de la altura \(h = L(1 - \cos\theta)\) se vuelve muy sensible cerca de 180\(\degree\); pequeños errores en la medición del ángulo provocan entonces grandes errores en la velocidad. Las oscilaciones pequeñas también son problemáticas, porque la altura se vuelve difícil de medir con precisión: los ángulos entre aproximadamente 10\(\degree\) y 60\(\degree\) dan la mejor precisión.
- Bloque mucho más pesado que el proyectil. Un factor de masas grande amplifica la incertidumbre de las mediciones de masa; conserva al menos un decimal de precisión en \(m\).
Si quieres seguir estudiando el movimiento de proyectiles, puedes comparar la velocidad calculada con la velocidad del sonido en el aire para saber si el proyectil es supersónico, estimar cómo interactúan el ángulo de lanzamiento y la geometría del péndulo mediante el número de Froude, o tener en cuenta la pérdida de velocidad en vuelo con la fuerza de arrastre.
Preguntas frecuentes
¿Por qué no puedo igualar simplemente la energía cinética del proyectil con la energía potencial en el punto más alto de la oscilación?
Es el error más común en este experimento. La energía cinética no se conserva durante el impacto: normalmente más del 90 % se convierte en calor, deformación y sonido mientras el proyectil se incrusta en el bloque. Solo la cantidad de movimiento sale de la colisión sin cambios. Igualar \(\tfrac{1}{2}mv^2 = (m+M)gh\) en lugar de usar \(v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}\) subestimará la velocidad por un factor grande.
¿Qué ocurre si el proyectil rebota o atraviesa el bloque?
El resultado será incorrecto, porque la fórmula supone una colisión perfectamente inelástica en la que el proyectil y el bloque se mueven juntos después. Si el proyectil rebota, la transferencia de cantidad de movimiento es mayor de lo supuesto y la velocidad queda subestimada; si lo atraviesa, la transferencia es menor y la velocidad queda sobreestimada. Usa un material de bloque suficientemente blando o grueso para atrapar el proyectil por completo, como arcilla, cera o madera con suficiente espesor.
¿Cómo encuentro el centro de masas del péndulo cargado para la longitud L?
Equilibra el bloque (con un proyectil del mismo tipo incrustado) sobre un filo o sobre tu dedo: el punto de equilibrio es el centro de masas. Mide desde el punto de suspensión hasta ese punto, no la longitud completa de las cuerdas o varillas. También puedes calcularlo: \(L = \frac{M L_{block} + m L_{projectile}}{m + M}\), donde cada longitud se mide desde el punto de suspensión hasta el centro de masas de cada objeto. Con un bloque pesado, la diferencia respecto al centro del bloque es pequeña, pero medible.
¿Por qué mi velocidad calculada difiere de la medición de un cronógrafo?
Por tres razones principales. Primera, los péndulos reales pierden por rozamiento del pivote y resistencia del aire algunos puntos porcentuales de su oscilación, así que la altura queda ligeramente baja y la velocidad subestimada. Segunda, el proyectil pierde algo de velocidad en el vuelo entre la boca del arma y el bloque: un cronógrafo situado en la boca mide otra cosa. Tercera, si el punto de impacto no está alineado con el centro de masas del bloque, el bloque gira y desperdicia energía, lo que también sesga el resultado a la baja. Con un montaje de laboratorio cuidadoso cabe esperar una coincidencia dentro de unos pocos puntos porcentuales.
¿Importa si introduzco las masas en gramos y las longitudes en pulgadas o pies?
No: la calculadora convierte internamente todas las unidades al SI (kilogramos y metros), así que puedes combinar g, kg, lb y oz para las masas y m, cm, mm, ft o in para las longitudes y alturas. La única entrada sin opción de unidad es el ángulo de oscilación, que debe estar siempre en grados respecto a la vertical, no en radianes. Solo las salidas son fijas en m/s (con sus equivalentes en km/h, ft/s y mph).
¿Qué ángulo de oscilación y qué relación de masas dan los resultados más precisos?
Busca un ángulo máximo de oscilación entre unos 10° y 60°. Por debajo de 10° la altura es minúscula y difícil de medir; por encima de unos 60°, y especialmente cerca de 180°, los pequeños errores de ángulo se disparan porque \(1 - \cos\theta\) varía muy rápidamente. Mantén el bloque unas 20–100 veces más pesado que el proyectil: los bloques más pesados oscilan menos (peor precisión de la altura), mientras que los más ligeros hacen que el factor de masas sea sensible a los errores de pesaje.
¿Se puede usar esta calculadora para flechas, bolas de airsoft o bolas de pintura?
Sí, siempre que el proyectil se incruste en el bloque y permanezca en él: las flechas en un bloque de paja o de espuma son una variante clásica. Las bolas de airsoft y de pintura suelen romperse o rebotar, lo que invalida el supuesto de colisión perfectamente inelástica, así que usa un medio de captura blando como plastilina. Se aplica la misma física en dos etapas: conservación de la cantidad de movimiento en el impacto y conservación de la energía durante la oscilación.