Calculateur de pendule balistique
Calculez la vitesse d'un projectile à partir d'une expérience de pendule balistique. Saisissez les masses du projectile et du pendule ainsi que la hauteur de remontée, ou l'angle de remontée et la longueur du pendule.
Calculer la vitesse du projectile à partir d'une expérience de pendule balistique
Formule du pendule balistique
Où :
- \(v\) — vitesse du projectile juste avant l'impact (m/s)
- \(m\) — masse du projectile (kg)
- \(M\) — masse du bloc du pendule (kg)
- \(u = \sqrt{2gh}\) — vitesse de l'ensemble projectile + bloc juste après l'impact (m/s)
- \(g\) — accélération de la pesanteur, 9,80665 m/s\(^2\)
- \(h\) — hauteur verticale d'élévation du bloc pendant la remontée (m)
- \(L\) — longueur du pendule, de l'axe au centre de masse (m)
- \(\theta\) — angle maximal de remontée par rapport à la verticale (degrés)
Cette formule combine deux lois de la physique : la quantité de mouvement se conserve pendant le choc parfaitement inélastique, \(mv = (m + M)u\), et l'énergie mécanique se conserve pendant la remontée, \(\tfrac{1}{2}(m + M)u^2 = (m + M)gh\). La résolution de ces deux équations donne la vitesse du projectile avant l'impact.
Pendule balistique – Exemple de calcul
Exemple : un projectile de 10 g se loge dans un bloc de pendule de 250 g. Le bloc remonte jusqu'à un angle maximal de 30\(\degree\) sur un pendule de longueur 0,5 m. Quelle était la vitesse du projectile ?
On calcule d'abord la hauteur d'élévation :
\[ h = L (1 - \cos\theta) = 0.5 \times (1 - \cos 30\degree) = 0.06699 \text{ m} \]
Puis la vitesse de l'ensemble juste après l'impact :
\[ u = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9.80665 \times 0.06699} = 1.146 \text{ m/s} \]
Enfin, on applique la conservation de la quantité de mouvement :
\[ v = \frac{m + M}{m} \, u = \frac{0.01 + 0.25}{0.01} \times 1.146 = 29.80 \text{ m/s} \]
Résultat : le projectile se déplaçait à environ 29,80 m/s (107,3 km/h, soit 97,8 ft/s) avant l'impact. L'ensemble ne se déplaçait qu'à 1,146 m/s après le choc, et 96,2 % de l'énergie cinétique initiale (environ 4,27 J) ont été dissipés en chaleur et en déformation lors de la collision.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez la masse du projectile (m) et choisissez son unité (g, kg, lb ou oz). Il s'agit de la masse de la balle, de la bille ou du plomb qui se loge dans le bloc.
- Saisissez la masse du pendule (M) avec son unité — la masse du bloc seul, sans le projectile.
- Dans Comment mesurez-vous la remontée maximale ?, indiquez si vous avez relevé directement la hauteur d'élévation (Par la hauteur de remontée (h)) ou si vous avez mesuré l'angle et la longueur du pendule (Par l'angle et la longueur (\(\theta\), L)).
- Selon votre choix, saisissez soit la hauteur maximale de remontée (h), soit à la fois l'angle maximal de remontée (\(\theta\)) en degrés et la longueur du pendule (L), mesurée de l'axe au centre de masse du bloc chargé.
- Lisez les résultats : la vitesse du projectile avant l'impact dans plusieurs unités, la vitesse de l'ensemble après l'impact, la hauteur de remontée et le détail de l'énergie perdue lors du choc.
Qu'est-ce qu'un pendule balistique ?
Un pendule balistique est un dispositif classique de physique qui sert à mesurer la vitesse d'un projectile rapide, difficile à chronométrer directement. Le projectile est tiré horizontalement dans un bloc lourd suspendu à de longs fils ou tiges. Il s'y incruste, le bloc remonte, et l'élévation maximale — lue sur une échelle graduée ou exprimée sous forme d'angle — renseigne sur la vitesse à laquelle le projectile devait se déplacer.
L'analyse se fait en deux étapes, car deux lois de conservation différentes s'appliquent. Pendant l'impact, très bref, l'énergie cinétique n'est pas conservée — une grande partie sert à déformer le bloc et le projectile — mais la quantité de mouvement, elle, l'est. On en déduit la vitesse \(u\) de l'ensemble juste après le choc. Pendant la remontée qui suit, plus lente, les frottements et la résistance de l'air sont négligeables : l'énergie mécanique est donc conservée, l'énergie cinétique se transformant en énergie potentielle de pesanteur — c'est précisément ce que mesure la hauteur de remontée.
Remarquez que la vitesse du projectile est toujours supérieure à la vitesse après impact d'un facteur égal au rapport des masses \((m + M)/m\). Avec un projectile léger et un bloc lourd, ce rapport est grand — il vaut 26 dans l'exemple ci-dessus — de sorte qu'une remontée modeste du bloc correspond à un projectile très rapide. C'est aussi pourquoi le calculateur fait état d'une perte d'énergie importante : perdre de l'énergie cinétique lors du choc n'est pas une erreur, c'est au contraire ce qui rend la mesure possible sans matériel de chronométrage.
Historiquement, les pendules balistiques ont servi, dès le XVIIIᵉ siècle, à mesurer la vitesse à la bouche du canon des armes à feu, et le même principe est toujours utilisé dans les travaux pratiques universitaires. L'expérience montre clairement que la conservation de la quantité de mouvement et celle de l'énergie valent chacune dans leur domaine, et que les confondre conduit à des résultats faux.
Hypothèses, limites et conseils pratiques
- Choc parfaitement inélastique. Le projectile doit s'incruster dans le bloc et y rester. S'il rebondit ou le traverse, le transfert de quantité de mouvement change et le résultat sera faux.
- Impact instantané. Le poids et la tension des fils sont supposés négligeables pendant le choc, ce qui est valable car l'impact ne dure que quelques millisecondes.
- Remontée sans frottement. Le frottement de l'axe et la traînée aérodynamique sont négligés ; la hauteur de remontée mesurée sous-estime donc légèrement la vraie vitesse après l'impact. Les pendules réels perdent quelques pour cent de leur élan à cause des frottements.
- Longueur du pendule jusqu'au centre de masse. Avec la méthode de l'angle, \(L\) doit être mesurée de l'axe au centre de masse du bloc avec le projectile logé dedans, et non pas comme la longueur du fil.
- Angles proches de 180\(\degree\). La formule de la hauteur \(h = L(1 - \cos\theta)\) devient très sensible au voisinage de 180\(\degree\) : de petites erreurs de mesure d'angle entraînent alors de grandes erreurs sur la vitesse. Les petites remontées posent aussi problème, car la hauteur devient difficile à mesurer avec précision — des angles compris grosso modo entre 10\(\degree\) et 60\(\degree\) offrent la meilleure précision.
- Bloc bien plus lourd que le projectile. Un grand rapport de masses amplifie l'incertitude de mesure sur les masses ; conservez au moins une décimale de précision sur \(m\).
Si vous allez plus loin dans l'étude du mouvement des projectiles, vous pouvez comparer la vitesse calculée à la vitesse du son dans l'air pour savoir si le projectile est supersonique, estimer comment l'angle de tir et la géométrie du pendule interagissent grâce au nombre de Froude, ou tenir compte de la perte de vitesse en vol avec la force de traînée.
Questions fréquentes
Pourquoi ne puis-je pas simplement égaler l'énergie cinétique du projectile à l'énergie potentielle au sommet de la remontée ?
C'est l'erreur la plus courante dans cette expérience. L'énergie cinétique n'est pas conservée pendant l'impact — plus de 90 % se transforme généralement en chaleur, en déformation et en son au moment où le projectile s'incruste dans le bloc. Seule la quantité de mouvement traverse le choc sans changer. Écrire \(\tfrac{1}{2}mv^2 = (m+M)gh\) au lieu de \(v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}\) sous-estime la vitesse d'un facteur important.
Que se passe-t-il si le projectile rebondit ou traverse le bloc ?
Le résultat sera faux, car la formule suppose un choc parfaitement inélastique où le projectile et le bloc avancent ensuite ensemble. Si le projectile rebondit, le transfert de quantité de mouvement est plus grand que prévu et la vitesse est sous-estimée ; s'il traverse le bloc, le transfert est plus faible et la vitesse est surestimée. Utilisez un matériau assez mou ou assez épais pour piéger complètement le projectile, comme l'argile, la cire ou un bois d'épaisseur suffisante.
Comment trouver le centre de masse du pendule chargé pour la longueur L ?
Équilibrez le bloc (avec un projectile du même type logé dedans) sur un tranchant ou sur votre doigt — le point d'équilibre est le centre de masse. Mesurez de l'axe à ce point, et non la longueur totale du fil ou de la tige. Vous pouvez aussi le calculer : \(L = \frac{M L_{block} + m L_{projectile}}{m + M}\), où chaque longueur est mesurée de l'axe au centre de masse propre de l'objet en question. Pour un bloc lourd, l'écart par rapport au centre du bloc est faible mais mesurable.
Pourquoi ma vitesse calculée diffère-t-elle d'une mesure au chronographe ?
Trois raisons principales. D'abord, les pendules réels perdent quelques pour cent de leur élan à cause du frottement de l'axe et de la traînée de l'air : la hauteur est donc légèrement faible et la vitesse sous-estimée. Ensuite, le projectile perd de la vitesse en vol entre la bouche du canon et le bloc — un chronographe placé à la bouche ne mesure pas la même grandeur. Enfin, si le point d'impact n'est pas aligné avec le centre de masse du bloc, le bloc pivote et gaspille de l'énergie, ce qui biaise encore le résultat à la baisse. Avec un montage de laboratoire soigné, on peut s'attendre à un écart de quelques pour cent.
Est-il gênant de saisir des masses en grammes et des longueurs en pouces ou en pieds ?
Non — le calculateur convertit toutes les unités en SI en interne (kilogrammes et mètres) ; vous pouvez donc mélanger g, kg, lb et oz pour les masses, et m, cm, mm, ft ou in pour les longueurs et les hauteurs. La seule donnée sans choix d'unité est l'angle de remontée, qui doit toujours être exprimé en degrés par rapport à la verticale, et non en radians. Seuls les résultats sont figés en m/s (avec les équivalents km/h, ft/s et mph affichés).
Quel angle de remontée et quel rapport de masses donnent les résultats les plus précis ?
Visez un angle de remontée maximal compris entre 10° et 60° environ. En dessous de 10°, la hauteur est minuscule et difficile à mesurer ; au-delà de 60° environ, et surtout près de 180°, de petites erreurs d'angle s'amplifient car \(1 - \cos\theta\) varie très rapidement. Gardez un bloc à peu près 20 à 100 fois plus lourd que le projectile : un bloc trop lourd remonte moins (moins bonne précision sur la hauteur), tandis qu'un bloc trop léger rend le rapport de masses sensible aux erreurs de pesée.
Ce calculateur convient-il aux flèches, aux billes d'airsoft ou aux billes de paintball ?
Oui, à condition que le projectile s'incruste dans le bloc et y reste — les flèches dans un bloc cible de paille ou de mousse sont une variante classique. Les billes d'airsoft et de paintball éclatent ou rebondissent souvent, ce qui contredit l'hypothèse du choc parfaitement inélastique ; utilisez donc un matériau d'arrêt tendre comme la pâte à modeler. La même physique en deux étapes s'applique : conservation de la quantité de mouvement à l'impact, puis conservation de l'énergie pendant la remontée.