Calculadora de factoriales
Calcula el factorial exacto n! de cualquier número entero no negativo hasta 10.000, con todos sus dígitos, además del número de dígitos, los ceros finales y la notación científica.
Calcula el factorial exacto de un número entero no negativo
Fórmula del factorial
Donde:
- \(n\) — un número entero no negativo (0, 1, 2, 3, …)
- \(n!\) — el factorial de \(n\), el producto de todos los números enteros desde 1 hasta \(n\)
El factorial de un número es, sencillamente, el resultado de multiplicar todos los números enteros desde 1 hasta ese número. El caso especial \(0! = 1\) es una definición que mantiene la coherencia de las fórmulas de conteo y de álgebra.
El número de ceros finales de \(n!\) se obtiene con la fórmula de Legendre:
\[ z = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots \]
Factorial: ejemplo de cálculo
Ejemplo: calcula el factorial de 10, que es el valor que aparece por defecto en la calculadora.
\[ 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \]
\[ 10! = 3{,}628{,}800 \]
Resultado: \(10! = 3{,}628{,}800\). Tiene 7 dígitos y 2 ceros finales, y en notación científica equivale a \(3.6288 \times 10^{6}\).
Cómo usar la calculadora de factoriales
- Escribe tu número en el campo Número entero no negativo (cualquier número entero desde 0 hasta 10.000; el valor por defecto es 10).
- Lee el resultado del Factorial exacto: todos los dígitos se calculan con aritmética de precisión arbitraria, así que nada se redondea.
- Consulta los campos Número de dígitos y Ceros finales para hacerte una idea rápida del tamaño del resultado.
- Mira la línea Notación científica (valor exacto) si el número completo resulta demasiado largo para leerlo con comodidad.
- Revisa Cómo se ha calculado este resultado para ver un breve desglose del producto y del recuento de ceros finales.
¿Qué es un factorial?
El factorial de un número entero no negativo \(n\), escrito \(n!\), es el producto de todos los números enteros positivos hasta \(n\). Así, \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). La notación se introdujo a comienzos del siglo XIX y se ha convertido en uno de los símbolos más usados de las matemáticas, porque los factoriales aparecen por todas partes: permutaciones y combinaciones, distribuciones de probabilidad como la binomial y la de Poisson, las series de Taylor de \(e^x\) y muchos problemas de conteo.
La interpretación más habitual es la combinatoria: \(n!\) es el número de formas de ordenar \(n\) objetos distintos en fila. Si tienes 10 libros, hay \(10! = 3{,}628{,}800\) formas distintas de colocarlos en la estantería. Por eso los factoriales aparecen en el coeficiente binomial \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), que cuenta selecciones en las que el orden no importa.
Los factoriales crecen más rápido que cualquier función exponencial. Los primeros valores son pequeños — \(1! = 1\), \(5! = 120\), \(10! = 3{,}628{,}800\) —, pero al llegar a \(n = 20\) el resultado ya supera \(2.4 \times 10^{18}\), y \(70!\) es mayor que un gúgol. Ese crecimiento explosivo es justamente la razón por la que esta calculadora usa aritmética de precisión arbitraria: los números de coma flotante habituales se desbordan en torno a \(170!\), mientras que aquí obtienes hasta el último dígito con exactitud, hasta \(10000!\) (que tiene 35.660 dígitos).
Los resultados adicionales te ayudan a interpretar valores enormes. El número de dígitos te indica el orden de magnitud, la notación científica ofrece una forma compacta y exacta, y el recuento de ceros finales responde a una pregunta clásica: ¿cuántos ceros hay al final de \(n!\)? Cada cero final procede de un factor \(10 = 2 \times 5\), y como los factores de 5 son más escasos que los de 2, el recuento es \(z = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \lfloor n/125 \rfloor + \dots\), donde la división entera descarta el resto en cada paso.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Solo números enteros no negativos. Los factoriales no están definidos para enteros negativos, y entradas como 4,5 se rechazan. Para argumentos no enteros, los matemáticos usan la función gamma, donde \(\Gamma(n+1) = n!\).
- Rango de 0 a 10.000. El límite superior existe únicamente por rendimiento: \(10000!\) es un número de 35.660 dígitos, y calcular y mostrar resultados más allá de ese punto tardaría bastante más.
- Recuerda que \(0! = 1\) y \(1! = 1\). Son definiciones, no errores. Fijar \(0! = 1\) mantiene el correcto funcionamiento de fórmulas como \(\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!}\).
- El resultado es exacto, no una aproximación. Muchas herramientas devuelven \(n!\) como un número de coma flotante redondeado (o fallan a partir de \(170!\)); aquí el producto entero completo se calcula dígito a dígito.
- Cuidado con el desbordamiento en otros contextos. Si introduces un factorial en una calculadora con aritmética estándar de 64 bits, los valores por encima de \(20!\) no caben; tenlo en cuenta al combinar resultados: operaciones básicas como la multiplicación o la división de factoriales grandes conviene hacerlas simplificando la razón en lugar de calcular antes cada factorial.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula un factorial a mano?
Multiplica todos los números enteros desde 1 hasta n. Por ejemplo, \(6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720\). Un truco práctico es construir el resultado paso a paso: \(2! = 2\), luego \(3! = 2 \times 3 = 6\), luego \(4! = 6 \times 4 = 24\), y así sucesivamente: cada factorial es el anterior multiplicado por el siguiente número. A mano esto es manejable hasta aproximadamente \(10!\); a partir de ahí los números crecen muy deprisa.
¿Por qué 0! es igual a 1 y no a 0?
Es una definición deliberada, elegida para que las fórmulas de conteo sigan siendo coherentes. Por ejemplo, existe exactamente una forma de ordenar cero objetos (la ordenación vacía), y el coeficiente binomial \(\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!}\) debe valer 1, lo que solo funciona si \(0! = 1\). Además, mantiene válida la recursión \(n! = n \times (n-1)!\) cuando \(n = 1\). Así que es correcto, y no un error, que la calculadora devuelva 1 para \(0!\) y \(1!\).
¿Cuántos dígitos tiene n! para valores grandes de n?
Puedes estimar el número de dígitos con la aproximación de Stirling combinada con logaritmos: \(\log_{10}(n!) \approx n \log_{10}(n) - n \log_{10}(e)\). El número de dígitos es ese valor más 1, redondeando hacia abajo. Por ejemplo, \(100!\) tiene 158 dígitos y \(1000!\) tiene 2.568. La calculadora te da el recuento exacto directamente, pero la fórmula resulta útil cuando solo necesitas una idea aproximada del tamaño.
¿Puedo calcular factoriales de números negativos o decimales?
No: los factoriales solo están definidos para números enteros no negativos. Un entero negativo no tiene factorial porque el producto que lo define no se puede invertir de forma coherente, y un decimal como 4,5 no encaja con la idea de «producto de números enteros». Para argumentos no enteros o negativos, los matemáticos amplían el concepto mediante la función gamma, donde \(\Gamma(n+1) = n!\). Si necesitas valores de \(\Gamma\), busca una calculadora específica de la función gamma.
¿Por qué una calculadora normal da un error con factoriales por encima de 170?
La mayoría de las calculadoras y de los lenguajes de programación usan números de coma flotante de doble precisión, que alcanzan como máximo valores cercanos a \(1.8 \times 10^{308}\). Como \(170! \approx 7.3 \times 10^{306}\) y \(171!\) supera ese límite, todo lo que pase de 170 se desborda y devuelve un error o infinito. Antes todavía, en \(21!\), se desborda un entero de 64 bits. Esta calculadora usa aritmética de precisión arbitraria, así que calcula cada dígito con exactitud hasta \(10000!\).
¿Cuáles son los errores más comunes al trabajar con factoriales?
Los fallos típicos incluyen suponer que \(0! = 0\) (es 1), escribir un decimal en lugar de un número entero, confundir \(n!\) con \(n^n\) y contar mal los ceros finales contando factores de 2 en lugar de 5: el recuento de ceros lo limita el factor más escaso, así que usa \(z = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \dots\). Evita también calcular factoriales enormes por separado al simplificar razones como \(\frac{100!}{98!}\); conviene cancelar primero y multiplicar lo que quede.
¿Para qué se usan los factoriales en la vida real?
Los factoriales cuentan ordenaciones, así que aparecen siempre que el orden importa: la planificación de horarios, el barajado de una baraja de cartas (52! ordenaciones posibles) o la distribución de asientos. Son fundamentales en probabilidad y estadística: permutaciones, combinaciones y distribuciones como la binomial y la de Poisson dependen de ellos. En ciencia e ingeniería, los factoriales aparecen en desarrollos en serie de Taylor como \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots\), que están detrás de muchos métodos numéricos y fórmulas de física.