Calculadora de Fatorial
Calcule o fatorial exato n! de qualquer número inteiro não negativo até 10.000, com todos os dígitos exibidos, além da quantidade de dígitos, dos zeros finais e da notação científica.
Calcule o fatorial exato de um inteiro não negativo
Fórmula do fatorial
Onde:
- \(n\) — um número inteiro não negativo (0, 1, 2, 3, …)
- \(n!\) — o fatorial de \(n\), ou seja, o produto de todos os números inteiros de 1 até \(n\)
O fatorial de um número é simplesmente o produto de todos os números inteiros de 1 até ele. O caso especial \(0! = 1\) é uma definição que mantém a consistência das fórmulas de contagem e de álgebra.
A quantidade de zeros finais de \(n!\) é dada pela fórmula de Legendre:
\[ z = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots \]
Fatorial – exemplo de cálculo
Exemplo: calcular o fatorial de 10, que é o valor padrão da calculadora.
\[ 10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \]
\[ 10! = 3{,}628{,}800 \]
Resultado: \(10! = 3{,}628{,}800\). Ele tem 7 dígitos e 2 zeros finais, e em notação científica equivale a \(3.6288 \times 10^{6}\).
Como usar a calculadora de fatorial
- Digite seu número no campo Número inteiro não negativo (qualquer número inteiro de 0 a 10.000; o padrão é 10).
- Leia o resultado em Fatorial exato — todos os dígitos são calculados com aritmética de precisão arbitrária, então nada é arredondado.
- Confira os campos Quantidade de dígitos e Zeros finais para ter uma noção rápida do tamanho da resposta.
- Veja a linha Notação científica (valor exato) se o número completo for longo demais para ler com conforto.
- Consulte Como este resultado foi calculado para ver um breve resumo do produto e da contagem de zeros finais.
O que é um fatorial?
O fatorial de um número inteiro não negativo \(n\), escrito \(n!\), é o produto de todos os inteiros positivos até \(n\). Assim, \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). A notação foi introduzida no início do século XIX e se tornou um dos símbolos mais usados da matemática, porque fatoriais aparecem em todo lugar: permutações e combinações, distribuições de probabilidade como a binomial e a de Poisson, séries de Taylor para \(e^x\) e muitos problemas de contagem.
A interpretação mais comum é a combinatória: \(n!\) é o número de maneiras de arranjar \(n\) objetos distintos em uma fila. Se você tem 10 livros, existem \(10! = 3{,}628{,}800\) ordens diferentes de colocá-los na estante. É por isso que fatoriais aparecem no coeficiente binomial \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), que conta seleções em que a ordem não importa.
Fatoriais crescem mais rápido do que qualquer função exponencial. Os primeiros valores são pequenos — \(1! = 1\), \(5! = 120\), \(10! = 3{,}628{,}800\) — mas em \(n = 20\) o resultado já passa de \(2.4 \times 10^{18}\), e \(70!\) é maior do que um googol. Esse crescimento explosivo é exatamente o motivo de esta calculadora usar aritmética de precisão arbitrária: números de ponto flutuante comuns estouram por volta de \(170!\), enquanto aqui você obtém cada dígito com exatidão, até \(10000!\) (que tem 35.660 dígitos).
As informações extras ajudam você a interpretar resultados gigantescos. A quantidade de dígitos mostra a ordem de grandeza, a notação científica fornece uma forma exata e compacta, e a contagem de zeros finais responde a uma pergunta clássica: quantas vezes \(n!\) termina em zero? Cada zero final vem de um fator \(10 = 2 \times 5\), e como os fatores 5 são mais raros do que os fatores 2, a contagem é \(z = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \lfloor n/125 \rfloor + \dots\), em que a divisão inteira (piso) descarta o resto a cada passo.
Premissas, limitações e dicas
- Apenas números inteiros não negativos. Fatoriais não são definidos para inteiros negativos, e entradas como 4,5 são rejeitadas. Para argumentos não inteiros, os matemáticos usam a função gama, em que \(\Gamma(n+1) = n!\).
- Faixa de 0 a 10.000. O limite superior existe apenas por uma questão de desempenho; \(10000!\) é um número de 35.660 dígitos, e resultados além disso levariam bem mais tempo para serem calculados e exibidos.
- Lembre-se de que \(0! = 1\) e \(1! = 1\). São definições, não erros. Definir \(0! = 1\) mantém fórmulas como \(\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!}\) funcionando corretamente.
- O resultado é exato, não uma aproximação. Muitas ferramentas retornam \(n!\) como um número de ponto flutuante arredondado (ou falham depois de \(170!\)); aqui o produto inteiro completo é calculado dígito a dígito.
- Fique atento ao estouro em outros lugares. Se você levar um fatorial para uma calculadora com aritmética padrão de 64 bits, valores acima de \(20!\) não cabem, então leve isso em conta ao combinar resultados — operações básicas como multiplicação ou divisão de fatoriais grandes são mais bem feitas com simplificação de razões em vez de calcular cada fatorial primeiro.
Perguntas frequentes
Como calcular um fatorial à mão?
Multiplique todos os números inteiros de 1 até n. Por exemplo, \(6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720\). Um truque prático é construir aos poucos: \(2! = 2\), depois \(3! = 2 \times 3 = 6\), depois \(4! = 6 \times 4 = 24\), e assim por diante — cada fatorial é o anterior multiplicado pelo próximo número. À mão, isso continua administrável até cerca de \(10!\); além disso, os números crescem muito rápido.
Por que 0! é igual a 1 e não a 0?
É uma definição proposital, escolhida para que as fórmulas de contagem permaneçam consistentes. Por exemplo, existe exatamente uma maneira de arranjar zero objetos (o arranjo vazio), e o coeficiente binomial \(\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!}\) precisa ser igual a 1, o que só funciona se \(0! = 1\). Isso também mantém válida a recursão \(n! = n \times (n-1)!\) em \(n = 1\). Portanto, a calculadora retornar 1 para \(0!\) e \(1!\) está correto, não é um bug.
Quantos dígitos tem n! para n grande?
Você pode estimar a quantidade de dígitos com a aproximação de Stirling combinada com logaritmos: \(\log_{10}(n!) \approx n \log_{10}(n) - n \log_{10}(e)\). O número de dígitos é esse valor arredondado para baixo, mais 1. Por exemplo, \(100!\) tem 158 dígitos e \(1000!\) tem 2.568 dígitos. A calculadora fornece a contagem exata de dígitos diretamente, mas a fórmula é útil quando você só precisa de uma noção aproximada do tamanho.
Posso calcular fatoriais de números negativos ou decimais?
Não — fatoriais são definidos apenas para números inteiros não negativos. Um inteiro negativo não tem fatorial, porque o produto que o define não pode ser revertido de forma consistente, e um decimal como 4,5 não se encaixa no padrão de "produto de números inteiros". Para argumentos não inteiros ou negativos, os matemáticos estendem a ideia usando a função gama, em que \(\Gamma(n+1) = n!\). Se você precisa de valores de \(\Gamma\), procure uma calculadora específica da função gama.
Por que uma calculadora comum dá erro para fatoriais acima de 170?
A maioria das calculadoras e linguagens de programação usa números de ponto flutuante de precisão dupla, que chegam ao limite perto de \(1.8 \times 10^{308}\). Como \(170! \approx 7.3 \times 10^{306}\) e \(171!\) ultrapassa esse limite, qualquer coisa acima de 170 estoura e retorna um erro ou infinito. Ainda antes disso, em \(21!\), um inteiro de 64 bits já estoura. Esta calculadora usa aritmética de precisão arbitrária, então calcula cada dígito com exatidão até \(10000!\).
Quais são os erros mais comuns ao trabalhar com fatoriais?
Erros típicos incluem assumir que \(0! = 0\) (ele é 1), digitar um decimal em vez de um número inteiro, confundir \(n!\) com \(n^n\) e errar a contagem de zeros finais ao contar fatores de 2 em vez de 5 — a contagem de zeros é limitada pelo fator mais raro, então use \(z = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \dots\). Evite também calcular fatoriais gigantes separadamente ao simplificar razões como \(\frac{100!}{98!}\); cancele primeiro e multiplique o que sobrar.
Onde os fatoriais são usados na vida real?
Fatoriais contam arranjos, então aparecem sempre que a ordem importa: planejamento de horários, embaralhamento de um baralho de cartas (52! ordens) e arranjos de lugares à mesa. Eles são centrais na probabilidade e na estatística — permutações, combinações e distribuições como a binomial e a de Poisson dependem deles. Na ciência e na engenharia, fatoriais aparecem em expansões em série de Taylor como \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots\), que são a base de muitos métodos numéricos e fórmulas da física.