Calculadora de factores: todos los factores de un número
Introduce cualquier número entero de hasta 10¹² y obtén al instante todos sus factores, la cantidad y la suma de sus divisores, su descomposición en factores primos, sus pares de factores y si es primo, perfecto, abundante o deficiente. También puedes comparar entre 2 y 5 números para hallar sus factores comunes y su MCD.
Encuentra todos los divisores, los pares de factores y la descomposición en factores primos
Fórmula de los factores
Donde:
- \(d\) — un factor (divisor) de \(n\)
- \(n\) — el número que se descompone en factores
- \(p_i\), \(e_i\) — los distintos factores primos de \(n\) y sus exponentes en la descomposición en factores primos
- \(\tau(n)\) — la cantidad total de factores de \(n\)
- \(\sigma(n)\) — la suma de todos los factores de \(n\)
La primera línea define qué es un factor: \(d\) divide a \(n\) de forma exacta, sin dejar resto. La segunda muestra cómo la descomposición en factores primos permite calcular tanto la cantidad de factores como su suma.
Factores: ejemplo de cálculo
Ejemplo: halla todos los factores de \(n = 360\), el valor predeterminado de la calculadora.
\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \]
\[ \tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24 \]
\[ \sigma(360) = \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^2 - 1}{5 - 1} = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170 \]
Resultado: 360 tiene 24 factores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360. Su suma es 1170. Como la suma de sus divisores propios es \(1170 - 360 = 810 > 360\), 360 es un número abundante. Sus factores forman 12 pares, desde \(1 \times 360\) hasta \(18 \times 20\).
Cómo usar la calculadora de factores
- Selecciona el Modo: Todos los factores de un número o Factores comunes de entre 2 y 5 números.
- En el modo Todos los factores, introduce un número entero del 1 al 10¹² en el campo Número (n). También puedes introducir un número negativo: la calculadora mostrará los factores de \(|n|\) e indicará que existen los correspondientes factores negativos.
- Consulta los resultados: Todos los factores en orden ascendente, la Cantidad de factores \(\tau(n)\), la Suma de los factores \(\sigma(n)\), la Descomposición en factores primos, una tabla de Pares de factores y la clasificación del número como primo, perfecto, abundante o deficiente.
- En el modo Factores comunes, introduce entre 2 y 5 números enteros distintos de cero en el cuadro Números, separados por comas, espacios, puntos y comas o saltos de línea (por ejemplo,
12, 18, 30). El resultado muestra todos los factores que comparten los números y destaca el máximo común divisor.
Qué son los factores y por qué son importantes
Un factor de un número \(n\) es cualquier número entero que divide a \(n\) sin dejar resto. Por ejemplo, 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12; esos son todos sus factores. Cada factor \(d\) de \(n\) tiene otro con el que forma pareja: como \(n = d \times k\), ese otro factor es \(k = n \div d\). Por eso los factores se agrupan de forma natural en pares de factores. Un cuadrado perfecto, como 36, que contiene el par \(6 \times 6\), tiene una cantidad impar de factores porque \(\sqrt{n}\) forma pareja consigo misma.
La forma más rápida de hallar todos los factores de un número grande es obtener su descomposición en factores primos. Si \(n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}\), cada factor es un producto de esos mismos números primos elevados a exponentes que no superan los respectivos \(e_i\). Así se obtiene directamente la cantidad de factores: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Si quieres ver la descomposición paso a paso, utiliza la calculadora de descomposición en factores primos. Si solo necesitas comprobar un número concreto, el comprobador de números primos es más rápido.
La suma de los factores \(\sigma(n)\) sirve, además, para clasificar un número. Si sus divisores propios (todos sus factores salvo el propio \(n\)) suman exactamente \(n\), el número es perfecto, como 6 o 28. Si la suma es mayor, es abundante; si es menor, deficiente. Los números primos siempre son deficientes, ya que su único divisor propio es 1.
Los factores comunes son los factores que comparten dos o más números. Coinciden exactamente con los factores del máximo común divisor (MCD). Por eso, la calculadora halla primero el MCD y después muestra sus divisores. Los factores comunes son esenciales para simplificar fracciones. Si buscas el concepto relacionado, el mínimo común múltiplo, puedes usar la calculadora del MCM.
Condiciones, límites y consejos
- Solo números enteros. No se admiten fracciones ni números decimales. Tampoco se admite el cero, porque es divisible por cualquier entero distinto de cero y daría lugar a una lista infinita.
- Límite de tamaño. El valor absoluto de cada número debe ser como máximo 10¹² (1.000.000.000.000.000). Si introduces un número muy grande con miles de factores, la lista se limita a los primeros 2.000 factores y la tabla, a 500 pares como máximo; el resto se incluye en el recuento.
- Números negativos. Si introduces un valor negativo, se muestran los factores positivos de \(|n|\) y se indica que cada uno tiene también su correspondiente factor negativo \(-d\). Por tanto, la cantidad total de factores enteros es el doble.
- Consejo. Si solo quieres comprobar si un número divide a \(n\), sin obtener la lista completa de factores, divide \(n\) entre ese número y comprueba si el cociente es entero. Basta con probar hasta \(\sqrt{n}\), porque cualquier factor mayor que \(\sqrt{n}\) forma pareja con otro menor que ya habrás encontrado.
- Consejo. Los pares de factores son útiles para simplificar radicales y factorizar expresiones cuadráticas: si \(a \times b = n\) y la suma o la diferencia de \(a\) y \(b\) te resulta conveniente, habrás encontrado una descomposición útil de \(n\).
Preguntas frecuentes
¿Cómo puedo hallar a mano todos los factores de un número?
Prueba todos los números enteros desde 1 hasta \(\sqrt{n}\) y divide \(n\) entre cada uno. Cada vez que la división sea exacta, habrás encontrado dos factores a la vez: el número probado \(d\) y su pareja \(n \div d\). Por ejemplo, con 60, al probar hasta \(\sqrt{60} \approx 7.7\) se obtienen los pares \(1 \times 60\), \(2 \times 30\), \(3 \times 20\), \(4 \times 15\), \(5 \times 12\) y \(6 \times 10\). Reúne todos los números de esos pares y ordénalos para obtener la lista completa.
¿Por qué los cuadrados perfectos tienen una cantidad impar de factores?
Los factores suelen aparecer por pares \(d \times (n \div d)\), por lo que su cantidad total es par. En un cuadrado perfecto como 36, el factor central es \(\sqrt{36} = 6\), que forma pareja consigo mismo —\(6 \times 6 = 36\)— y solo se cuenta una vez. Ese único factor sin pareja distinta hace que el total sea impar. A la inversa, si un número tiene una cantidad impar de factores, necesariamente es un cuadrado perfecto.
¿Qué diferencia hay entre un factor y un múltiplo?
Son conceptos inversos. Un factor de \(n\) lo divide exactamente, así que no puede ser mayor que el propio \(n\). Un múltiplo de \(n\) se obtiene multiplicándolo, así que no puede ser menor que \(n\). Por ejemplo, 3 es un factor de 12 y 12 es un múltiplo de 3. Una confusión habitual: 12 no es un factor de 3, pero 3 sí es un múltiplo de 3; todo número es factor y múltiplo de sí mismo.
¿Es 1 un factor de todos los números? ¿Es primo?
Sí, 1 divide exactamente a cualquier número entero. Por tanto, siempre es un factor de \(n\) y forma pareja con el propio \(n\), que aparece al final de la lista de factores. Sin embargo, 1 no es primo: un número primo debe tener exactamente dos factores, 1 y él mismo, mientras que 1 solo tiene uno. Por eso, 1 tampoco se clasifica como compuesto, perfecto, abundante ni deficiente.
¿Cuál es la mayor cantidad de factores que puede tener un número?
No hay un límite fijo: algunos números tienen muchos más factores que otros de tamaño parecido. Se denominan números altamente compuestos. Por ejemplo, 720720 tiene 240 factores y 963761198400 (menor que 10¹²) tiene 6720. La cantidad depende del número de factores primos distintos y de sus exponentes: \(\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)\). Por eso, añadir un nuevo factor primo siempre multiplica la cantidad de factores.
¿Los números negativos también cuentan como factores?
En aritmética de números enteros, sí: si \(d\) divide a \(n\), también lo divide \(-d\). Así, −2 y 2 son divisores de 10, lo que duplica la cantidad de factores. En el ámbito escolar y en la mayoría de los libros de texto, «factores de n» suele referirse solo a los divisores positivos, que son los que muestra la calculadora de forma predeterminada. Si introduces un número negativo, muestra los factores de \(|n|\) e indica por separado que existen los correspondientes factores negativos.
¿Cuáles son los primeros números perfectos y por qué son tan poco frecuentes?
Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios. Los más pequeños son 6 (1 + 2 + 3), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 y 8128. Todos los números perfectos pares conocidos tienen la forma de Euclides-Euler \(2^{p-1}(2^p - 1)\), donde \(2^p - 1\) debe ser un primo de Mersenne. Eso explica su rareza: solo se conocen 52 y todavía no se ha demostrado si existe algún número perfecto impar.