Calculadora del área de un sector circular
Calcula el área de un sector circular a partir de su radio y su ángulo central. Introduce el radio, elige la unidad angular (grados, radianes o centesimales) y obtén el área del sector, la longitud del arco, el perímetro y la fracción del círculo completo.
Calcula el área de un sector circular a partir del radio y del ángulo
Área del sector circular
Donde:
- \(A\) — área del sector (unidades cuadradas, p. ej. m²)
- \(L\) — longitud del arco del sector (la misma unidad que el radio)
- \(P\) — perímetro del sector (los dos radios más el arco)
- \(r\) — radio del círculo
- \(\theta\) — ángulo central en radianes
El área del sector es simplemente la fracción del área total del círculo \(\pi r^2\) que abarca el ángulo \(\theta\): como el círculo completo equivale a \(2\pi\) radianes, el sector ocupa \(\theta / 2\pi\) de esa área.
Si el ángulo viene dado en grados, conviértelo primero: \(\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \pi / 180\). La calculadora realiza esta conversión automáticamente.
Área del sector circular – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: un sector circular tiene un radio de 5 m y un ángulo central de 60°. Calcula su área, la longitud de su arco y su perímetro.
\[ \theta = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ rad} \]
\[ A = \frac{\theta}{2} r^2 = \frac{1.047}{2} \cdot 5^2 \approx 13.09 \text{ m}^2 \]
\[ L = \theta r = 1.047 \cdot 5 \approx 5.236 \text{ m}, \qquad P = 2 \cdot 5 + 5.236 \approx 15.236 \text{ m} \]
Resultado: el área del sector es de unos 13,09 m², la longitud del arco de 5,236 m y el perímetro de 15,236 m. El sector abarca \(60/360 = 1/6 \approx 0.167\) del círculo completo.
Cómo usar la calculadora
- Introduce el Radio del círculo y elige su unidad (m, cm, mm, ft o in). El área se mostrará en la unidad cuadrada correspondiente.
- Introduce el Ángulo central entre los dos radios y elige su unidad: grados sexagesimales (°), radianes (rad) o grados centesimales (gon).
- Lee los resultados: Área del sector (con el área del círculo completo como referencia), Longitud del arco, Perímetro, Fracción del círculo y el desarrollo del cálculo paso a paso.
El radio y el ángulo deben ser ambos mayores que cero. Se aceptan ángulos superiores a 360°: en ese caso el sector da más de una vuelta completa alrededor del centro y el área crece en consecuencia.
¿Qué es un sector circular?
Un sector circular es la región de un círculo delimitada por dos radios y el arco que los une: la forma de una porción de pizza, de una porción de gráfico circular o de un abanico. Todo sector queda definido por exactamente dos magnitudes: el radio \(r\) del círculo al que pertenece y el ángulo central \(\theta\), que determina cuánto se abre la «porción» en el centro.
La idea clave tras la fórmula es la proporcionalidad. Un círculo completo, con un ángulo de \(2\pi\) radianes, tiene un área de \(\pi r^2\); un sector con ángulo \(\theta\) abarca exactamente \(\theta/2\pi\) de esa área. Al simplificar \(\pi\) queda el resultado compacto \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). Para un radio fijo, el área crece en variación directa con el ángulo: si duplicas el ángulo, duplicas el área. Si, en cambio, duplicas el radio, el área se cuadruplica, porque \(r\) está elevado al cuadrado.
Interpretar los resultados es sencillo: la longitud del arco indica cuánto mide el borde curvo del sector, algo útil para estimar materiales (remates, vallas, tubos doblados). El perímetro suma al arco los dos radios rectos, es decir, todo el contorno de la porción. La fracción del círculo pone el tamaño en perspectiva: un sector de 90° es un cuarto del círculo, uno de 60° un sexto, y así sucesivamente; así es exactamente como funcionan las proporciones de los gráficos circulares.
Unidades, supuestos y consejos
- Las unidades del ángulo importan. La fórmula exige radianes. Si calculas a mano con grados, conviértelos primero multiplicando por \(\pi/180\). La calculadora convierte automáticamente grados, radianes y centesimales. Un grado centesimal equivale a 0,9°, y una vuelta completa son 400 gon.
- La unidad de longitud se eleva al cuadrado para el área. Un radio en metros da un área en m²; un radio en centímetros, en cm². Mezclar unidades (p. ej. radio en metros esperando un resultado en cm²) es una fuente habitual de errores.
- El sector es una figura plana. El cálculo supone un sector circular plano; no se aplica a sectores esféricos o cónicos (como la superficie curva de un cono).
- Los ángulos mayores de 360° generan sectores solapados que dan más de una vuelta completa: el área resultante es mayor que la del círculo entero. Úsalos solo si eso es realmente lo que necesitas.
- Casos particulares: con \(\theta = 2\pi\) el sector se convierte en el círculo completo, de área \(\pi r^2\); con \(\theta = \pi\) es un semicírculo, con área \(\pi r^2/2\) y perímetro \(P = 2r + \pi r\).
Tabla de consulta rápida
Fracción del círculo para los ángulos más comunes:
| Ángulo central | En radianes | Fracción del círculo |
|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6 \approx 0.524\) | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4 \approx 0.785\) | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3 \approx 1.047\) | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2 \approx 1.571\) | 1/4 |
| 180° | \(\pi \approx 3.142\) | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2 \approx 4.712\) | 3/4 |
| 360° | \(2\pi \approx 6.283\) | 1 |
Para obtener el área a partir de esta tabla, basta con multiplicar la fracción por el área del círculo completo \(\pi r^2\) — o dejar que la calculadora lo haga por ti.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo el área de un sector si solo conozco la longitud del arco (y no el ángulo)?
Primero obtén el ángulo central a partir de la longitud del arco: como \(L = \theta r\), el ángulo en radianes es \(\theta = L / r\). Después sustitúyelo en la fórmula del área \(A = \frac{\theta}{2} r^2\), que se simplifica elegantemente a \(A = \frac{L \cdot r}{2}\). Por ejemplo, un arco de 6 m con un radio de 4 m da \(A = 6 \cdot 4 / 2 = 12\) m². También puedes introducir en la calculadora la longitud del arco dividida por el radio como ángulo en radianes.
¿Cuál es la diferencia entre un sector y un segmento circular?
Un sector está delimitado por dos radios y el arco: una porción de pizza. Un segmento es la región comprendida entre una cuerda y el arco, sin el triángulo que llega hasta el centro. Si necesitas el área del segmento, calcula el área del sector y réstale el triángulo formado por los dos radios y la cuerda: \(A_{\text{segmento}} = \frac{\theta}{2} r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta\) (con \(\theta\) en radianes). Esta calculadora te da el área del sector, que es el primer término de esa expresión.
¿Puedo usar esta calculadora para un semicírculo o un cuarto de círculo?
Sí. Un semicírculo no es más que un sector con un ángulo de 180°, y un cuarto de círculo, un sector con un ángulo de 90°: introduce esos valores y lee los resultados. El semicírculo de radio \(r\) tiene un área de \(\pi r^2 / 2\) y un perímetro de \(2r + \pi r\); el cuarto de círculo, un área de \(\pi r^2 / 4\) y un perímetro de \(2r + \pi r / 2\). Incluso el círculo completo funciona: pon el ángulo en 360° y el «sector» se convierte en el círculo entero.
¿Por qué mi cálculo a mano no coincide con el resultado de la calculadora?
La causa más habitual es olvidar convertir los grados a radianes. Las fórmulas \(A = \frac{\theta}{2} r^2\) y \(L = \theta r\) solo funcionan con \(\theta\) en radianes, de modo que 60° debe convertirse en \(\pi/3 \approx 1.047\) antes de sustituir. Otros errores frecuentes: usar el diámetro en lugar del radio, mezclar unidades (radio en cm pero esperando m²) y olvidar que el perímetro incluye los dos radios rectos además del arco.
¿Cómo se convierte entre grados, radianes y grados centesimales?
Una vuelta completa equivale a 360° = \(2\pi\) radianes = 400 grados centesimales. Para pasar de grados a radianes, multiplica por \(\pi/180\) (así, 90° → \(\pi/2 \approx 1.571\) rad). Para volver, multiplica los radianes por \(180/\pi\). Un grado centesimal equivale a 0,9°, así que para pasar de centesimales a grados basta multiplicar por 0,9. La calculadora maneja las tres unidades automáticamente, de modo que solo necesitarás estas conversiones al trabajar a mano.
¿Cómo calculo el área de un sector a partir de la cuerda y el radio?
Primero recupera el ángulo central a partir de la cuerda. La relación es \(c = 2r \sin(\theta/2)\), de modo que \(\theta = 2 \arcsin(c / (2r))\) en radianes. Después aplica \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). Por ejemplo, una cuerda de 10 cm con un radio de 10 cm da \(\theta = 2 \arcsin(0.5) = \pi/3\), así que \(A = \frac{\pi}{6} \cdot 100 \approx 52.36\) cm². Ten en cuenta que el arcsen devuelve ángulos de hasta 180°; para el sector mayor, usa \(2\pi - \theta\) en su lugar.
¿En qué unidades salen los resultados y cómo convierto el área?
La longitud del arco y el perímetro salen en la misma unidad que el radio; el área, en esa unidad al cuadrado: un radio en m da m² y un radio en ft da ft². Para convertir el área, multiplica por el factor de conversión al cuadrado: 1 m² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm² ≈ 10,764 ft², y 1 ft² = 144 in². Si necesitas un resultado combinado (por ejemplo, radio en pulgadas y área en ft²), divide el resultado en in² entre 144.