Калькулятор площі сектора кола
Обчисліть площу кругового сектора за радіусом і центральним кутом. Введіть радіус, виберіть одиниці (градуси, радіани або гради) — і отримайте площу сектора, довжину дуги, периметр і частку від повного кола.
Знайдіть площу кругового сектора за радіусом і кутом
Площа сектора
Де:
- \(A\) — площа сектора (квадратні одиниці, наприклад м²)
- \(L\) — довжина дуги сектора (та сама одиниця, що й радіус)
- \(P\) — периметр сектора (два радіуси плюс дуга)
- \(r\) — радіус кола
- \(\theta\) — центральний кут у радіанах
Площа сектора — це просто та частина загальної площі кола \(\pi r^2\), яку охоплює кут \(\theta\): оскільки повному колу відповідає \(2\pi\) радіанів, сектор займає \(\theta / 2\pi\) цієї площі.
Якщо кут задано в градусах, спочатку переведіть його в радіани: \(\theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \pi / 180\). Калькулятор виконує цей перерахунок автоматично.
Площа сектора – приклад обчислення
Приклад: круговий сектор має радіус 5 м і центральний кут 60°. Знайдіть його площу, довжину дуги та периметр.
\[ \theta = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ рад} \]
\[ A = \frac{\theta}{2} r^2 = \frac{1.047}{2} \cdot 5^2 \approx 13.09 \text{ м}^2 \]
\[ L = \theta r = 1.047 \cdot 5 \approx 5.236 \text{ м}, \qquad P = 2 \cdot 5 + 5.236 \approx 15.236 \text{ м} \]
Результат: площа сектора становить приблизно 13,09 м², довжина дуги — 5,236 м, а периметр — 15,236 м. Сектор охоплює \(60/360 = 1/6 \approx 0.167\) повного кола.
Як користуватися калькулятором
- Введіть радіус кола та виберіть його одиницю (м, см, мм, ft або in). Площу буде показано у відповідній квадратній одиниці.
- Введіть центральний кут між двома радіусами та виберіть його одиницю: градуси (deg), радіани (rad) або гради (grad).
- Прочитайте результати: площа сектора (разом із площею повного кола для порівняння), довжина дуги, периметр, частка кола і покроковий хід обчислень.
Радіус і кут обов’язково мають бути більшими за нуль. Кути понад 360° також приймаються — тоді сектор «намотується» навколо центра більше ніж один раз, і площа відповідно зростає.
Що таке круговий сектор?
Круговий сектор — це частина кола, обмежена двома радіусами та дугою між ними; за формою це шматочок піци, сегмент кругової діаграми або віяло. Кожен сектор визначають рівно дві величини: радіус \(r\) кола, до якого він належить, і центральний кут \(\theta\), що задає, наскільки широко «шматочок» розкривається від центра.
Ключова ідея формули — пропорційність. Повне коло з кутом \(2\pi\) радіанів має площу \(\pi r^2\); сектор із кутом \(\theta\) охоплює рівно \(\theta/2\pi\) цієї площі. Скоротивши \(\pi\), отримуємо компактний вираз \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). За фіксованого радіуса площа зростає у прямій пропорції до кута: подвоїте кут — подвоїться і площа. А подвоєння радіуса, навпаки, збільшує площу вчетверо, адже \(r\) стоїть у квадраті.
Тлумачити результати нескладно: довжина дуги показує, якою є криволінійний край сектора — це зручно для оцінки витрат матеріалу (оброблення, огорожі, зігнутої труби). Периметр додає до дуги два прямі радіуси — це повна довжина межі «шматочка». Частка кола дає уявлення про розмір: сектор 90° — це чверть кола, сектор 60° — шоста частина і так далі; саме на цьому й працюють пропорції кругових діаграм.
Одиниці, припущення та поради
- Одиниці кута мають значення. Формула вимагає радіанів. Якщо рахуєте вручну в градусах, спочатку переведіть їх: помножте на \(\pi/180\). Калькулятор автоматично перетворює deg, rad і grad. Один град дорівнює 0,9°, а повний оберт — 400 градів.
- Одиницю довжини для площі потрібно піднести до квадрата. Радіус у метрах дає площу в м²; радіус у сантиметрах — у см². Змішування одиниць (скажімо, радіус у метрах, а площа очікується в см²) — типове джерело помилок.
- Сектор — плоска фігура. Розрахунок передбачає плоский круговий сектор; до сферичних чи конічних секторів (як-от криволінійна поверхня конуса) він не застосовний.
- Кути понад 360° дають сектори, що накладаються один на одного й обгортаються навколо центра більше ніж на повний оберт, — тоді площа перевищує площу всього кола. Використовуйте їх, лише якщо вам дійсно потрібен саме такий результат.
- Окремі випадки: при \(\theta = 2\pi\) сектор стає повним колом із площею \(\pi r^2\); при \(\theta = \pi\) — півколом із площею \(\pi r^2/2\) і периметром \(P = 2r + \pi r\).
Швидка довідкова таблиця
Частка кола для поширених кутів:
| Центральний кут | У радіанах | Частка кола |
|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6 \approx 0.524\) | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4 \approx 0.785\) | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3 \approx 1.047\) | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2 \approx 1.571\) | 1/4 |
| 180° | \(\pi \approx 3.142\) | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2 \approx 4.712\) | 3/4 |
| 360° | \(2\pi \approx 6.283\) | 1 |
Щоб за цією таблицею отримати площу, просто помножте частку на площу повного кола \(\pi r^2\) — або довірте це калькулятору.
Часті запитання
Як знайти площу сектора, якщо відома лише довжина дуги, а не кут?
Спочатку знайдіть центральний кут за довжиною дуги: оскільки \(L = \theta r\), кут у радіанах дорівнює \(\theta = L / r\). Далі підставте його у формулу площі \(A = \frac{\theta}{2} r^2\), яка зручно скорочується до \(A = \frac{L \cdot r}{2}\). Наприклад, дуга завдовжки 6 м за радіуса 4 м дає \(A = 6 \cdot 4 / 2 = 12\) м². Або ж введіть у калькулятор кут у радіанах, поділивши довжину дуги на радіус.
Чим сектор відрізняється від сегмента кола?
Сектор обмежений двома радіусами та дугою — це шматок піци. Сегмент — це частина між хордою та дугою, без трикутника, що тягнеться до центра. Якщо потрібна площа сегмента, обчисліть площу сектора і відніміть трикутник, утворений двома радіусами та хордою: \(A_{\text{сегмента}} = \frac{\theta}{2} r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta\) (кут \(\theta\) у радіанах). Цей калькулятор дає площу сектора — перший доданок цього виразу.
Чи можна цим калькулятором обчислити півколо або чверть кола?
Так. Півколо — це просто сектор із кутом 180°, а чверть кола — сектор із кутом 90°: введіть ці значення й прочитайте результати. Півколо з радіусом \(r\) має площу \(\pi r^2 / 2\) і периметр \(2r + \pi r\); чверть круга — площу \(\pi r^2 / 4\) і периметр \(2r + \pi r / 2\). Підійде навіть повне коло: задайте кут 360°, і «сектор» стане цілим колом.
Чому мій ручний розрахунок не збігається з результатом калькулятора?
Найчастіша причина — градуси не переведено в радіани. Формули \(A = \frac{\theta}{2} r^2\) і \(L = \theta r\) працюють лише з \(\theta\) в радіанах, тому 60° перед підстановкою мають стати \(\pi/3 \approx 1.047\). Інші типові помилки: використання діаметра замість радіуса, змішування одиниць (радіус у см, а очікувана площа в м²), а також те, що периметр містить не лише дугу, а й два прямі радіуси.
Як перевести градуси, радіани та гради один в один?
Повний оберт — це 360° = \(2\pi\) радіанів = 400 градів. Щоб перевести градуси в радіани, помножте на \(\pi/180\) (тому 90° → \(\pi/2 \approx 1.571\) рад). Для зворотного перетворення помножте радіани на \(180/\pi\). Один град дорівнює 0,9°, тож гради переводяться в градуси множенням на 0,9. Калькулятор працює з усіма трьома одиницями автоматично, тож ці перерахунки знадобляться лише під час обчислень вручну.
Як обчислити площу сектора за довжиною хорди та радіусом?
Спочатку відновіть центральний кут за хордою. Зв’язок такий: \(c = 2r \sin(\theta/2)\), отже \(\theta = 2 \arcsin(c / (2r))\) у радіанах. Далі застосуйте \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). Наприклад, хорда 10 см за радіуса 10 см дає \(\theta = 2 \arcsin(0.5) = \pi/3\), тобто \(A = \frac{\pi}{6} \cdot 100 \approx 52.36\) см². Зауважте: arcsin повертає кути до 180°; для більшого з двох можливих секторів використайте \(2\pi - \theta\).
У яких одиницях будуть результати і як перевести площу?
Довжина дуги й периметр отримуються в тій самій одиниці, що й радіус; площа — у цій одиниці в квадраті: радіус у м дає м², радіус у ft — ft². Щоб перевести площу, помножте на квадрат коефіцієнта перетворення: 1 м² = 10 000 см² = 1 000 000 мм² ≈ 10,764 ft², а 1 ft² = 144 in². Якщо потрібен «змішаний» результат (скажімо, радіус у дюймах, а площа у ft²), поділіть результат у in² на 144.