Sektorfläche berechnen
Berechnen Sie die Fläche eines Kreissektors aus Radius und Mittelpunktswinkel. Geben Sie den Radius ein, wählen Sie die Einheit (Grad, Radiant oder Gon) und erhalten Sie Sektorfläche, Bogenlänge, Umfang und den Anteil am Vollkreis.
Fläche eines Kreissektors aus Radius und Winkel berechnen
Sektorfläche
Dabei bedeuten:
- \(A\) — Sektorfläche (Quadratseinheiten, z. B. m²)
- \(L\) — Bogenlänge des Sektors (dieselbe Einheit wie der Radius)
- \(P\) — Umfang des Sektors (zwei Radien plus Bogen)
- \(r\) — Radius des Kreises
- \(\theta\) — Mittelpunktswinkel im Bogenmaß (Radiant)
Die Sektorfläche ist einfach der Anteil der gesamten Kreisfläche \(\pi r^2\), den der Winkel \(\theta\) einnimmt: Da der volle Kreis \(2\pi\) Radianten entspricht, entfällt auf den Sektor der Anteil \(\theta / 2\pi\) davon.
Liegt Ihr Winkel in Grad vor, rechnen Sie ihn zunächst um: \(\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \pi / 180\). Der Rechner erledigt diese Umrechnung automatisch.
Sektorfläche – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Kreissektor hat einen Radius von 5 m und einen Mittelpunktswinkel von 60°. Gesucht sind Fläche, Bogenlänge und Umfang.
\[ \theta = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ rad} \]
\[ A = \frac{\theta}{2} r^2 = \frac{1.047}{2} \cdot 5^2 \approx 13.09 \text{ m}^2 \]
\[ L = \theta r = 1.047 \cdot 5 \approx 5.236 \text{ m}, \qquad P = 2 \cdot 5 + 5.236 \approx 15.236 \text{ m} \]
Ergebnis: Die Sektorfläche beträgt rund 13,09 m², die Bogenlänge 5,236 m und der Umfang 15,236 m. Der Sektor deckt \(60/360 = 1/6 \approx 0.167\) des Vollkreises ab.
So verwenden Sie den Rechner
- Geben Sie den Radius des Kreises ein und wählen Sie seine Einheit (m, cm, mm, ft oder in). Die Fläche wird in der passenden Quadratseinheit angezeigt.
- Geben Sie den Mittelpunktswinkel zwischen den beiden Radien ein und wählen Sie die Einheit: Grad (deg), Radiant (rad) oder Gon (gon).
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: Sektorfläche (mit der Vollkreisfläche zum Vergleich), Bogenlänge, Umfang, Anteil am Kreis sowie eine Schritt-für-Schritt-Rechnung.
Radius und Winkel müssen beide größer als null sein. Winkel über 360° sind erlaubt – der Sektor umläuft den Mittelpunkt dann mehr als einmal, und die Fläche wächst entsprechend.
Was ist ein Kreissektor?
Ein Kreissektor ist der Teil einer Kreisfläche, der von zwei Radien und dem Bogen zwischen ihnen begrenzt wird – die Form eines Pizzastücks, eines Segments im Tortendiagramm oder eines Faltfächers. Jeder Sektor ist durch genau zwei Größen festgelegt: den Radius \(r\) des zugehörigen Kreises und den Mittelpunktswinkel \(\theta\), der bestimmt, wie weit das „Stück“ am Mittelpunkt geöffnet ist.
Der Kern der Formel ist die Proportionalität. Ein Vollkreis mit dem Winkel \(2\pi\) Radianten hat die Fläche \(\pi r^2\); ein Sektor mit dem Winkel \(\theta\) überdeckt genau \(\theta/2\pi\) dieser Fläche. Kürzt man \(\pi\), bleibt das kompakte Ergebnis \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). Bei festem Radius wächst die Fläche direkt proportional mit dem Winkel: doppelter Winkel, doppelte Fläche. Eine Verdopplung des Radius vervierfacht die Fläche hingegen, weil \(r\) quadriert wird.
Die Ergebnisse lassen sich leicht deuten: Die Bogenlänge verrät, wie lang die gekrümmte Kante des Sektors ist – nützlich für Materialberechnungen (Leisten, Zäune, gebogene Rohre). Der Umfang addiert zu dem Bogen die beiden geraden Radien – also die gesamte Randlänge des Stücks. Der Anteil am Kreis ordnet die Größe ein: Ein 90°-Sektor ist ein Viertel des Kreises, ein 60°-Sektor ein Sechstel und so weiter – genau nach diesem Prinzip funktionieren die Anteile in einem Tortendiagramm.
Einheiten, Voraussetzungen und Tipps
- Die Winkeleinheit ist entscheidend. Die Formel verlangt Radianten. Wer von Hand mit Grad rechnet, muss zuerst umrechnen: mit \(\pi/180\) multiplizieren. Der Rechner wandelt Grad, Radiant und Gon automatisch um. Ein Gon entspricht 0,9°, eine volle Umdrehung sind 400 Gon.
- Längeneinheit quadrieren. Ein Radius in Metern ergibt eine Fläche in m², ein Radius in Zentimetern ergibt cm². Vermischte Einheiten (z. B. Radius in Metern, Ergebnis aber in cm² erwartet) sind eine häufige Fehlerquelle.
- Der Sektor ist eine ebene Figur. Die Rechnung setzt einen flachen Kreissektor voraus; sie gilt nicht für Kugel- oder Kegelsektoren (etwa die Mantelfläche eines Kegels).
- Winkel über 360° erzeugen überlappende Sektoren, die mehr als eine volle Umdrehung umfassen – die Fläche ist dann größer als der ganze Kreis. Verwenden Sie sie nur, wenn Sie genau das benötigen.
- Sonderfälle: Bei \(\theta = 2\pi\) wird der Sektor zum Vollkreis mit der Fläche \(\pi r^2\); bei \(\theta = \pi\) ist er ein Halbkreis mit der Fläche \(\pi r^2/2\) und dem Umfang \(P = 2r + \pi r\).
Übersichtstabelle
Anteil am Kreis für gängige Winkel:
| Mittelpunktswinkel | Im Bogenmaß | Anteil am Kreis |
|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6 \approx 0.524\) | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4 \approx 0.785\) | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3 \approx 1.047\) | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2 \approx 1.571\) | 1/4 |
| 180° | \(\pi \approx 3.142\) | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2 \approx 4.712\) | 3/4 |
| 360° | \(2\pi \approx 6.283\) | 1 |
Um mit dieser Tabelle die Fläche zu bestimmen, multiplizieren Sie den Anteil einfach mit der Vollkreisfläche \(\pi r^2\) – oder überlassen die Rechnung dem Rechner.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechne ich die Sektorfläche, wenn ich nur die Bogenlänge (nicht den Winkel) kenne?
Bestimmen Sie zuerst den Mittelpunktswinkel aus der Bogenlänge: Da \(L = \theta r\), gilt für den Winkel im Bogenmaß \(\theta = L / r\). Setzen Sie ihn in die Flächenformel \(A = \frac{\theta}{2} r^2\) ein, die sich elegant zu \(A = \frac{L \cdot r}{2}\) vereinfachen lässt. Ein Bogen von 6 m bei einem Radius von 4 m ergibt beispielsweise \(A = 6 \cdot 4 / 2 = 12\) m². Alternativ geben Sie im Rechner die Bogenlänge geteilt durch den Radius als Winkel im Bogenmaß ein.
Was ist der Unterschied zwischen einem Kreissektor und einem Kreisabschnitt?
Ein Sektor wird von zwei Radien und dem Bogen begrenzt – ein Pizzastück. Ein Kreisabschnitt (Segment) ist die Fläche zwischen einer Sehne und dem Bogen, ohne das Dreieck bis zum Mittelpunkt. Wenn Sie die Fläche eines Kreisabschnitts benötigen, berechnen Sie die Sektorfläche und ziehen das von den beiden Radien und der Sehne gebildete Dreieck ab: \(A_{\text{Segment}} = \frac{\theta}{2} r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta\) (mit \(\theta\) im Bogenmaß). Dieser Rechner liefert die Sektorfläche, also den ersten Summanden dieser Formel.
Kann ich diesen Rechner für einen Halbkreis oder Viertelkreis verwenden?
Ja. Ein Halbkreis ist einfach ein Sektor mit einem Winkel von 180° und ein Viertelkreis ein Sektor mit 90° – geben Sie diese Werte ein und lesen Sie die Ergebnisse ab. Der Halbkreis mit dem Radius \(r\) hat die Fläche \(\pi r^2 / 2\) und den Umfang \(2r + \pi r\); der Viertelkreis die Fläche \(\pi r^2 / 4\) und den Umfang \(2r + \pi r / 2\). Sogar der Vollkreis funktioniert: Setzen Sie den Winkel auf 360°, und der „Sektor“ wird zum ganzen Kreis.
Warum weicht meine Handrechnung vom Ergebnis des Rechners ab?
Die häufigste Ursache ist eine vergessene Umrechnung von Grad in Radianten. Die Formeln \(A = \frac{\theta}{2} r^2\) und \(L = \theta r\) gelten nur mit \(\theta\) im Bogenmaß; aus 60° muss also erst \(\pi/3 \approx 1.047\) werden, bevor man einsetzt. Weitere typische Fehler: den Durchmesser statt des Radius verwendet, Einheiten vermischt (Radius in cm, Ergebnis aber in m² erwartet) oder vergessen, dass der Umfang neben dem Bogen auch die beiden geraden Radien umfasst.
Wie rechne ich zwischen Grad, Radianten und Gon um?
Eine volle Umdrehung entspricht 360° = \(2\pi\) Radianten = 400 Gon. Um Grad in Radianten umzurechnen, multiplizieren Sie mit \(\pi/180\) (also 90° → \(\pi/2 \approx 1.571\) rad). Umgekehrt multiplizieren Sie Radianten mit \(180/\pi\). Ein Gon entspricht 0,9°; Gon in Grad umrechnen Sie also durch Multiplikation mit 0,9. Der Rechner beherrscht alle drei Einheiten automatisch – diese Umrechnungen brauchen Sie nur, wenn Sie von Hand rechnen.
Wie berechne ich die Sektorfläche aus Sehnenlänge und Radius?
Bestimmen Sie zuerst den Mittelpunktswinkel aus der Sehne. Es gilt \(c = 2r \sin(\theta/2)\), also \(\theta = 2 \arcsin(c / (2r))\) im Bogenmaß. Danach gilt \(A = \frac{\theta}{2} r^2\). Eine Sehne von 10 cm bei einem Radius von 10 cm ergibt beispielsweise \(\theta = 2 \arcsin(0.5) = \pi/3\), also \(A = \frac{\pi}{6} \cdot 100 \approx 52.36\) cm². Beachten Sie, dass arcsin nur Winkel bis 180° liefert; für einen großen Sektor (über 180°) verwenden Sie stattdessen \(2\pi - \theta\).
In welchen Einheiten erscheinen die Ergebnisse, und wie rechne ich die Fläche um?
Bogenlänge und Umfang erscheinen in derselben Einheit wie der Radius, die Fläche in dieser Einheit zum Quadrat – ein Radius in m ergibt m², ein Radius in ft ergibt ft². Zum Umrechnen der Fläche multiplizieren Sie mit dem quadrierten Umrechnungsfaktor: 1 m² = 10.000 cm² = 1.000.000 mm² ≈ 10,764 ft² und 1 ft² = 144 in². Brauchen Sie ein gemischtes Ergebnis (z. B. Radius in Zoll, Fläche in ft²), teilen Sie das Ergebnis in in² durch 144.