Calculadora del Teorema Chino del Resto

Q: ¿Cómo puedo resolver un sistema de TCR a mano sin usar la fórmula?

Para dos congruencias puedes usar sustitución: toma la primera, de modo que x = a₁ + k·n₁ para enteros k. Sustituye en la segunda congruencia, a_1 + k n_1 equiv a_2 ±odn_2, y despeja k hallando el inverso de n_1 módulo n_2. Luego sustituye k para obtener x y reduce módulo n_1 n_2. Este método de sustitución sucesiva funciona para cualquier número de congruencias, resolviéndolas de dos en dos.

Q: ¿Qué ocurre si los módulos no son coprimos por pares?

Cuando dos módulos comparten un factor común, el sistema puede ser inconsistente y no tener ninguna solución. Existe una solución solo si los restos son compatibles: para cada par, a_i equiv a_j ±odgcd(n_i, n_j). Si son compatibles, la solución sigue siendo única, pero solo módulo el mínimo común múltiplo de los módulos en lugar de su producto. El requisito de coprimalidad es lo que garantiza que siempre exista una solución, y por eso esta calculadora rechaza dichas entradas.

Q: ¿Por qué la solución es única y cómo encuentro todas las demás soluciones?

La unicidad se debe a que si dos números x y x' satisfacen ambos el sistema, su diferencia es divisible por todos los módulos y, por tanto, por su producto N (ya que son coprimos). Así, x equiv x' ±odN, lo que significa que hay exactamente una solución en 0 ≤ x < N. Todas las demás soluciones son x + kN para cualquier entero k, incluidos valores negativos como x - N si tu problema los permite.

Q: ¿Pueden los restos ser negativos o mayores que el módulo?

Sí. Un resto mayor que su módulo se reduce automáticamente — por ejemplo, a = 7 con n = 5 es lo mismo que a = 2. Los restos negativos también funcionan: x equiv -1 ±od5 significa lo mismo que x equiv 4 ±od5. La respuesta final siempre se normaliza al representante no negativo más pequeño, en el rango 0 ≤ x < N.

Q: ¿Cómo encuentro el inverso modular a mano?

Usa el algoritmo de Euclides extendido: aplica el algoritmo de Euclides ordinario a N_i y n_i, y luego trabaja hacia atrás para expresar gcd = 1 como uN_i + vn_i. El coeficiente u satisface uN_i equiv 1 ±odn_i, así que y_i = u bmod n_i. Para un módulo primo p también puedes usar el Pequeño Teorema de Fermat: y_i equiv N_i^p-2 ±odp.

Q: ¿Cuáles son los errores más comunes al usar el Teorema Chino del Resto?

Los errores más frecuentes son: usar módulos que no son coprimos por pares (p. ej., 4 y 6, que comparten el factor 2); confundir los campos de resto y módulo al introducir los datos; olvidar que la respuesta es una clase de soluciones, no un único número; e introducir un módulo igual a 1, lo cual está técnicamente permitido pero no aporta información. Comprueba también que tus restos se corresponden con tu problema — x equiv 2 ±od3 no es lo mismo que x equiv 3 ±od2.

Q: ¿Hay una forma rápida de verificar la respuesta de la calculadora?

Sí — simplemente divide la respuesta entre cada módulo y comprueba los restos. Si el resultado es x, verifica que x bmod n_i = a_i bmod n_i para cada congruencia de tu sistema. Una segunda comprobación: calcula x bmod N con un método distinto, como la sustitución sucesiva, y confirma que obtienes el mismo valor. Si ambas comprobaciones pasan, la solución es correcta, ya que la unicidad módulo N garantiza que no hay otra respuesta en el rango.

Actualizado: 03.10.2026

Resuelve un sistema de congruencias simultáneas mediante el Teorema Chino del Resto. Introduce los restos y los módulos coprimos por pares para obtener la solución no negativa más pequeña.

Resolución del Teorema Chino del Resto

Fórmula del Teorema Chino del Resto

Fórmula

\[ x \equiv a_1 \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{n_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_k \pmod{n_k} \\[1.5em] N = n_1 \cdot n_2 \cdots n_k, \quad N_i = \frac{N}{n_i}, \quad y_i \equiv N_i^{-1} \pmod{n_i} \\[1.5em] x \equiv \sum_{i=1}^{k} a_i \, N_i \, y_i \pmod{N} \]

Donde:

\(a_i\) — los restos (los valores a los que \(x\) debe ser congruente)
\(n_i\) — los módulos, que deben ser coprimos por pares (el máximo común divisor de cualquier par de ellos es 1)
\(N\) — el producto de todos los módulos, que coincide con su mínimo común múltiplo cuando son coprimos
\(N_i\) — el producto de todos los módulos excepto \(n_i\)
\(y_i\) — el inverso modular de \(N_i\) módulo \(n_i\), es decir, el número tal que \(N_i y_i \equiv 1 \pmod{n_i}\)
\(x\) — la solución única módulo \(N\)

El teorema afirma que cuando los módulos son coprimos por pares, el sistema tiene exactamente una solución en el rango \(0 \le x < N\). La fórmula construye esta solución combinando cada resto con el inverso del producto parcial correspondiente.

Teorema Chino del Resto – Ejemplo de cálculo

Ejemplo: encontrar \(x\) tal que \(x \equiv 2 \pmod{3}\) y \(x \equiv 3 \pmod{5}\) — estos son los valores predeterminados de la calculadora.

\[ N = 3 \times 5 = 15 \]

\[ N_1 = \frac{15}{3} = 5, \quad y_1 = 2 \; (\text{ya que } 5 \cdot 2 = 10 \equiv 1 \pmod{3}) \]

\[ N_2 = \frac{15}{5} = 3, \quad y_2 = 2 \; (\text{ya que } 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}) \]

\[ x \equiv (2 \cdot 5 \cdot 2) + (3 \cdot 3 \cdot 2) \pmod{15} \equiv 20 + 18 = 38 \equiv 8 \pmod{15} \]

Resultado: \(x = 8\) módulo \(15\). En efecto, \(8 \div 3 = 2\) con resto \(2\) y \(8 \div 5 = 1\) con resto \(3\), por lo que se cumplen ambas congruencias. La siguiente solución es \(8 + 15 = 23\), luego \(38\), y así sucesivamente.

Cómo usar la calculadora

Introduce el número de congruencias (al menos 2). Aparecerán automáticamente más pares resto/módulo.
Para la primera congruencia, escribe el resto en resto 1 (\(a_1\)) y el módulo en módulo 1 (\(n_1\)).
Repite para resto 2 / módulo 2 y cualquier par adicional.
Lee la solución no negativa más pequeña \(x\) y el módulo (mcm de los módulos) \(N\). Todo número de la forma \(x + kN\) (\(k = 0, 1, 2, \dots\)) también satisface el sistema.

¿Qué es el Teorema Chino del Resto?

El Teorema Chino del Resto (TCR) es un resultado clásico de la teoría de números, descrito por primera vez por el matemático chino Sunzi hacia los siglos III–V d. C. Responde a la pregunta: dados varios divisores y los restos que deja un número desconocido al dividirlo por cada uno de ellos, ¿puede recuperarse el número? El teorema responde que sí — siempre que los módulos sean coprimos por pares — y la respuesta es única dentro de un rango cuya longitud es el producto de todos los módulos.

Una forma concreta de visualizarlo: si una cesta de huevos contiene \(x\) huevos, y contarlos de 3 en 3 deja 2, mientras que contarlos de 5 en 5 deja 3, entonces \(x \equiv 2 \pmod{3}\) y \(x \equiv 3 \pmod{5}\). El TCR determina \(x\) de manera única módulo 15 — en este caso \(x = 8, 23, 38, \dots\)

El teorema es importante porque muestra que un sistema de muchas congruencias pequeñas es equivalente a una única congruencia con un módulo grande. Esto permite sustituir la aritmética con un módulo enorme por una aritmética paralela con varios módulos pequeños y cómodos, y luego recombinar los resultados. El paso de recombinación utiliza inversos modulares, que puedes calcular por separado con la calculadora de Inverso Multiplicativo Modular; los inversos de este tipo también están relacionados con el Pequeño Teorema de Fermat y el Teorema de Euler.

Interpretación del resultado

La calculadora devuelve la solución no negativa más pequeña \(x\) y el módulo combinado \(N\). El conjunto completo de soluciones es \(x, x + N, x + 2N, \dots\), y si las respuestas negativas tienen sentido en tu problema, \(x - N\) y valores menores también sirven. Como la solución es única módulo \(N\), dos entradas distintas que produzcan el mismo \(x \pmod{N}\) describen exactamente el mismo sistema.

Supuestos y limitaciones

Se requieren módulos coprimos por pares. Cada par de módulos no debe compartir ningún factor mayor que 1; de lo contrario, la calculadora informa de un error. Si dos módulos son, por ejemplo, 4 y 6 (ambos divisibles por 2), el sistema puede no tener solución alguna, o tener varias soluciones módulo su mcm.
Consistencia del sistema. Incluso con módulos coprimos, el teorema siempre da una solución — esa es la fuerza del TCR. Los conflictos entre congruencias solo pueden surgir cuando se incumple la condición de coprimalidad.
Los restos pueden ser mayores que el módulo. Una entrada como \(a = 7, n = 5\) se trata como \(7 \equiv 2 \pmod 5\); la calculadora reduce automáticamente la respuesta final módulo \(N\).
Los módulos deben ser enteros positivos. Los valores 0 o negativos se rechazan.
Sistemas grandes. Como \(N\) es el producto de todos los módulos, crece muy rápidamente. Con muchos módulos, los números implicados pueden superar el rango en el que la aritmética estándar de coma flotante es exacta.

Dónde se utiliza el TCR

Más allá de la teoría de números pura, el TCR es una herramienta de trabajo en varios campos. En criptografía acelera el descifrado RSA calculando el resultado módulo cada factor primo por separado y recombinándolo; también es la base de esquemas de umbral como el esquema de compartición de secretos de Shamir. En informática permite sistemas de números en residuos que realizan sumas y multiplicaciones en paralelo con módulos pequeños, y aparece en el cálculo de hashes, la planificación y los cálculos de calendario — los clásicos problemas de «contar soldados por filas» que motivaron originalmente el trabajo de Sunzi.

Preguntas frecuentes

¿Cómo puedo resolver un sistema de TCR a mano sin usar la fórmula?

Para dos congruencias puedes usar sustitución: toma la primera, de modo que x = a₁ + k·n₁ para enteros \(k\). Sustituye en la segunda congruencia, \(a_1 + k n_1 \equiv a_2 \pmod{n_2}\), y despeja \(k\) hallando el inverso de \(n_1\) módulo \(n_2\). Luego sustituye \(k\) para obtener \(x\) y reduce módulo \(n_1 n_2\). Este método de sustitución sucesiva funciona para cualquier número de congruencias, resolviéndolas de dos en dos.

¿Qué ocurre si los módulos no son coprimos por pares?

Cuando dos módulos comparten un factor común, el sistema puede ser inconsistente y no tener ninguna solución. Existe una solución solo si los restos son compatibles: para cada par, \(a_i \equiv a_j \pmod{\gcd(n_i, n_j)}\). Si son compatibles, la solución sigue siendo única, pero solo módulo el mínimo común múltiplo de los módulos en lugar de su producto. El requisito de coprimalidad es lo que garantiza que siempre exista una solución, y por eso esta calculadora rechaza dichas entradas.

¿Por qué la solución es única y cómo encuentro todas las demás soluciones?

La unicidad se debe a que si dos números \(x\) y \(x'\) satisfacen ambos el sistema, su diferencia es divisible por todos los módulos y, por tanto, por su producto \(N\) (ya que son coprimos). Así, \(x \equiv x' \pmod{N}\), lo que significa que hay exactamente una solución en \(0 \le x < N\). Todas las demás soluciones son \(x + kN\) para cualquier entero \(k\), incluidos valores negativos como \(x - N\) si tu problema los permite.

¿Pueden los restos ser negativos o mayores que el módulo?

Sí. Un resto mayor que su módulo se reduce automáticamente — por ejemplo, \(a = 7\) con \(n = 5\) es lo mismo que \(a = 2\). Los restos negativos también funcionan: \(x \equiv -1 \pmod{5}\) significa lo mismo que \(x \equiv 4 \pmod{5}\). La respuesta final siempre se normaliza al representante no negativo más pequeño, en el rango \(0 \le x < N\).

¿Cómo encuentro el inverso modular a mano?

Usa el algoritmo de Euclides extendido: aplica el algoritmo de Euclides ordinario a \(N_i\) y \(n_i\), y luego trabaja hacia atrás para expresar \(\gcd = 1\) como \(uN_i + vn_i\). El coeficiente \(u\) satisface \(uN_i \equiv 1 \pmod{n_i}\), así que \(y_i = u \bmod n_i\). Para un módulo primo \(p\) también puedes usar el Pequeño Teorema de Fermat: \(y_i \equiv N_i^{p-2} \pmod{p}\).

¿Cuáles son los errores más comunes al usar el Teorema Chino del Resto?

Los errores más frecuentes son: usar módulos que no son coprimos por pares (p. ej., 4 y 6, que comparten el factor 2); confundir los campos de resto y módulo al introducir los datos; olvidar que la respuesta es una clase de soluciones, no un único número; e introducir un módulo igual a 1, lo cual está técnicamente permitido pero no aporta información. Comprueba también que tus restos se corresponden con tu problema — \(x \equiv 2 \pmod{3}\) no es lo mismo que \(x \equiv 3 \pmod{2}\).

¿Hay una forma rápida de verificar la respuesta de la calculadora?

Sí — simplemente divide la respuesta entre cada módulo y comprueba los restos. Si el resultado es \(x\), verifica que \(x \bmod n_i = a_i \bmod n_i\) para cada congruencia de tu sistema. Una segunda comprobación: calcula \(x \bmod N\) con un método distinto, como la sustitución sucesiva, y confirma que obtienes el mismo valor. Si ambas comprobaciones pasan, la solución es correcta, ya que la unicidad módulo \(N\) garantiza que no hay otra respuesta en el rango.