Linsenformel-Rechner
Lösen Sie die Linsenformel 1/f = 1/do + 1/di nach Bildweite, Gegenstandsweite oder Brennweite. Geben Sie zwei bekannte Werte ein und erhalten Sie den dritten – dazu Bildart, Abbildungsmaßstab und Bildgröße.
Fehlende Weite oder Brennweite berechnen
Formel der Linsenformel
Dabei ist:
- \(f\) — Brennweite der Linse (m)
- \(d_o\) — Gegenstandsweite: Abstand vom Gegenstand zur Linse (m)
- \(d_i\) — Bildweite: Abstand von der Linse zum Bild (m)
Löst man nach der fehlenden Größe auf, ergeben sich drei gleichwertige Umstellungen: \(d_i = \dfrac{d_o f}{d_o - f}\), \(d_o = \dfrac{d_i f}{d_i - f}\) und \(f = \dfrac{d_o d_i}{d_o + d_i}\). Sind alle drei Abstände bekannt, folgt der laterale Abbildungsmaßstab aus \(m = -\dfrac{d_i}{d_o}\) und die Bildgröße aus \(h_i = m\,h_o\).
Linsenformel – Rechenbeispiel
Beispiel: Ein Gegenstand steht 30 cm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 10 cm und ist 5 cm hoch. Wo entsteht das Bild, und wie sieht es aus?
\[ d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} = \frac{0.30 \times 0.10}{0.30 - 0.10} = \frac{0.03}{0.20} = 0.15\ \text{m} \]
\[ m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{0.15}{0.30} = -0.5 \]
\[ h_i = m\,h_o = -0.5 \times 0.05 = -0.025\ \text{m} \]
Ergebnis: Das Bild entsteht 15 cm hinter der Linse (reell, da \(d_i > 0\)). Der Abbildungsmaßstab beträgt \(-0.5\times\); das Bild ist also umgekehrt und halb so groß wie der Gegenstand: 2,5 cm hoch.
So benutzen Sie den Rechner
- Wählen Sie im Auswahlfeld Berechnen von die gesuchte Größe: Bildweite (di), Gegenstandsweite (do) oder Brennweite (f). Das zugehörige Feld wird ausgeblendet — Sie geben die anderen beiden ein.
- Geben Sie die zwei bekannten Abstände unter Gegenstandsweite (do) und Brennweite (f) ein (bzw. Bildweite (di), wenn Sie nach do auflösen) und wählen Sie jeweils die Einheit (mm, cm, m, in oder ft).
- Geben Sie optional die Gegenstandsgröße (ho) ein, wenn Sie auch die Bildgröße wissen möchten. Lassen Sie das Feld leer, um diesen Teil zu überspringen.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: den berechneten Abstand (umgerechnet in Meter, Zentimeter, Millimeter, Zoll und Fuß), den Linsentyp, ob das Bild reell oder virtuell ist, sowie Abbildungsmaßstab, Orientierung und Bildgröße.
Was die Linsenformel beschreibt
Die Linsenformel verknüpft die Position eines Gegenstands, die Position seines Bildes und die Brennweite einer Linse. Eine Linse lenkt parallel einfallende Strahlen so ab, dass sie entweder in einem Punkt zusammenlaufen (eine Sammellinse, auch Konvexlinse, mit \(f > 0\)) oder von einem Punkt herzukommen scheinen (eine Zerstreuungslinse, auch Konkavlinse, mit \(f < 0\)). Die Brennweite ist der Abstand von der Linse zu diesem Punkt; sie bestimmt vollständig, wie die Linse Gegenstände abbildet — sofern die Linse dünn gegenüber den beteiligten Abständen ist.
Die Vorzeichenkonvention ist wichtig. Ein reeller Gegenstand vor der Linse hat \(d_o > 0\). Eine positive Bildweite bedeutet ein reelles Bild: Das Licht läuft auf der anderen Seite der Linse tatsächlich zusammen, sodass man es auf einem Schirm oder Sensor auffangen kann — so funktionieren Kameras und Projektoren. Eine negative Bildweite bedeutet ein virtuelles Bild: Die Strahlen scheinen nur von einem Punkt auf der Gegenstandsseite der Linse zu kommen, man muss also durch die Linse schauen, um es zu sehen — wie bei einer Lupe oder einer Brille.
Der Abbildungsmaßstab \(m = -d_i/d_o\) verrät, wie sich das Bild zum Gegenstand verhält. Sein Betrag ist das Größenverhältnis: \(|m| = 2\) bedeutet, das Bild ist doppelt so hoch. Das Vorzeichen gibt die Orientierung: Ein negatives \(m\) bedeutet ein umgekehrtes (auf dem Kopf stehendes) Bild, ein positives \(m\) ein aufrechtes. Reelle Bilder einer einzelnen Sammellinse sind umgekehrt; virtuelle sind aufrecht.
Zwei Sonderfälle sind es wert, gemerkt zu werden. Befindet sich der Gegenstand genau im Brennpunkt (\(d_o = f\)), entsteht das Bild im Unendlichen — dies ist die Einstellung eines Scheinwerfers oder Kollimators. Liegt der Gegenstand sehr weit entfernt (\(d_o \to \infty\)), so gilt \(d_i = f\): Parallel einfallende Strahlen vereinigen sich im Brennpunkt — so fokussiert eine Kamera eine ferne Szene auf den Sensor.
Vorzeichenkonventionen im Überblick
| Größe | Positiv | Negativ |
|---|---|---|
| Brennweite \(f\) | Sammellinse (konvex) | Zerstreuungslinse (konkav) |
| Gegenstandsweite \(d_o\) | Reeller Gegenstand vor der Linse | Virtueller Gegenstand (selten, z. B. in Linsensystemen) |
| Bildweite \(d_i\) | Reelles Bild hinter der Linse (projizierbar) | Virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite |
| Abbildungsmaßstab \(m\) | Aufrechtes Bild | Umgekehrtes Bild |
Annahmen und Grenzen
- Dünne Linse: Die Linsendicke wird gegenüber \(d_o\), \(d_i\) und \(f\) als vernachlässigbar angenommen. Bei dicken Linsen oder Linsensystemen liefern von den Hauptebenen aus gemessene Abstände kleine Korrekturen.
- Paraxiale Strahlen: Die Formel gilt für Strahlen nahe der optischen Achse und unter kleinen Winkeln. Weit geöffnete Linsen leiden unter Abbildungsfehlern, die den wahren Fokus verschieben.
- Eine Wellenlänge: Die Brennweite hängt leicht von der Farbe des Lichts ab (chromatische Aberration); das Ergebnis ist also nur für eine Wellenlänge exakt.
- Der Rechner setzt die obige Standard-Vorzeichenkonvention voraus. Verwendet Ihr Lehrbuch eine andere Konvention, rechnen Sie die Vorzeichen um, bevor Sie Ergebnisse vergleichen.
- Abstände dürfen nicht null sein; die entarteten Fälle (\(d_o = f\), \(d_i = f\) oder \(d_o = -d_i\)) entsprechen Bildern bzw. Gegenständen im Unendlichen und werden mit einer Erklärung abgelehnt.
Weitere Rechner
Weitere Werkzeuge aus der Physik: der Rechner für Bewegungsgleichungen für Bewegungsaufgaben, der Wegrechner für Ortsänderungen oder der Leistungsrechner für Energieumsatz über die Zeit.
Häufig gestellte Fragen
Wie löse ich die Linsenformel von Hand?
Starten Sie mit \( 1/f = 1/d_o + 1/d_i \) und lösen Sie nach der Unbekannten auf. Für die Bildweite: \( d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} \). Für die Brennweite: \( f = \frac{d_o d_i}{d_o + d_i} \). Nutzen Sie den Rechner, um Ihre Rechnung zu prüfen — er wendet die Vorzeichenkonvention auch gleich für Sie an, und genau dort passieren bei Handrechnungen die häufigsten Fehler.
Warum ist meine Bildweite negativ — ist das ein Fehler?
Nein, ein negatives \( d_i \) bedeutet, dass das Bild virtuell ist. Es entsteht auf derselben Seite der Linse wie der Gegenstand, lässt sich also nicht auf einen Schirm projizieren — man sieht es nur, wenn man durch die Linse schaut. Das geschieht immer dann, wenn der Gegenstand näher an der Sammellinse liegt als ihr Brennpunkt — genau so funktioniert eine Lupe. Das Bild ist dann aufrecht und vergrößert.
Funktioniert die Linsenformel auch für konkave (Zerstreuungs-)Linsen?
Ja, aber geben Sie die Brennweite als negative Zahl ein. Für eine Zerstreuungslinse gilt \( f < 0 \), und ein reeller Gegenstand erzeugt stets ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild auf der Gegenstandsseite. Deshalb verwenden Brillen gegen Kurzsichtigkeit negative Linsen. Geben Sie bei einer Konkavlinse eine positive Brennweite ein, fällt jedes Ergebnis falsch aus.
Wie rechne ich die Brennweite in die Brechkraft in Dioptrien um?
Die Brechkraft ist der Kehrwert der Brennweite in Metern: \( P = 1/f \), gemessen in Dioptrien (dpt). Eine Linse mit \( f = 0{,}25 \) m hat \( P = 4 \) dpt; eine Zerstreuungslinse mit \( f = -0{,}5 \) m hat \( P = -2 \) dpt. Korrektionsbrillen werden in Dioptrien angegeben, Objektive von Kameras dagegen meist in Millimetern Brennweite — diese Umrechnung verbindet beides.
Kann ich diese Formel auch für Spiegel verwenden?
Ja. Dieselbe Formel gilt für sphärische Spiegel mit derselben Vorzeichenkonvention: Ein Hohlspiegel verhält sich wie eine Sammellinse (positives \( f \)), ein Wölbspiegel wie eine Zerstreuungslinse (negatives \( f \)). Die Brennweite des Spiegels beträgt das Halbte seines Krümmungsradius, \( f = R/2 \). Der wesentliche physikalische Unterschied: Ein Spiegel erzeugt reelle Bilder auf derselben Seite wie den Gegenstand.
Was passiert, wenn der Gegenstand genau im Brennpunkt liegt?
Die Formel versagt: Bei \( d_o = f \) verlassen die gebrochenen Strahlen die Linse parallel und laufen nie zusammen, das Bild entsteht im Unendlichen. Das ist kein Fehler in Ihrer Aufgabenstellung — es ist ein echter entarteter Fall, der gezielt in Scheinwerfern und Kollimatoren genutzt wird, um ein Parallelstrahlbündel zu erzeugen. Der Rechner erkennt ihn und erklärt ihn, statt einen unendlichen Wert auszugeben.
Welche Fehler passieren bei dieser Formel am häufigsten?
Die Top drei: das Vorzeichen einer negativen Brennweite oder Bildweite vergessen, Einheiten verwechseln (Zentimeter eingeben, wo Meter erwartet werden, oder umgekehrt) und Gegenstandsweite mit Bildweite verwechseln. Denken Sie auch daran, dass die Formel eine dünne Linse und kleine Winkel voraussetzt — eine dicke Linse oder ein weit geöffnetes System weicht leicht ab, und Messwerte können um einige Prozent abweichen.