Калькулятор формули тонкої лінзи
Розв’яжіть формулу тонкої лінзи 1/f = 1/do + 1/di для відстані до зображення, відстані до предмета або фокусної відстані. Введіть будь-які дві відомі величини та отримайте третю, а також тип зображення, збільшення і висоту зображення.
Знайдіть невідому відстань або фокусну відстань
Формула тонкої лінзи
Де:
- \(f\) — фокусна відстань лінзи (м)
- \(d_o\) — відстань до предмета: від предмета до лінзи (м)
- \(d_i\) — відстань до зображення: від лінзи до зображення (м)
Розв’язання відносно невідомої величини дає три еквівалентні перетворення: \(d_i = \dfrac{d_o f}{d_o - f}\), \(d_o = \dfrac{d_i f}{d_i - f}\) і \(f = \dfrac{d_o d_i}{d_o + d_i}\). Коли всі три відстані відомі, поперечне збільшення визначається за формулою \(m = -\dfrac{d_i}{d_o}\), а висота зображення — за формулою \(h_i = m\,h_o\).
Формула лінзи — приклад обчислення
Приклад: предмет розташований на відстані 30 см перед збірною лінзою з фокусною відстанню 10 см, а висота предмета — 5 см. Де утворюється зображення і яким воно є?
\[ d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} = \frac{0.30 \times 0.10}{0.30 - 0.10} = \frac{0.03}{0.20} = 0.15\ \text{м} \]
\[ m = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{0.15}{0.30} = -0.5 \]
\[ h_i = m\,h_o = -0.5 \times 0.05 = -0.025\ \text{м} \]
Результат: зображення утворюється на відстані 15 см за лінзою (дійсне, оскільки \(d_i > 0\)). Збільшення становить \(-0.5\times\), тобто зображення перевернуте і вдвічі менше за предмет: його висота 2,5 см.
Як користуватися калькулятором
- У випадному списку Обчислити виберіть величину, яку потрібно обчислити: Відстань до зображення (di), Відстань до предмета (do) або Фокусна відстань (f). Поле для цієї величини буде приховано — ви вводите дві інші.
- Введіть дві відомі відстані в поля Відстань до предмета (do) і Фокусна відстань (f) (або Відстань до зображення (di), якщо обчислюється do) і виберіть одиницю вимірювання (мм, см, м, дюйми або фути) для кожної з них.
- За бажанням введіть Висоту предмета (ho), якщо вам потрібна також висота зображення. Залиште поле порожнім, щоб пропустити цю частину.
- Прочитайте результати: обчислену відстань (переведену в метри, сантиметри, міліметри, дюйми і фути), тип лінзи, те, чи є зображення дійсним чи уявним, а також збільшення, орієнтацію та висоту зображення.
Що описує формула тонкої лінзи
Формула тонкої лінзи пов’язує положення предмета, положення його зображення та фокусну відстань лінзи. Лінза заломлює паралельні промені так, що вони або сходяться в одній точці (збірна, тобто випукла, лінза з \(f > 0\)), або ніби розходяться з однієї точки (розсіювальна, тобто увігнута, лінза з \(f < 0\)). Фокусна відстань — це відстань від лінзи до цієї точки, і вона повністю визначає, як лінза будує зображення предметів — за умови, що товщина лінзи мізерно мала порівняно з розглянутими відстанями.
Знакову угоду важливо враховувати. Дійсний предмет перед лінзою має \(d_o > 0\). Додатна відстань до зображення означає дійсне зображення: світло насправді сходиться на іншому боці лінзи, тому його можна спроєктувати на екран або сенсор — саме так працюють фотоапарати та проєктори. Від’ємна відстань до зображення означає уявне зображення: промені лише здаються такими, що виходять з точки на боці предмета, тому побачити його можна лише, дивлячись крізь лінзу, як у випадку з лупою чи окулярами.
Збільшення \(m = -d_i/d_o\) показує, як зображення співвідноситься з предметом. Його абсолютне значення — це відношення розмірів: \(|m| = 2\) означає, що зображення вдвічі вище. Знак визначає орієнтацію: від’ємне \(m\) означає перевернуте (догори ногами) зображення, додатне \(m\) — пряме. Дійсні зображення, утворені одною збірною лінзою, перевернуті; уявні — прямі.
Варто запам’ятати два особливі випадки. Якщо предмет розташований точно у фокусі (\(d_o = f\)), зображення утворюється на нескінченності — саме так налаштований прожектор або коліматор. Якщо предмет дуже далеко (\(d_o \to \infty\)), то \(d_i = f\): паралельні промені, що входять, сходяться у фокусі — саме так камера фокусує далеку сцену на сенсор.
Знакові угоди коротко
| Величина | Додатна | Від’ємна |
|---|---|---|
| Фокусна відстань \(f\) | Збірна (випукла) лінза | Розсіювальна (увігнута) лінза |
| Відстань до предмета \(d_o\) | Дійсний предмет перед лінзою | Уявний предмет (рідко, напр. у системах лінз) |
| Відстань до зображення \(d_i\) | Дійсне зображення за лінзою (можна проєктувати) | Уявне зображення на боці предмета |
| Збільшення \(m\) | Пряме зображення | Перевернуте зображення |
Припущення та обмеження
- Тонка лінза: товщина лінзи вважається мізерно малою порівняно з \(d_o\), \(d_i\) і \(f\). Для товстих лінз або систем лінз відстані, виміряні від головних площин, дають невеликі поправки.
- Приосьові промені: формула виконується для променів, близьких до оптичної осі, під малими кутами. Лінзи з великою апертурою мають аберації, які зсувають істинний фокус.
- Одна довжина хвилі: фокусна відстань трохи залежить від кольору світла (хроматична аберація), тому результат є точним лише для однієї довжини хвилі.
- Калькулятор використовує наведену вище стандартну знакову угоду. Якщо у вашому підручнику застосовується інша угода, приведіть знаки до однакового вигляду перед порівнянням результатів.
- Відстані мають бути ненульовими, а вироджені випадки (\(d_o = f\), \(d_i = f\) або \(d_o = -d_i\)) відповідають зображенням або предметам на нескінченності і відхляються з поясненням.
Схожі калькулятори
Серед інших фізичних інструментів спробуйте Калькулятор кінематичних рівнянь для задач на рух, Калькулятор переміщення для змін положення або Калькулятор потужності для перенесення енергії в часі.
Часті запитання
Як розв’язати формулу тонкої лінзи вручну?
Почніть з \( 1/f = 1/d_o + 1/d_i \) і розв’яжіть її відносно невідомої. Для відстані до зображення: \( d_i = \frac{d_o f}{d_o - f} \). Для фокусної відстані: \( f = \frac{d_o d_i}{d_o + d_i} \). Використайте калькулятор, щоб перевірити обчислення — він також автоматично застосовує знакову угоду, адже саме в ній найчастіше помиляються при ручних розрахунках.
Чому моя відстань до зображення від’ємна — це помилка?
Ні, від’ємне \( d_i \) означає, що зображення уявне. Воно утворюється з того самого боку лінзи, що й предмет, тому його не можна спроєктувати на екран — його видно лише, дивлячись крізь лінзу. Це відбувається щоразу, коли предмет розташований ближче до збірної лінзи, ніж її фокус, — саме так працює лупа. Таке зображення пряме та збільшене.
Чи працює формула тонкої лінзи для увігнутих (розсіювальних) лінз?
Так, але фокусну відстань потрібно вводити як від’ємне число. Для розсіювальної лінзи \( f < 0 \), і дійсний предмет завжди дає уявне, пряме, зменшене зображення на боці предмета. Саме тому окуляри для короткозорості використовують від’ємні лінзи. Якщо ввести додатну фокусну відстань для увігнутої лінзи, усі результати виявляться хибними.
Як перевести фокусну відстань в оптичну силу лінзи в діоптріях?
Оптична сила — це величина, обернена до фокусної відстані в метрах: \( P = 1/f \), вона вимірюється в діоптріях (дптр). Лінза з \( f = 0.25 \) м має \( P = 4 \) дптр; розсіювальна лінза з \( f = -0.5 \) м має \( P = -2 \) дптр. Рецепти для окулярів виписуються в діоптріях, тоді як для об’єктивів фотоапаратів зазвичай указують фокусну відстань у міліметрах — цей перерахунок поєднує обидві величини.
Чи можна використовувати цю формулу для дзеркал?
Так. Та сама формула застосовується до сферичних дзеркал із тією самою знаковою угодою: увігнуте дзеркало поводиться як збірна лінза (додатне \( f \)), а опукле — як розсіювальна (від’ємне \( f \)). Фокусна відстань дзеркала дорівнює половині його радіуса кривини: \( f = R/2 \). Головна фізична відмінність полягає в тому, що дзеркало утворює дійсні зображення з того самого боку, що й предмет.
Що станеться, якщо предмет розташований точно у фокусі?
Формула перестає працювати: при \( d_o = f \) заломлені промені виходять з лінзи паралельно і ніколи не перетинаються, тож зображення утворюється на нескінченності. Це не помилка у ваших даних — це справжній вироджений випадок, який навмисно використовується в прожекторах і коліматорах для створення паралельного пучка. Калькулятор виявляє його і пояснює, замість того, щоб повертати нескінченне значення.
Які найпоширеніші помилки під час роботи з цією формулою?
Три головні: забути про знак від’ємної фокусної відстані або відстані до зображення, змішати одиниці (ввести сантиметри там, де потрібні метри, або навпаки) і переплутати відстань до предмета з відстанню до зображення. Також пам’ятайте, що формула передбачає тонку лінзу й малі кути — товста лінза або система з великою апертурою трохи відхиляється від неї, і виміряні результати можуть відрізнятися на кілька відсотків.