Калькулятор числа Фруда
Введите скорость потока, глубину и ускорение свободного падения, чтобы вычислить число Фруда и определить, является ли ваш поток в открытом русле докритическим, критическим или сверхкритическим, — с данными о критической скорости.
Проверьте, является ли поток в открытом русле докритическим, критическим или сверхкритическим
Формула числа Фруда
Где:
- \(Fr\) — число Фруда (безразмерная величина)
- \(v\) — средняя скорость потока (м/с)
- \(g\) — ускорение свободного падения (м/с²)
- \(L\) — характерная длина: для потока в открытом русле — средняя глубина потока или гидравлическая глубина (м)
Формула сравнивает скорость потока со скоростью небольшой гравитационной (поверхностной) волны, распространяющейся по поверхности воды, \(v_c = \sqrt{gL}\). Скорость этой волны — естественная скорость передачи информации в потоке со свободной поверхностью, поэтому их отношение показывает, могут ли возмущения распространяться вверх по течению (\(Fr < 1\)) или их сносит вниз по течению (\(Fr > 1\)).
Число Фруда — пример расчёта
Пример: вода течёт со средней скоростью 2 м/s в прямоугольном канале глубиной 1,2 м. Примем \(g = 9.81\ \text{м/с}^2\).
\[ Fr = \frac{v}{\sqrt{g \, L}} = \frac{2}{\sqrt{9.81 \times 1.2}} = \frac{2}{\sqrt{11.772}} = \frac{2}{3.431} \approx 0.583 \]
Результат: \(Fr \approx 0.583 < 1\), значит, поток докритический (спокойный). Критическая скорость при такой глубине составляет \(v_c = \sqrt{9.81 \times 1.2} \approx 3.431\ \text{м/с}\); чтобы достичь критического состояния, потоку нужно разогнаться до этой скорости.
Как пользоваться калькулятором
- Введите скорость потока (v) и выберите её единицу (m/s, ft/s, км/ч или миль/ч). Её можно оценить, засекая время прохождения плавающего предмета на известном расстоянии, или измерить расходомером.
- Введите характерную длину / глубину потока (L) и её единицу. Для прямоугольного канала это просто глубина воды; для иных поперечных сечений используйте гидравлическую глубину (площадь живого сечения, делённую на ширину по свободной поверхности).
- Введите ускорение свободного падения (g) — стандартное для Земли значение 9,81 м/с² (или 32,2 ft/s²) можно оставить без изменений.
- Ознакомьтесь с результатами: числом Фруда, классификацией режима потока (докритический, околокритический или сверхкритический) и критической скоростью и подробностями, куда входят критическая скорость при вашей глубине, удельная энергия сечения и критическая глубина для вашей скорости.
Что такое число Фруда?
Число Фруда — стандартный безразмерный критерий для потоков в открытых руслах и со свободной поверхностью. Подобно тому как число Маха сравнивает скорость газового потока со скоростью звука, число Фруда сравнивает скорость водного потока с быстротой распространения малой поверхностной волны \(\sqrt{gL}\). Оно показывает соотношение инерции и силы тяжести: при малых Fr преобладает сила тяжести, и поверхность воды выравнивается плавно; при больших Fr преобладает инерция, и поверхность становится крутой и взволнованной.
Классификация проста. Докритический поток (\(Fr < 1\)) — спокойный: волны могут двигаться как вверх, так и вниз по течению, поэтому глубина потока определяется условиями ниже по течению — именно поэтому водослив или препятствие поднимает уровень воды далеко выше по течению (эффект подпора). Критический поток (\(Fr = 1\)) — неустойчивое переходное состояние, при котором глубина равна критической, а поток крайне чувствителен к малым изменениям уклона и геометрии. Сверхкритический поток (\(Fr > 1\)) — бурный: никакое возмущение не может подняться вверх по течению, поэтому поток полностью определяется условиями выше по течению.
Переход от сверхкритического потока обратно к докритическому не может быть плавным — он происходит резко, через гидравлический прыжок — стоячую волну, рассеивающую энергию. Гидравлические прыжки наблюдаются ниже водосливов и затворов и специально создаются в водобойных колодцах, чтобы погасить разрушительную энергию быстрого потока. Окрестность критического режима в калькуляторе (0,95–1,05) отражает практическую сложность удержания потока точно при \(Fr = 1\).
В таблице результатов также показаны две полезные производные величины: удельная энергия сечения \(E = L + v^2/(2g)\) — сумма глубины и скоростного напора относительно дна канала, и критическая глубина \(L_c = v^2/g\) — глубина, при которой ваша текущая скорость была бы в точности критической. Сравнение фактической глубины с критической часто оказывается самым быстрым способом определить режим потока.
Допущения, ограничения и советы
- Выбирайте правильную длину. Этот калькулятор вычисляет число Фруда по глубине для потока в открытом русле. Для прямоугольного канала \(L\) — это глубина воды; для других форм используйте гидравлическую глубину \(A/T\) (площадь живого сечения, делённая на ширину по свободной поверхности). В гидродинамике судов используется другое число Фруда — по длине корпуса, и эти две величины не взаимозаменяемы.
- Держитесь одних и тех же единиц. Калькулятор переводит единицы внутри автоматически, поэтому вводите значения в тех единицах, в которых вы их измерили, — просто выберите соответствующую единицу в каждом выпадающем списке.
- Предполагается равномерный или плавноизменяющийся поток. Классификация исходит из того, что скорость достаточно хорошо представляет всё поперечное сечение. В сильно неравномерном потоке (у перепадов, слияний или прыжков) Fr меняется от точки к точке.
- Не искажайте g. Изменять g имеет смысл только для других планет или учебных примеров; на Земле используйте 9,81 м/с² (32,2 ft/s²).
- Глубина и скорость связаны с сопротивлением русла: чтобы глубже изучить соответствующие закономерности, загляните в калькулятор силы сопротивления или калькулятор скорости звука в воздухе.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить число Фруда вручную?
Разделите среднюю скорость потока на квадратный корень из произведения ускорения свободного падения на глубину: \( Fr = v/\sqrt{gL} \). Например, при \( v = 1.5\ \text{м/с} \) и \( L = 0.4\ \text{м} \): \( \sqrt{9.81 \times 0.4} \approx 1.98 \), значит \( Fr \approx 0.76 \) — докритический поток. Расчёт можно выполнить на любом калькуляторе с клавишей квадратного корня; нужны всего три исходных значения.
Какое число Фруда считается нормальным?
Единого «хорошего» значения нет — всё зависит от инженерной задачи. Реки и каналы обычно проектируют с докритическим потоком (\( Fr \) примерно от 0,2 до 0,8), чтобы поверхность воды была устойчивой, а поток легко контролировался. Сверхкритический поток (\( Fr > 1 \)) нормален на крутых быстротоках и водосливах, но требует тщательного проектирования. Значений вблизи 1 стараются избегать: поток становится неустойчивым и волнистым.
Можно ли использовать футы вместо метров?
Да, число Фруда безразмерно, поэтому любая согласованная система единиц даёт одинаковый результат. Используйте \( g = 32.2\ \text{ft/s}^2 \) со скоростью в ft/s и глубиной в ft — или просто выберите нужные единицы в калькуляторе, и он переведёт их сам. Единственная ошибка, которой следует избегать, — смешение единиц, например метров с ft/s².
Какую глубину вводить для канала непрямоугольного сечения?
Используйте гидравлическую глубину: площадь живого сечения, делённую на ширину свободной поверхности, \( L = A/T \). Для прямоугольного канала она равна глубине воды, поскольку \( A = bL \), а \( T = b \). Для трапецеидального или круглого канала вычислите \( A\) и ширину водной поверхности \( T \) при фактической глубине, затем разделите. Использование максимальной глубины вместо \( A/T \) — распространённая ошибка, приводящая к неверной классификации режима.
Это то же число Фруда, что и для лодок и судов?
Нет. В гидродинамике судов используется число Фруда по длине, \( Fr = v/\sqrt{gL} \), где \( L\) — длина корпуса по ватерлинии: формула та же, но масштаб длины имеет совершенно иной смысл — он нужен для оценки волнового сопротивления. Вариант для открытых русел использует глубину потока и классифицирует поток со свободной поверхностью. Эти два числа не взаимозаменяемы.
Что происходит, когда поток переходит из сверхкритического в докритический?
Плавный переход невозможен: он происходит резко, в виде гидравлического прыжка — неподвижной пенистой волны, которая рассеивает энергию и увеличивает глубину воды. Через прыжок число Фруда падает с значения выше 1 до значения ниже 1. Инженеры специально создают прыжки в водобойных колодцах ниже водосливов и затворов, чтобы погасить разрушительную энергию быстрого потока.
Чем критическая глубина \( L_c = v^2/g \) отличается от моей фактической глубины?
Критическая глубина — это глубина, при которой ваша текущая скорость была бы в точности критической (\( Fr = 1 \)). Если фактическая глубина больше \( L_c \), поток докритический; если меньше — сверхкритический. Сравнение этих двух глубин часто оказывается самой быстрой проверкой режима — оно работает в любой согласованной системе единиц, поскольку обе величины являются длинами.