Калькулятор числа Фруда
Введіть швидкість потоку, глибину та прискорення вільного падіння, щоб обчислити число Фруда й дізнатися, яким є ваш потік у відкритому руслі — докритичним, критичним чи надкритичним, зокрема докладно про критичну швидкість.
Визначте, якою є течія у відкритому руслі — докритичною, критичною чи надкритичною
Формула числа Фруда
Де:
- \(Fr\) — число Фруда (безрозмірна величина)
- \(v\) — середня швидкість потоку (м/с)
- \(g\) — прискорення вільного падіння (м/с²)
- \(L\) — характерна довжина: для потоку у відкритому руслі це середня глибина потоку або гідравлічна глибина (м)
Формула порівнює швидкість потоку зі швидкістю малої гравітаційної (поверхневої) хвилі, що рухається поверхнею води, \(v_c = \sqrt{gL}\). Ця швидкість хвилі є природною «швидкістю поширення інформації» для потоку з вільною поверхнею, тож відношення показує, чи можуть збурення поширюватися вгору за течією (\(Fr < 1\)), чи їх зносить донизу (\(Fr > 1\)).
Число Фруда — приклад розрахунку
Приклад: вода рухається зі середньою швидкістю 2 м/с у прямокутному каналі з глибиною води 1,2 м. Приймемо \(g = 9.81\ \text{м/с}^2\).
\[ Fr = \frac{v}{\sqrt{g \, L}} = \frac{2}{\sqrt{9.81 \times 1.2}} = \frac{2}{\sqrt{11.772}} = \frac{2}{3.431} \approx 0.583 \]
Результат: \(Fr \approx 0.583 < 1\), отже, потік докритичний (спокійний). Критична швидкість при такій глибині становить \(v_c = \sqrt{9.81 \times 1.2} \approx 3.431\ \text{м/с}\); щоб досягти критичного стану, потоку довелося б розігнатися саме до цієї швидкості.
Як користуватися калькулятором
- Введіть Швидкість потоку (v) і виберіть її одиницю (м/с, фут/с, км/год або миль/год). Її можна оцінити, засікши час, за який плавучий предмет пропливає відому відстань, або виміряти витратоміром.
- Введіть Характерну довжину / глибину потоку (L) та її одиницю. Для прямокутного каналу це просто глибина води; для інших перетинів використовуйте гідравлічну глибину (площа живого перетину, поділена на ширину по дзеркалу води).
- Введіть Прискорення вільного падіння (g) — стандартне значення 9,81 м/с² (або 32,2 фут/с²) для Землі можна залишити без змін.
- Ознайомтеся з результатами: число Фруда, класифікація режиму потоку (докритичний, близький до критичного або надкритичний), а також критична швидкість і пов’язані величини — зокрема критична швидкість при вашій глибині, питома енергія потоку та критична глибина для вашої швидкості.
Що таке число Фруда?
Число Фруда — це стандартна безрозмірна величина для потоків у відкритих руслах і потоків з вільною поверхнею. Так само, як число Маха порівнює швидкість газового потоку зі швидкістю звуку, число Фруда порівнює швидкість водного потоку з швидкістю поширення малої поверхневої хвилі \(\sqrt{gL}\). Воно показує співвідношення сил інерції та сили тяжіння: при малому Fr переважає гравітація, і поверхня води змінюється плавно; при великому Fr переважає інерція, і поверхня стає крутою та неспокійною.
Класифікація проста. Докритичний потік (\(Fr < 1\)) — спокійний: хвилі можуть рухатися і вгору, і вниз за течією, тому глибина потоку визначається умовами нижче за течією — саме тому водозлив чи перешкода підіймає рівень води далеко вгору за течією (ефект підпору). Критичний потік (\(Fr = 1\)) — нестійкий перехідний стан, у якому глибина дорівнює критичній, а потік надзвичайно чутливий до малих змін похилу або геометрії. Надкритичний потік (\(Fr > 1\)) — швидкий: жодне збурення не може поширюватися вгору за течією, тому потік повністю керується умовами вище за течією.
Перехід від надкритичного потоку назад до докритичного не може відбуватися плавно — він відбувається різко, у формі гідравлічного стрибка — стоячої хвилі, що розсіює енергію. Гідравлічні стрибки можна побачити нижче водоскидів і затворів, і їх навмисно створюють у колодязях-успокоювачах, щоб розсіяти руйнівну енергію швидкого потоку. «Близька до критичної» смуга в калькуляторі (0,95–1,05) відображає практичну складність утримання потоку точно при \(Fr = 1\).
У таблиці результатів також наведено дві корисні похідні величини: питому енергію потоку \(E = L + v^2/(2g)\) — суму глибини та швидкісного напору відносно дна каналу — і критичну глибину \(L_c = v^2/g\), тобто глибину, за якої ваша поточна швидкість була б точно критичною. Порівняння фактичної глибини з критичною часто є найшвидшим способом визначити режим потоку.
Припущення, обмеження та поради
- Використовуйте правильну довжину. Цей калькулятор реалізує число Фруда за глибиною для потоку у відкритому руслі. Для прямокутного каналу \(L\) — це глибина води; для інших форм беріть гідравлічну глибину \(A/T\) (площа живого перетину, поділена на ширину по дзеркалу води). У гідродинаміці кораблів і корпусів суден використовується інше число Фруда — за довжиною корпусу, і ці дві величини не є взаємозамінними.
- Дотримуйтеся узгодженості з реальністю. Калькулятор виконує перетворення одиниць усередині, тому достатньо ввести значення в тих одиницях, у яких ви вимірювали, — просто виберіть відповідну одиницю в кожному випадаючому списку.
- Припускається рівномірний або повільно змінний потік. Класифікація справедлива, коли швидкість достатньою мірою репрезентативна для перетину. У сильно нерівномірному потоці (біля перепадів, з’єднань каналів або стрибків) Fr змінюється від точки до точки.
- Зберігайте реалістичне значення g. Змінювати g має сенс лише для інших планет або навчальних прикладів; на Землі використовуйте 9,81 м/с² (32,2 фут/с²).
- Глибина та швидкість взаємодіють з опором русла: щоб дослідити суміжні явища, зазирніть до калькулятора сили опору або калькулятора швидкості звуку в повітрі.
Часті запитання
Як обчислити число Фруда вручну?
Поділіть середню швидкість потоку на квадратний корінь із добутку прискорення вільного падіння та глибини: \( Fr = v/\sqrt{gL} \). Наприклад, при \( v = 1.5\ \text{м/с} \) і \( L = 0.4\ \text{м} \): \( \sqrt{9.81 \times 0.4} \approx 1.98 \), отже \( Fr \approx 0.76 \) — потік докритичний. Це можна зробити на будь-якому калькуляторі з кнопкою квадратного кореня; потрібні лише три вхідні значення.
Яке число Фруда вважається хорошим або нормальним?
Однозначно «хорошого» значення не існує — все залежить від інженерного завдання. Річки та канали зазвичай проєктують у докритичному режимі (\( Fr \) приблизно від 0,2 до 0,8) заради стабільної поверхні води та зручного керування. Надкритичний потік (\( Fr > 1 \)) — норма на крутих схилах та водоскидах, але він потребує ретельного проєктування. Значень близько 1 уникають, оскільки потік стає нестійким і хвилястим.
Чи можна користуватися футами замість метрів?
Так, число Фруда безрозмірне, тож будь-яка узгоджена система одиниць дає той самий результат. Візьміть \( g = 32.2\ \text{фут/с}^2 \) зі швидкістю у фут/с і глибиною у футах — або просто виберіть свої одиниці в калькуляторі, і він виконає перетворення сам. Єдина помилка, якої слід уникати, — змішування одиниць, наприклад метрів із фут/с².
Яку глибину вводити для непрямокутного каналу?
Використовуйте гідравлічну глибину: площу живого перетину, поділену на ширину по дзеркалу води, \( L = A/T \). Для прямокутного каналу це дорівнює глибині води, оскільки \( A = bL \) і \( T = b \). Для трапецієподібного або круглого каналу обчисліть \( A \) та ширину по дзеркалу \( T \) при фактичній глибині, а потім поділіть. Використання максимальної глибини замість \( A/T \) — поширена помилка, через яку режим потоку класифікують неправильно.
Чи це те саме число Фруда, що використовується для човнів і кораблів?
Ні. У гідродинаміці суден застосовують число Фруда за довжиною, \( Fr = v/\sqrt{gL} \), де \( L \) — довжина корпусу по ватерлінії: формула та сама, але зміст масштабу довжини зовсім інший, і використовується вона для прогнозування хвильового опору. Варіант для відкритих русел базується на глибині потоку та класифікує потік з вільною поверхнею. Ці два числа не є взаємозамінними.
Що відбувається, коли потік переходить від надкритичного до докритичного?
Цей перехід не може відбуватися плавно; він відбувається різко у вигляді гідравлічного стрибка — нерухомої пінистої хвилі, яка розсіює енергію та збільшує глибину води. Через стрибок число Фруда падає з понад 1 до менш ніж 1. Інженери навмисно створюють стрибки в колодязях-успокоїтелях під водоскидами та затворами, щоб розсіяти руйнівну енергію швидкої води.
Чим критична глибина \( L_c = v^2/g \) відрізняється від моєї фактичної глибини?
Критична глибина — це глибина, за якої ваша поточна швидкість була б точно критичною (\( Fr = 1 \)). Якщо фактична глибина більша за \( L_c \), потік докритичний; якщо менша — надкритичний. Порівняння цих двох глибин часто є найшвидшою перевіркою режиму — воно працює в будь-якій узгодженій системі одиниць, адже обидві величини є довжинами.