Calculateur de triangle rectangle
Résolvez un triangle rectangle à partir de deux mesures connues, dont au moins un côté. Saisissez des longueurs de côtés, un angle aigu, une aire ou un périmètre pour obtenir les mesures restantes.
Résoudre un triangle rectangle à partir de deux mesures
Formules du triangle rectangle
Avec :
- \(a\) et \(b\) — les côtés de l'angle droit, opposés respectivement aux angles \(\alpha\) et \(\beta\)
- \(c\) — l'hypoténuse, opposée à l'angle droit
- \(A\) — l'aire ; \(P\) — le périmètre
- \(h\) — la hauteur issue du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse
- \(r\) — le rayon du cercle inscrit ; \(R\) — le rayon du cercle circonscrit
Le théorème de Pythagore et la trigonométrie permettent de déterminer les côtés et les angles aigus. Une fois le triangle résolu, ses côtés déterminent également son aire, son périmètre, sa hauteur et les rayons des cercles inscrit et circonscrit.
Triangle rectangle – Exemple de calcul
Exemple : les valeurs par défaut sont Côté a = 3 et Côté b = 4. Trouvez les mesures restantes.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Résultat : les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités ; les angles aigus valent environ 36,8699° et 53,1301°. L'aire est de 6 unités carrées et le périmètre de 12 unités.
Comment utiliser le calculateur
- Saisissez deux mesures connues, dont au moins un côté. Les champs de côtés sont Côté a, Côté b et Hypoténuse c. Le côté a est opposé à l'angle α ; le côté b est opposé à l'angle β.
- Pour un calcul à partir d'un côté et d'un angle, saisissez un côté ainsi que l'Angle α ou l'Angle β en degrés. Vous pouvez aussi associer un côté à l'Aire ou au Périmètre. Saisissez toutes les longueurs dans la même unité et l'aire dans l'unité carrée correspondante.
- Effacez les valeurs par défaut des champs Côté a et Côté b si elles ne font pas partie de vos mesures connues. Laissez vides les champs que vous ne souhaitez pas utiliser.
- Consultez Triangle résolu pour obtenir les côtés, les angles en degrés et en radians, l'aire, le périmètre, la hauteur relative à l'hypoténuse, le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit. Vérifiez Mesures utilisées pour savoir quelles données ont déterminé le résultat.
Ce que vous apprend le triangle résolu
Un triangle rectangle comporte un angle de 90°. Ses deux côtés de l'angle droit se rejoignent en ce sommet, et l'hypoténuse est le côté qui lui est opposé. Les angles aigus α et β sont complémentaires : leur somme vaut 90°. Connaître deux mesures adaptées, dont au moins un côté, détermine généralement à la fois la forme et la taille du triangle. Deux angles seuls fixent la forme, mais pas les longueurs des côtés.
L'hypoténuse se calcule à partir des deux côtés de l'angle droit grâce à \(a^2+b^2=c^2\). Si un côté et un angle aigu sont connus, les rapports trigonométriques les relient aux autres côtés. Par exemple, \(\tan\alpha=a/b\) et \(\sin\alpha=a/c\). Pour un calcul ciblé utilisant ces relations, consultez le Calculateur de théorème de Pythagore ou le Calculateur de trigonométrie.
L'aire vaut la moitié du produit des côtés de l'angle droit, car ils servent de base et de hauteur perpendiculaires. La Hauteur relative à l'hypoténuse affichée est une autre hauteur : elle part du sommet de l'angle droit et rejoint l'hypoténuse. Le rayon du cercle inscrit est celui du cercle tangent aux trois côtés ; le rayon du cercle circonscrit est celui du cercle passant par les trois sommets. Dans un triangle rectangle, le rayon du cercle circonscrit est toujours égal à la moitié de l'hypoténuse. Si vous cherchez simplement l'aire à partir d'autres mesures d'un triangle, utilisez le Calculateur d'aire d'un triangle.
Règles de saisie et limites pratiques
Saisissez des mesures positives et finies. Chaque angle aigu doit être strictement supérieur à 0° et inférieur à 90°, et l'hypoténuse doit être plus longue que chaque côté connu. Un côté associé à une aire ou à un périmètre doit également correspondre à un triangle rectangle possible ; le calculateur signale une erreur dans le cas contraire.
Le calculateur n'utilise que deux valeurs saisies. Il retient les deux premiers côtés disponibles dans l'ordre Côté a, Côté b, Hypoténuse c. Si un seul côté est saisi, il l'associe à la première valeur disponible dans cet ordre : Angle α, Angle β, Aire, Périmètre. Les autres saisies sont ignorées plutôt que vérifiées pour cohérence : effacez donc les champs inutiles et consultez Mesures utilisées.
Une hypoténuse associée à une aire ou à un périmètre peut autoriser deux étiquetages de la même forme : échanger les côtés a et b échange aussi les angles α et β. Le résultat et le schéma, mis à l'échelle, affichent l'étiquetage avec \(a\leq b\) ; une note sous Mesures utilisées signale le cas où l'étiquetage inversé est également possible. Le schéma est mis à l'échelle pour montrer les proportions, pas pour fournir une mesure physique à la taille de l'écran.
Questions fréquentes
Comment trouver un côté manquant si je connais l'hypoténuse et l'autre côté ?
Retranchez le carré du côté connu du carré de l'hypoténuse, puis prenez la racine carrée. Pour une hypoténuse de 13 et un côté de 5, le côté manquant vaut \(\sqrt{13^2-5^2}=12\). Si le côté connu est aussi long ou plus long que l'hypoténuse, ces mesures ne peuvent pas former un triangle rectangle.
Comment résoudre un triangle rectangle à la main à partir d'un côté et d'un angle ?
Choisissez un rapport trigonométrique selon la position du côté connu par rapport à l'angle. Par exemple, si l'hypoténuse vaut 10 et qu'un angle aigu mesure 30°, le côté opposé vaut \(10\sin 30^\circ=5\) et le côté adjacent \(10\cos 30^\circ\approx8.66\). Réglez votre calculatrice en mode degrés lorsque l'angle est donné en degrés.
Comment vérifier si trois côtés mesurés forment un triangle rectangle ?
Repérez le côté le plus long, puis comparez son carré à la somme des carrés des deux autres côtés. Les longueurs 6, 8 et 10 conviennent car \(6^2+8^2=10^2\). Des mesures réelles peuvent différer légèrement en raison des arrondis ou d'erreurs de mesure ; une correspondance approximative ne prouve donc pas un angle droit exact.
Quelles sont les particularités d'un triangle rectangle 45-45-90 ?
Ses deux côtés de l'angle droit sont égaux, donc chaque angle aigu vaut 45° et l'hypoténuse mesure \(\sqrt{2}\) fois chacun de ces côtés. Pour des côtés de longueur 7, l'hypoténuse vaut \(7\sqrt{2}\approx9.90\). C'est aussi le triangle rectangle d'aire maximale pour une hypoténuse donnée ; rendre un côté plus long que l'autre diminue son aire.
Puis-je utiliser des centimètres pour un côté et des mètres pour un autre ?
Convertissez toutes les longueurs dans une même unité avant de calculer. Par exemple, 50 cm et 1 m doivent être saisis comme 50 cm et 100 cm, ou comme 0,5 m et 1 m. L'aire s'exprime dans le carré de cette unité : \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Les angles se saisissent en degrés ; pour convertir des radians en degrés, multipliez par \(180/\pi\).
Pourquoi un triangle avec un angle très petit peut-il donner un résultat inattendu ?
Un angle aigu très petit donne un triangle très fin, si bien qu'un côté peut être minuscule par rapport à l'autre. Un léger arrondi sur l'angle ou sur un côté peut alors modifier sensiblement ce côté minuscule. Utilisez les mesures les plus précises dont vous disposez et évitez d'arrondir les calculs intermédiaires. Un angle d'exactement 0° ou 90° ne donne pas un triangle rectangle non dégénéré.
L'aire est-elle limitée si je ne connais que l'hypoténuse ?
Oui. Pour une hypoténuse de longueur \(c\), l'aire ne peut pas dépasser \(c^2/4\). L'égalité est atteinte lorsque les deux côtés de l'angle droit sont égaux. Par exemple, une hypoténuse de 10 permet une aire d'au plus 25 unités carrées. Une aire positive plus petite détermine les longueurs des côtés, même si l'étiquette \(a\) peut être attribuée à l'un ou à l'autre.