Dik üçgen hesaplayıcı
Bir dik kenar da dahil olmak üzere iki bilinen ölçüyle bir dik üçgeni çözün. Kalan tüm ölçüleri bulmak için dik kenar uzunluklarını, bir dar açıyı, alanı veya çevreyi girin.
İki ölçüm vererek dik üçgeni çözün
Dik üçgen formülü
Burada:
- \(a\) ve \(b\) — dik kenarlar; karşısındaki açılar sırasıyla \(\alpha\) ve \(\beta\)
- \(c\) — hipotenüs; dik açının karşısındaki kenar
- \(A\) — alan; \(P\) — çevre
- \(h\) — dik açının köşesinden hipotenüse inen yükseklik
- \(r\) — iç teğet çemberin yarıçapı; \(R\) — çevrel çemberin yarıçapı
Kenarları ve dar açıları Pisagor teoremi ile trigonometri belirler. Üçgen çözüldükten sonra kenarlar ayrıca alanı, çevreyi, yüksekliği ve çember yarıçaplarını da belirler.
Dik üçgen – hesaplama örneği
Örnek: varsayılan değerler Dik kenar a = 3 ve Dik kenar b = 4'tür. Kalan ölçüleri bulun.
\[c=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.8699^\circ,\qquad \beta\approx53.1301^\circ\]
\[A=\frac{3\cdot4}{2}=6,\qquad P=3+4+5=12\]
\[h=\frac{3\cdot4}{5}=2.4,\qquad r=\frac{3\cdot4}{12}=1,\qquad R=\frac{5}{2}=2.5\]
Sonuç: kenarlar 3, 4 ve 5 birim; dar açılar yaklaşık 36,8699° ve 53,1301°'dir. Alan 6 birimkare, çevre 12 birimdir.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
- Bir kenar da dahil olmak üzere iki bilinen ölçü girin. Kenar alanları Dik kenar a, Dik kenar b ve Hipotenüs c'dir. Dik kenar a, α açısının; Dik kenar b ise β açısının karşısındadır.
- Kenar-açı ile hesaplama için bir kenarı derece cinsinden Açı α veya Açı β ile birlikte girin. Alternatif olarak bir kenarı Alan veya Çevre ile eşleştirin. Tüm kenar uzunluklarını aynı birimle, alanı ise bu birimin karşılık gelen karesiyle girin.
- Bilinen ölçüleriniz arasında yoksa Dik kenar a ve Dik kenar b alanlarındaki varsayılan değerleri temizleyin. Kullanmak istemediğiniz alanları boş bırakın.
- Kenarları, derece ve radyan cinsinden açıları, alanı, çevreyi, hipotenüse inen yüksekliği, iç teğet çember yarıçapını ve çevrel çember yarıçapını Çözülen üçgen bölümünden okuyun. Sonucun hangi girişlerle belirlendiğini görmek için Kullanılan ölçüler bölümüne bakın.
Çözülen üçgen size ne söyler?
Bir dik üçgende bir açı 90°'dir. İki dik kenar bu açının köşesinde buluşur; hipotenüs ise bu açının karşısındaki kenardır. Dar açılar α ve β'nin toplamı 90°'dir. Bunlardan en az biri bir kenar olacak şekilde uygun iki ölçüyü bilmek, genellikle hem üçgenin şeklini hem de boyutunu belirler. İki açı ise yalnızca şekli belirler; kenar uzunluklarını belirlemez.
Hipotenüs, \(a^2+b^2=c^2\) bağıntısıyla iki dik kenardan bulunabilir. Bir dik kenar ve bir dar açı biliniyorsa, trigonometrik oranlar bunları öbür kenarlara bağlar. Örneğin \(\tan\alpha=a/b\) ve \(\sin\alpha=a/c\). Bu bağıntıları temel alan daha odaklı bir hesaplama için Pisagor Teoremi Hesaplayıcı veya Trigonometri Hesaplayıcı sayfalarına bakın.
Dik kenarlar aynı zamanda birbirine dik taban ve yükseklik görevi gördüğü için alan, çarpımlarının yarısıdır. Hesaplayıcının verdiği Hipotenüse yükseklik değeri ise farklı bir yüksekliktir: dik açının köşesinden hipotenüse iner. İç teğet çemberin yarıçapı üç kenara da değen bir çemberin; çevrel çemberin yarıçapı üç köşeden de geçen bir çemberin yarıçapıdır. Bir dik üçgende çevrel çemberin yarıçapı her zaman hipotenüsün yarısına eşittir. Elinizde başka ölçüler varsa ve yalnızca alanı hesaplamak istiyorsanız Üçgen Alan Hesaplayıcı'yı kullanın.
Giriş kuralları ve pratik sınırlar
Pozitif ve sonlu ölçüler girin. Her dar açı 0°'den büyük, 90°'den küçük olmalıdır; hipotenüs de bilinen herhangi bir dik kenardan uzun olmalıdır. Alan veya çevre ile eşleştirilen bir kenar, gerçekten var olabilecek bir dik üçgeni tanımlamalıdır; tanımlamadığında hesaplayıcı bir hata bildirir.
Hesaplayıcı yalnızca girilen iki değeri kullanır. Dik kenar a, Dik kenar b, Hipotenüs c sırasına göre bulduğu ilk iki kenarı alır. Yalnızca bir kenar girildiyse bu kenar, şu sırayla ilk mevcut değerle eşleştirilir: Açı α, Açı β, Alan, Çevre. Diğer girişler tutarlılık açısından denetlenmek yerine yok sayılır; bu yüzden istemediğiniz alanları temizleyin ve Kullanılan ölçüler bölümüne bakın.
Hipotenüs, alan veya çevre ile eşleştiğinde aynı şeklin iki farklı etiketlenmesi mümkün olabilir: a ve b dik kenarlarının yerini değiştirmek α ve β açılarının da yerini değiştirir. Sonuç ve ölçekli çizim \(a\leq b\) olan etiketlenmeyi gösterir; yer değiştirilmiş etiketlemenin de mümkün olduğu durumlarda Kullanılan ölçüler altındaki bir not bunu belirtir. Çizim oranları göstermek için ölçeklenmiştir; ekran boyutunda fiziksel bir ölçüm sağlamak için değildir.
Sıkça Sorulan Sorular
Hipotenüs ve bir dik kenar biliyorsam eksik dik kenarı nasıl bulurum?
Bilinen dik kenarın karesini hipotenüsün karesinden çıkarın, sonra karekök alın. Hipotenüs 13, dik kenar 5 ise eksik dik kenar \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) olur. Bilinen dik kenar hipotenüs kadar uzunsa veya ondan uzunsa bu ölçüler bir dik üçgen oluşturamaz.
Bir kenar ve bir açı verildiğinde dik üçgeni elle nasıl çözerim?
Bilinen kenarın açıya göre konumuna uygun bir trigonometrik oran seçin. Örneğin hipotenüs 10 ve dar açılardan biri 30° ise, karşıdaki dik kenar \(10\sin 30^\circ=5\), komşu dik kenar ise \(10\cos 30^\circ\approx8.66\) olur. Derece cinsinden verilen açıyla hesaplarken hesap makinenizi derece moduna alın.
Ölçtüğüm üç kenar uzunluğunun bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını nasıl kontrol edebilirim?
En uzun kenarı belirleyin, karesini öbür iki kenarın kareleri toplamıyla karşılaştırın. 6, 8 ve 10 uzunlukları bu testten geçer, çünkü \(6^2+8^2=10^2\). Gerçek hayattaki ölçümler yuvarlama veya ölçüm hatası nedeniyle biraz sapabilir; bu yüzden yaklaşık bir eşleşme tam bir dik açının kanıtı sayılmaz.
45-45-90 dik üçgeninin özelliği nedir?
İki dik kenarı eşit olduğundan dar açıların her biri 45°'dir ve hipotenüs, herhangi bir dik kenarın \(\sqrt{2}\) katıdır. Dik kenarların uzunluğu 7 ise hipotenüs \(7\sqrt{2}\approx9.90\) olur. Ayrıca bu, sabit bir hipotenüs için olası en büyük alanlı dik üçgendir; bir dik kenarı öbüründen uzun yapmak alanı küçültür.
Bir kenar için santimetre, diğeri için metre kullanabilir miyim?
Hesaplamadan önce tüm uzunlukları tek bir yöne çevirin. Örneğin 50 cm ve 1 m, 50 cm ve 100 cm ya da 0,5 m ve 1 m olarak girilmelidir. Alan bu birimin karesini kullanır: \(10{,}000\text{ cm}^2=1\text{ m}^2\). Açılar derece cinsinden girilir; radyanı dereceye çevirmek için \(180/\pi\) ile çarpın.
Çok küçük açılı bir üçgen neden beklenmedik sonuç verebilir?
Çok küçük bir dar açı ince bir üçgen oluşturur; bu durumda bir dik kenar öbürüne kıyasla çok kısa kalabilir. Açıdaki ya da kenardaki küçük yuvarlama değişimleri bile kısa kenarı belirgin şekilde değiştirebilir. Elinizdeki en duyarlı ölçüleri kullanın ve ara hesaplamaları yuvarlamayın. Tam olarak 0° veya 90° olan bir açı, dejenere olmayan bir dik üçgen oluşturmaz.
Yalnızca hipotenüsü biliyorsam alan için bir sınırlama var mı?
Evet. Uzunluğu \(c\) olan bir hipotenüs için alan \(c^2/4\) değerini aşamaz. Eşitlik, dik kenarların eşit olduğu durumda sağlanır. Örneğin 10 uzunluğundaki bir hipotenüs en fazla 25 birimkarelik bir alana izin verir. Daha küçük bir pozitif alan, dik kenarların uzunluklarını da belirler; ancak a etiketi iki dik kenardan her birine verilebilir.