Комплексное число в полярную форму

Как пользоваться калькулятором

1. Введите действительную часть \( a \) в поле a (действительная часть) (например, 3).
2. Выберите + или – в выпадающем списке Действие, чтобы задать знак мнимой части.
3. Введите коэффициент при мнимой части \( b \) в поле b (мнимая часть) (например, 4). При выбранном действии «минус» число \( 3 - 4i \) вводится как \( a = 3 \), действие –, \( b = 4 \).
4. Выберите удобный вариант вывода в Формат отображения: Угол (r ∠ θ°) или Тригонометрическая форма (r(cosθ + i·sinθ)).
5. Результат сразу появится в строке Полярное представление.

Что такое полярная форма комплексного числа?

У комплексного числа есть два естественных представления. Алгебраическая форма \( z = a + bi \) описывает его горизонтальной и вертикальной координатами — как точку на карте. Полярная форма \( z = r \angle \theta \) описывает ту же точку через расстояние и направление: \( r \) показывает, насколько она удалена от начала координат, а \( \theta \) — под каким углом она расположена относительно положительного направления действительной оси. Обе формы содержат ровно одну и ту же информацию — это просто два способа её записи.

Полярная форма важна потому, что она резко упрощает умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел. Чтобы перемножить два числа в полярной форме, нужно перемножить их модули и сложить углы; чтобы разделить — разделить модули и вычесть углы. Возведение числа в \( n\)-ю степень превращается в \( r^n \angle n\theta \). Те же операции в алгебраической форме требуют раскрытия скобок и приведения подобных членов — куда больше работы для всего, что сложнее одного умножения.

Именно поэтому полярная форма господствует в таких областях, как анализ цепей переменного тока, обработка сигналов и теория управления. Импедансы, векторы (фазоры) и передаточные функции обычно записывают в виде \( r \angle \theta \), потому что их комбинирование сводится к простым действиям с модулями и углами.

Как интерпретировать результат и использовать его правильно

Модуль \( r \) всегда неотрицателен; он не бывает отрицательным. Угол \( \theta \) в этом калькуляторе выдаётся в градусах в диапазоне от \( -180^\circ \) до \( 180^\circ \). Отрицательный угол означает поворот по часовой стрелке: \( -90^\circ \) направлен строго вниз (вдоль отрицательной мнимой оси). Если нужен положительный угол из диапазона \([0^\circ, 360^\circ)\), прибавьте \( 360^\circ \) к отрицательному результату.

Обратите внимание на особые случаи: у чисто действительного числа \( \theta = 0^\circ \) (если оно положительное) или \( 180^\circ \) (если отрицательное), а у чисто мнимого числа \( \theta = 90^\circ \) или \( -90^\circ \). Для \( z = 0 \) модуль равен 0, а угол не определён — любое значение \( \theta \) задаёт одну и ту же точку, начало координат.

Если по условию задачи угол нужен в радианах, переведите его по формуле \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \pi / 180 \). Например, \( 53.13^\circ \approx 0.9273 \) радиан.

Советы и ограничения

• Калькулятор использует \( \operatorname{atan2}(b, a)\), поэтому автоматически определяет правильный квадрант угла — не нужно вручную прибавлять \( 180^\circ \) при отрицательном \( a \), что является частой ошибкой при использовании \( \tan^{-1}(b/a)\).
• Результат округляется до трёх знаков после запятой; для большинства учебных и инженерных задач такой точности более чем достаточно.
• Углы выдаются в градусах. Если формула, которой вы пользуетесь (например, формула Эйлера \( e^{i\theta} \)), требует радианы, сначала выполните перевод.
• Полярная форма — ступенька к другим операциям: чтобы извлечь корень \( n\)-й степени, используйте \( \sqrt[n]{r} \angle (\theta + 360^\circ k)/n \) при \( k = 0, 1, \dots, n-1 \). См. калькулятор «Корень комплексного числа».

Связанные калькуляторы

• Калькулятор комплексных чисел — арифметика с комплексными числами в алгебраической форме.
• Модуль комплексного числа — отдельно вычисляет модуль \( r \).
• Сопряжённое комплексное число — находит \( a - bi \), у которого тот же модуль, но противоположный угол.
• Корень комплексного числа — извлекает квадратные и более высокие корни из комплексных чисел.