Комплексное число

Числа вида x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица называются комплексными числами. Произвести расчеты с комплексными числами: умножение, деление и извлечение квадратного корня из заданного числа.

Калькулятор комплексного числа

Формулы комплексного числа:

Умножение

(x+iy) × (x+iy)

Деление

(x+iy) / (x+iy)

Квадратный корень:

• r = корень(x² + y²)
• z = sqrt((r-x) / 2)
• x = y / 2z
• r1 = x + iz
• r2 = -x - iz

Пример 1: Умножение дух комплексных чисел.

Умножим (3 + 2i) и (4 + 5i)

Шаг 1:

Производим расчет по формуле (x+iy) × (x+iy)
(3 + 2i)(4 + 5i) = (3 × 4) + (3 × (5i)) + ((2i) × 4) + ((2i) × (5i))
= 12 + 15i + 8i + 10i ²
= 12 + 23i -10 (Представим 10i ² = 10(-1) = -10)
= 2 + 23i

Ответ: (3 + 2i)(4 + 5i) = 2+23i

Пример 2:Поделим одно комплексное число на другое.

Делим (2 + 6i) / (4 + i).

Шаг 1:

Производим расчет по формуле (a+bi) / (a+bi)
Записываем комплексное сопряженное 4+i ie., 4-i

Шаг 2:

Умножаем верхние и нижние выражения

Верхнее = (2 + 6i)(4 - i)
= 8 - 2i + 24i - 6i ²
= 8 + 22i + 6 (Представим как -6i ² = -6(-1) = 6)
= 14 + 22i

Нижнее = (4 + i)(4 - i)
= 16 - 4i + 4i - i ²
= 16 + 0 + 1 (Представим как -i ² = 1)
= 17

Шаг 3:

Произведем деление
Соотношение (14 + 22i) / 17

Ответ: (2 + 6i) / (4 + i) = 14/17 + 22i/17

Пример 3:

Найдем корень комплексного числа 12 + 16i.

Шаг 1:
r = корень(x ² + y ²)
= корень(12 ² + 16 ²)
= корень(144 + 256)
= корень(400)
r = 20

Шаг 2:

Для решения используем формулу.
z = корень((r - x) / 2)
= корень((20 - 12)/2)
= корень(8 / 2)
= корень(4)
z = 2

Шаг 3:

Заменяем значение y b z в x.
x = y / 2z
= 16 / 2 ×2
= 16 / 4
x = 4

Шаг 4:

Найдем корень 12 + 16i подставив значение x и z в r1 and r2.
r1 = x + zi = 4 + 2i
r2 = -x - zi = -4 - 2i

Ответ: корень 12 + 16i является,
r1 = 4 + 2i, r2 = -4 - 2i