Калькулятор сопряжённого комплексного числа

Обновлено: 3 октября, 2026

Введите действительную и мнимую части комплексного числа, чтобы мгновенно найти его сопряжённое (a − bi) и модуль |a + bi|. Работает с отрицательными значениями и показывает результат пошагово.

Найти сопряжённое комплексного числа

Формула сопряжённого комплексного числа

Формула

\[ z = a + bi \quad \Rightarrow \quad \bar{z} = a - bi \]

Где:

\(z\) — исходное комплексное число
\(a\) — действительная часть \(z\)
\(b\) — мнимая часть \(z\)
\(i\) — мнимая единица, \(i^2 = -1\)
\(\bar{z}\) — комплексно сопряжённое число к \(z\)

Чтобы получить сопряжённое число, действительную часть оставляют без изменений, а знак мнимой части меняют на противоположный. Геометрически это отражение точки \((a, b)\) относительно действительной оси комплексной плоскости в точку \((a, -b)\). Калькулятор также возвращает модуль (абсолютную величину) \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) — расстояние от начала координат до точки \((a, b)\).

Сопряжённое комплексного числа — пример вычисления

Пример: найдём сопряжённое число и модуль комплексного числа \( z = 3 + 4i \).

\[ \bar{z} = 3 - 4i \]

\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Результат: сопряжённое комплексное число равно \( 3 - 4i \), а модуль равен \( 5 \).

Как пользоваться калькулятором

Введите действительную часть \(a\) вашего комплексного числа в поле Действительная часть (например, 3).
Введите мнимую часть \(b\) в поле Мнимая часть (например, 4). Отрицательные значения допустимы: для числа вида \( 3 - 4i \) введите -4.
Прочитайте результат Сопряжённое комплексное число (a − bi): та же действительная часть со знаком мнимой части, изменённым на противоположный.
Прочитайте результат Модуль |a + bi|: значение \( \sqrt{a^2 + b^2} \), округлённое до 4 знаков после запятой.

Что такое сопряжённое комплексное число?

Каждое комплексное число можно записать в виде \( z = a + bi \), где \(a\) и \(b\) — действительные числа, а \(i\) — мнимая единица. Его комплексно сопряжённое число, обозначаемое \( \bar{z} \) или иногда \( z^* \), — это число \( a - bi \). Два числа различаются только знаком мнимой части: \( 3 + 4i \) и \( 3 - 4i \) сопряжены друг с другом.

У сопряжённых чисел есть несколько полезных свойств. Произведение числа на его сопряжённое всегда даёт неотрицательное действительное число: \( z \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \). Сумма и разность сопряжённых чисел равны \( z + \bar{z} = 2a \) и \( z - \bar{z} = 2bi \), а сопряжение распределено по арифметическим операциям: \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2 \) и \( \overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2 \).

Благодаря этим свойствам сопряжённые числа — практичный инструмент. В алгебре они используются для избавления от иррациональности в знаменателе: дробь вида \( \frac{1}{3 + 4i} \) превращается в \( \frac{3 - 4i}{25} \) умножением числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю. В polynomial-уравнениях, если многочлен имеет действительные коэффициенты, каждый комплексный корень появляется вместе со своим сопряжённым — калькулятор комплексных корней поможет найти такие пары.

В инженерии и физике сопряжённые числа встречаются постоянно. При анализе цепей переменного тока комплексная мощность вычисляется как \( S = V \bar{I} \), а в обработке сигналов сопряжение используется в корреляции, преобразованиях Фурье и операциях с фазорами для извлечения действительных величин из комплексных.

Интерпретация результатов

Сопряжённое число выводится в виде \( a - bi \), если мнимая часть положительна, и в виде \( a + bi \), если она отрицательна — калькулятор всегда меняет знак за вас. Если ввести мнимую часть, равную 0, сопряжённое число совпадает с самим действительным числом, поскольку любое действительное число сопряжено самому себе.

Модуль (также называемый абсолютной величиной) показывает, насколько далеко число расположено от начала координат на комплексной плоскости. Он никогда не зависит от знака мнимой части — именно поэтому \( z \) и \( \bar{z} \) всегда имеют одинаковый модуль. Чтобы глубже разобраться в этой величине, воспользуйтесь специальным калькулятором модуля комплексного числа.

Советы и ограничения

Введите в оба поля действительные числа; калькулятор не принимает выражения вида 2+3i в одном поле — разбейте их на два поля.
Действительная и мнимая части могут быть отрицательными или десятичными. Например, при действительной части -2 и мнимой части -7 сопряжённое число равно \( -2 + 7i \).
Модуль округляется до 4 знаков после запятой; значения вроде \( \sqrt{2} \) отображаются как 1,4142.
Сопряжение меняет только знак мнимой части. Если вам нужны другие операции с комплексными числами — арифметика, полярная форма, корни — попробуйте калькулятор комплексных чисел или конвертер комплексного числа в полярную форму.
Проверяя домашнее задание, помните, что \( \bar{\bar{z}} = z \): двойное сопряжение возвращает исходное число.

Часто задаваемые вопросы

Как найти сопряжённое комплексное число вручную, без калькулятора?

Запишите число в виде \( a + bi \), а затем просто поменяйте знак перед \( i \). Например, \( 5 - 7i \) превращается в \( 5 + 7i \), а \( -2 + 3i \) — в \( -2 - 3i \). Если число записано как точка \( (a, b) \), отразите её относительно горизонтальной (действительной) оси, получив \( (a, -b) \). Никаких вычислений, кроме смены знака, не требуется.

Чему равно сопряжённое чисто мнимого числа, например 4i или -6i?

Рассмотрите число как \( 0 + 4i \) или \( 0 - 6i \): действительная часть равна 0, поэтому меняется только знак мнимой части. Сопряжённое к \( 4i \) — это \( -4i \), а сопряжённое к \( -6i \) — это \( 6i \). Чисто мнимые числа всегда образуют пары со своими противоположными относительно действительной оси, и оба имеют одинаковый модуль (4 и 6 соответственно).

Чем сопряжённое число полезно при делении комплексных чисел?

Умножение числителя и знаменателя на сопряжённое к знаменателю превращает знаменатель в действительное число, что делает деление простым. Например, \( \frac{1}{2 + 3i} \) превращается в \( \frac{2 - 3i}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2 - 3i}{13} \). Это стандартный приём избавления от комплексности в знаменателе в алгебре и при упрощении выражений вручную.

В чём разница между сопряжённым числом и модулем комплексного числа?

Сопряжённое \( \bar{z} \) — это другое комплексное число с противоположным знаком мнимой части, тогда как модуль \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) — единственное неотрицательное действительное число, измеряющее расстояние от начала координат. Они связаны тождеством \( z \bar{z} = |z|^2 \). Для \( 3 + 4i \) сопряжённое равно \( 3 - 4i \), а модуль равен 5 — два совершенно разных типа результата.

Совпадает ли комплексно сопряжённое число с противоположным (отрицательным) числом?

Нет, это разные операции. Противоположное к \( z = a + bi \) равно \( -z = -a - bi \): меняются оба знака, и точка отражается относительно начала координат. Сопряжённое \( \bar{z} = a - bi \) меняет только мнимую часть и отражает точку относительно действительной оси. Только для чисто мнимых чисел (когда \( a = 0 \)) эти два результата совпадают: например, для \( 4i \) оба дают \( -4i \).

Можно ли использовать этот калькулятор с десятичными или дробными значениями?

Да. Оба поля принимают десятичные числа: можно ввести 2,5 и -1,75, чтобы получить сопряжённое \( 2{,}5 + 1{,}75i \). Дроби предварительно переведите в десятичные: \( \frac{1}{2} - \frac{3}{4}i \) вводится как 0,5 и -0,75. Модуль округляется до 4 знаков после запятой, поэтому результаты вроде \( \sqrt{5} \) отображаются как 2,2361.

Какие ошибки чаще всего допускают при работе с сопряжёнными комплексными числами?

Самая частая ошибка — смена знака действительной части вместо мнимой: меняется только член с \( i \). Другая ошибка — забывать, что сопряжение суммы или произведения действует поэлементно: \( \overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2 \) и \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2 \), при этом \( \overline{z_1 / z_2} = \bar{z}_1 / \bar{z}_2 \). Также помните, что \( \bar{\bar{z}} = z \) — двойное сопряжение возвращает исходное число.