Calculadora de ângulos internos de um polígono
Digite o número de lados para calcular a soma dos ângulos internos de qualquer polígono. Se ele for regular, você também obtém cada ângulo interno e cada ângulo externo, com o passo a passo da resolução.
Descubra a soma dos ângulos internos de um polígono
Fórmula dos ângulos internos do polígono
Onde:
- \(n\) — número de lados do polígono (\(n \ge 3\))
- \(\Sigma\alpha\) — soma de todos os ângulos internos (em graus)
- \(\alpha\) — cada ângulo interno de um polígono regular (em graus)
- \(\beta\) — cada ângulo externo de um polígono regular (em graus)
A primeira fórmula fornece o total de todos os ângulos internos de qualquer polígono, regular ou não, dependendo apenas do número de lados. As outras duas valem para polígonos regulares, em que todos os ângulos são iguais — basta dividir o total igualmente entre os \(n\) ângulos.
Ângulos internos do polígono – Exemplo de cálculo
Exemplo: um hexágono regular (o valor padrão da calculadora), que tem \(n = 6\) lados e ângulos iguais.
\[ \Sigma\alpha = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]
\[ \alpha = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \]
\[ \beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \]
Resultado: os ângulos internos de um hexágono somam 720°; cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°, e cada ângulo externo, 60°. Note que \(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\), como sempre acontece com um par de ângulos interno e externo.
Como usar a calculadora
- Digite o Número de lados (n) — qualquer número inteiro a partir de 3, por exemplo 6 para um hexágono.
- Mantenha a opção Polígono regular marcada se todos os lados e todos os ângulos forem iguais; desmarque-a para um polígono irregular.
- Leia a Soma dos ângulos internos em graus — ela vale para qualquer polígono com esse número de lados.
- Com "Polígono regular" marcado, você também vê Cada ângulo interno e Cada ângulo externo.
- Confira os Passos do cálculo para ver todas as contas escritas, junto com o nome do polígono quando ele tem 12 lados ou menos.
O que são os ângulos internos de um polígono?
Um ângulo interno é o ângulo formado dentro do polígono, em um vértice, entre os dois lados que se encontram ali. Todo polígono com \(n\) lados tem exatamente \(n\) ângulos internos — um triângulo tem 3, um hexágono tem 6, e assim por diante.
O ponto essencial é que a soma desses ângulos depende apenas do número de lados, e não do formato do polígono. Os ângulos de um triângulo sempre somam 180°, seja ele bem fino ou perfeitamente equilátero. Cada lado a mais acrescenta 180° ao total: 180° para o triângulo, 360° para o quadrilátero, 540° para o pentágono, 720° para o hexágono. É exatamente isso que a fórmula \((n - 2) \cdot 180^\circ\) expressa — um polígono pode ser dividido em \(n - 2\) triângulos, e cada triângulo contribui com 180°.
Em um polígono irregular, apenas o total é fixo; os ângulos individuais podem ter qualquer valor, desde que a soma continue a mesma. Já em um polígono regular — lados e ângulos iguais — cada ângulo é simplesmente a soma dividida por \(n\), e cada ângulo externo vale \(360^\circ / n\), pois os ângulos externos precisam completar uma volta inteira ao redor do polígono.
Esse resultado é útil em exercícios de geometria, em ladrilhamento e design e na construção civil. Por exemplo, saber que cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120° explica por que três hexágonos se encaixam perfeitamente em torno de um ponto (3 × 120° = 360°) — a base dos padrões em formato de colmeia.
Premissas, limitações e dicas
- Polígonos convexos: as fórmulas pressupõem um polígono simples. Em polígonos côncavos (não convexos), a fórmula da soma continua válida, mas um ou mais ângulos internos passam de 180°.
- Polígonos que se autointersectam (como um pentagrama traçado de uma só vez) não seguem essas fórmulas.
- Apenas números inteiros: um polígono não pode ter um número fracionário de lados, por isso a calculadora pede um número inteiro maior ou igual a 3.
- Ângulos externos: o ângulo externo exibido vale para um polígono regular. Em qualquer polígono convexo, os ângulos externos continuam somando 360°, mas, individualmente, são diferentes se o polígono for irregular.
- Valores grandes: à medida que \(n\) cresce, cada ângulo interno de um polígono regular se aproxima de 180°, e cada ângulo externo se aproxima de 0° — um polígono regular com muitos lados parece quase um círculo.
Um fato relacionado que vale a pena conhecer: o número de diagonais de um polígono de \(n\) lados é \(\frac{n(n-3)}{2}\), que vem de escolher 2 vértices entre os \(n\) — você pode explorar esse tipo de contagem com nossa calculadora de Coeficiente Binomial. E se você gosta de ferramentas com padrões numéricos, experimente também o gerador de Quadrado Mágico.
Perguntas frequentes
Como calcular a soma dos ângulos internos sem calculadora?
Pegue o número de lados, subtraia 2 e multiplique por 180°. Para um octógono: \((8 - 2) \cdot 180° = 1080°\). Esse truque funciona porque qualquer polígono com \(n\) lados pode ser dividido, a partir de um vértice, em \(n - 2\) triângulos, e cada triângulo contribui com 180°. Para um polígono regular, basta dividir o total por \(n\) para obter cada ângulo: \(1080° / 8 = 135°\).
Quanto vale cada ângulo de um polígono regular em radianos?
A conversão é simples: troque 180° por \(\pi\) e 360° por \(2\pi\). A soma passa a ser \((n - 2)\pi\) radianos, cada ângulo interno de um polígono regular vale \(\frac{(n-2)\pi}{n}\) e cada ângulo externo, \(\frac{2\pi}{n}\). Para converter manualmente qualquer resultado, multiplique os graus por \(\pi / 180\). Por exemplo, 120° equivalem a \(2\pi/3 \approx 2,094\) radianos.
Como encontrar um ângulo interno que falta em um polígono irregular?
Primeiro calcule o total fixo a partir do número de lados: \((n - 2) \cdot 180°\). Em seguida, subtraia desse total todos os ângulos conhecidos — o que sobrar é o ângulo que falta. Por exemplo, se um quadrilátero tem ângulos de 90°, 85° e 100°, o quarto ângulo é \(360° - 275° = 85°\). Isso vale para polígonos convexos e também para côncavos, nos quais o ângulo que falta pode passar de 180° (um ângulo reflexo).
Um ângulo interno pode ser maior que 180°?
Sim, em um polígono côncavo. Em um vértice de "reentrância", o ângulo interno é reflexo — maior que 180° e menor que 360°. O importante é que a fórmula da soma continua válida: os ângulos de um quadrilátero côncavo ainda somam 360°, só que nem todos ficam abaixo de 180°. A fórmula falha apenas para figuras que se autointersectam, como um pentagrama traçado de uma só vez, que segue outras regras.
Por que os ângulos externos de qualquer polígono somam 360°?
Caminhe uma vez ao redor do polígono e você terminará virado na direção original, o que significa que girou 360° no total. Cada giro corresponde ao ângulo externo daquele vértice; portanto, os ângulos externos — iguais ou não — precisam somar 360° em qualquer polígono convexo. Em um polígono regular, cada giro é igual aos demais, então cada ângulo externo vale simplesmente \(360° / n\), e ele sempre forma, com o ângulo interno correspondente, um par que soma 180°.
Qual é o erro mais comum em questões de ângulos internos?
Os deslizes mais frequentes são: usar \(n - 1\) ou \(n\) em vez de \(n - 2\) na fórmula da soma; dividir o total pelo número errado ao calcular cada ângulo; e aplicar a fórmula do polígono regular \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) a um polígono irregular, no qual os ângulos individuais são diferentes. Lembre-se também de que um polígono precisa de pelo menos 3 lados — não existe polígono de 2 lados.
Como descobrir o número de lados conhecendo apenas um ângulo interno?
Se o polígono for regular, iguale cada ângulo interno a \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) e resolva: \(n = \frac{180°}{180° - \alpha}\). Por exemplo, um ângulo interno de 150° dá \(n = 180/30 = 12\), um dodecágono. Uma verificação rápida: o ângulo interno de um polígono regular precisa estar estritamente entre 60° (triângulo) e 180°, e \(n\) precisa resultar em um número inteiro.