Calculadora de área de polígono regular
Calcule a área de qualquer polígono regular a partir do comprimento do lado, da apotema ou do circunraio. Informe o número de lados e uma dimensão conhecida para obter a área, o perímetro e os ângulos.
Calcule a área de um polígono regular
Área de polígono regular
Onde:
- \(n\) — número de lados (\(n \ge 3\))
- \(s\) — comprimento de um lado
- \(a\) — apotema (distância do centro ao ponto médio de um lado, ou seja, o raio da circunferência inscrita)
- \(R\) — circunraio (distância do centro a um vértice)
- \(P = n \cdot s\) — perímetro
- \(\pi \approx 3.14159\)
As três expressões dão a mesma área; use a que corresponde à dimensão que você conhece. A forma central, \(A = \tfrac{1}{2}Pa\), é o resultado clássico obtido ao dividir o polígono em \(n\) triângulos idênticos, cada um com base \(s\) e altura \(a\).
Área de polígono regular – Exemplo de cálculo
Exemplo: um hexágono regular com lado de 10 cm.
\[ a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)} = \frac{10}{2\tan(\pi/6)} = \frac{10}{2 \cdot 0.5774} \approx 8.660 \text{ cm} \]
\[ P = n \cdot s = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm} \]
\[ A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8.660 \approx 259.81 \text{ cm}^2 \]
Resultado: a área é de aproximadamente 259,81 cm². A calculadora também informa o circunraio \(R = 10\) cm e um ângulo interno de 120°.
Como usar a calculadora
- Informe o número de lados (n) — qualquer número inteiro de 3 (triângulo) até 10.000.
- Escolha a dimensão que você conhece no menu Grandeza conhecida: Comprimento do lado (s), Apotema (a) ou Circunraio (R). Apenas o campo correspondente permanece visível.
- Digite o valor no campo que aparecer — Comprimento do lado (s), Apotema (a) ou Circunraio (R) — e escolha a unidade (m, cm, mm, ft ou in).
- Leia os resultados: Área (na unidade quadrada correspondente), além de Perímetro, Comprimento do lado, Apotema, Circunraio, Ângulo interno e uma dedução passo a passo.
O que é um polígono regular?
Um polígono regular é uma figura fechada de lados retos em que todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos são iguais. Exemplos conhecidos são o triângulo equilátero (\(n=3\)), o quadrado (\(n=4\)), o pentágono regular (\(n=5\)) e o hexágono regular (\(n=6\)). Como todos os lados e ângulos coincidem, um polígono regular fica totalmente determinado por apenas dois números: o número de lados e uma dimensão linear.
A fórmula da área funciona fatiando o polígono em \(n\) triângulos congruentes que se encontram no centro. Cada triângulo tem base \(s\) (um lado do polígono) e altura \(a\) (a apotema), então sua área é \(\tfrac{1}{2}sa\). Multiplicando pelos \(n\) lados, obtém-se \(A = \tfrac{1}{2}nas = \tfrac{1}{2}Pa\). É a mesma lógica usada para chegar à área do círculo no limite: quando \(n\) fica muito grande, o polígono torna-se indistinguível de um círculo de raio \(R\), e a fórmula aproxima-se de \(\pi R^2\).
Duas dimensões derivadas merecem atenção. A apotema é o raio do círculo inscrito — o maior círculo que cabe dentro do polígono, tangenciando cada lado no seu ponto médio. O circunraio é o raio da circunferência circunscrita, que passa por todos os vértices. As três dimensões estão ligadas pelas identidades \(s = 2a\tan(\pi/n) = 2R\sin(\pi/n)\) e \(a = R\cos(\pi/n)\) — por isso a calculadora consegue deduzir todas elas a partir de qualquer uma.
O ângulo interno exibido nos resultados vem de \(\alpha = (n-2) \cdot 180°/n\). Ele é útil na construção civil, no assentamento de revestimentos e na marcenaria: por exemplo, um hexágono tem cantos de 120°, então você corta as peças a 60° em meia esquadria para uni-las.
Premissas, limitações e dicas
- Apenas polígonos regulares. As fórmulas dependem de todos os lados e ângulos serem iguais. Para um polígono irregular, divida-o em triângulos ou trapézios e some as áreas.
- Unidades devem ser coerentes. O seletor de unidades converte o valor digitado automaticamente, e a área é devolvida na unidade quadrada correspondente (por exemplo, cm → cm²). Se você calcular à mão, mantenha todos os comprimentos na mesma unidade antes de aplicar a fórmula.
- Escolha a dimensão que você realmente mediu. Na prática, costuma-se conhecer a distância entre faces (o dobro da apotema, quando \(n\) é par) ou o raio do círculo de furos (circunraio), e não o lado — escolha essa opção para evitar erros de arredondamento numa conversão intermediária.
- \(n\) grande. São aceitos valores até 10.000; para figuras assim, o resultado é praticamente a área de um círculo de raio \(R\), já que \(A \to \pi R^2\) quando \(n \to \infty\).
- Arredondamento. Os resultados são exibidos com três casas decimais. Os valores intermediários nos passos do cálculo são arredondados apenas para exibição, então uma conferência manual pode diferir no último dígito.
Perguntas frequentes
Como encontrar a área se só sei o perímetro?
Combine as fórmulas: como \(s = P/n\), a área é \(A = P^2 / (4n\tan(\pi/n))\). Por exemplo, um pentágono regular de perímetro 50 cm dá \(A = 2500 / (20\tan 36°) \approx 172.05\text{ cm}^2\). Digite o comprimento do lado \(s = P/n\) na calculadora para obter o mesmo resultado, junto com a apotema e os ângulos.
Por que meu cálculo manual dá um resultado diferente?
O erro mais comum é usar graus onde são exigidos radianos (ou vice-versa). A fórmula \(A = ns^2/(4\tan(\pi/n))\) espera a tangente de um ângulo em radianos. Se sua calculadora estiver no modo graus, use \(\tan(180°/n)\) em vez disso. Confira também se o número de lados e o comprimento do lado não estão trocados e se todos os comprimentos estão na mesma unidade antes de calcular.
Como usar a distância entre faces, como numa porca sextavada?
A distância entre faces é o dobro da apotema em polígonos com número par de lados. Meça-a, divida por 2 e informe esse valor como apotema \(a\). Para um hexágono com 20 mm entre faces, a apotema é 10 mm, e a calculadora devolve uma área de cerca de 259,81 mm². Usar a dimensão que você realmente mediu evita erros de arredondamento na conversão para o comprimento do lado feita por conta própria.
Existem fórmulas mais simples para formas comuns?
Sim. Um hexágono regular de lado \(s\) tem área \(\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 \approx 2.598\,s^2\). Um octógono regular tem área \(2(1+\sqrt{2})\,s^2 \approx 4.828\,s^2\). Um quadrado é simplesmente \(s^2\), e um triângulo equilátero, \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \approx 0.433\,s^2\). Todos são casos particulares da fórmula geral, então servem para uma verificação rápida de consistência.
Um polígono regular tem a maior área para um dado perímetro?
Entre todos os polígonos com o mesmo número de lados e o mesmo perímetro, sim — o regular é o que delimita a área máxima. Por isso a fórmula dá um limite superior: qualquer polígono irregular com os mesmos \(n\) e perímetro terá área menor. No limite, conforme o número de lados cresce, um polígono regular aproxima-se do círculo, que é a forma mais eficiente em área de todas.
Posso usar esta calculadora para polígonos irregulares ou círculos?
Não — as fórmulas só valem quando todos os lados e ângulos são iguais. Para um polígono irregular, divida-o em triângulos ou retângulos, calcule cada área separadamente e some-as; a fórmula do cadarço a partir das coordenadas dos vértices também funciona. Para um círculo, use \(A = \pi r^2\) diretamente. Um polígono regular com um número muito grande de lados praticamente equivale a um círculo, então digitar um \(n\) grande aproxima esse resultado.
Como conferir se o resultado faz sentido?
Compare a área do polígono com dois referenciais: o círculo inscrito \(\pi a^2\) é sempre um pouco menor, e o círculo circunscrito \(\pi R^2\) é sempre um pouco maior. Sua resposta deve ficar entre os dois e aproximar-se de ambos conforme \(n\) cresce. Verifique também o ângulo interno: ele deve ser menor que 180° e igual a \((n-2)\cdot 180°/n\) — por exemplo, 108° no pentágono e 135° no octógono.