Calculadora de Permutações e Combinações
Calcule permutações/arranjos (nPr), combinações (nCr) e fatoriais de imediato, com ou sem repetição. Introduza o número total de itens n, quantos escolhe r, e leia todos os resultados de uma vez.
Calcular Permutações e Combinações
Fórmula de Permutações e Combinações
onde:
- \(n\) — número total de itens distintos do conjunto
- \(r\) — número de itens escolhidos ou arranjados
- \(P(n, r)\) — número de seleções ordenadas (permutações, também chamadas arranjos \(A(n, r)\) ou variações \(V(n, r)\), ou nPr)
- \(C(n, r)\) — número de seleções não ordenadas (combinações, ou nCr)
- \(n!\) — fatorial de \(n\), o número de formas de arrumar todos os \(n\) itens numa fila
Uma permutação conta arrumações ordenadas: importa qual item vem primeiro, segundo, terceiro. Uma combinação conta seleções não ordenadas: só interessa o conjunto escolhido. Os dois estão ligados por \(P(n, r) = C(n, r) \cdot r!\), porque cada grupo não ordenado de \(r\) itens pode ser ordenado de \(r!\) maneiras. Quando a repetição é permitida, o mesmo item pode ser escolhido mais do que uma vez, o que altera ambas as fórmulas.
Permutações e Combinações – Exemplo de Cálculo
Exemplo: um clube com 10 membros tem de escolher um presidente, um secretário e um tesoureiro (três pessoas diferentes) e, em separado, quer saber quantas comissões de 3 pessoas poderia formar.
Atribuições ordenadas (permutações/arranjos):
\[ P(10, 3) = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]
Comissões não ordenadas (combinações):
\[ C(10, 3) = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{720}{6} = 120 \]
Arrumar os 10 membros todos numa fila:
\[ 10! = 3{,}628{,}800 \]
Resultado: há 720 maneiras de atribuir os três cargos, 120 comissões possíveis de 3 pessoas e 3.628.800 ordenações do clube inteiro. Note que \(720 = 120 \cdot 3!\), já que cada comissão pode distribuir os três cargos de \(3! = 6\) maneiras.
Como usar a calculadora
- Introduza o número total de itens (n) — o tamanho do conjunto completo (de 0 a 10.000).
- Introduza o número de itens escolhidos (r) — quantos itens seleciona ou arranja. Sem repetição, \(r\) não pode exceder \(n\); com repetição, pode.
- Escolha o modo de Repetição: "Sem repetição (todos os itens distintos)" para extrações sem reposição, ou "Com repetição (itens podem repetir-se)" para situações como lançamentos de dados, códigos PIN ou extrações com reposição.
- Leia os resultados: Permutações / Arranjos (nPr), Combinações (nCr), Permutações de todos os n itens (\(n!\)), além de um bloco de interpretação que mostra as quatro contagens lado a lado.
Permutações, combinações e arranjos explicados
Sempre que seleciona itens de um conjunto, duas perguntas determinam o número de que precisa. A ordem importa? E os itens podem repetir-se? Cruzando estas duas perguntas obtêm-se quatro problemas clássicos de contagem, e esta calculadora mostra os quatro para os seus valores, para que possa compará-los diretamente.
Se a ordem importa e os itens não se podem repetir, está a contar permutações \(P(n, r)\) — em muitos manuais europeus chamam-se arranjos \(A(n, r)\) ou variações \(V(n, r)\), que é exatamente o botão nPr de uma calculadora científica. Tem \(n\) escolhas para a primeira posição, \(n-1\) para a segunda, e assim sucessivamente até \(n-r+1\) para a última, o que dá \(n!/(n-r)\). Se a ordem não importa, cada grupo não ordenado foi contado \(r!\) vezes, pelo que divide por \(r!\) e obtém a combinação \(C(n, r)\). As combinações são sempre menores ou iguais às permutações para os mesmos \(n\) e \(r\), e a diferença cresce depressa: para \(n = 52, r = 5\) há cerca de 311 milhões de extrações ordenadas, mas apenas 2.598.960 mãos de pôquer distintas.
Com repetição, cada escolha é independente das anteriores, por isso a contagem ordenada é simplesmente \(n^r\): um PIN de 4 dígitos usa \(10^4 = 10{,}000\) códigos. A contagem não ordenada com repetição responde a uma pergunta mais subtil — quantos multiconjuntos de tamanho \(r\) podem ser construídos — e é igual a \(\binom{n+r-1}{r}\). Por exemplo, escolher 3 bolas de gelado de entre 10 sabores (repetições permitidas, ordem irrelevante) dá \(\binom{12}{3} = 220\) opções.
Finalmente, arrumar todos os \(n\) itens numa sequência dá \(n!\) permutações — o caso particular \(r = n\). O crescimento fatorial é extremamente rápido: \(10!\) já ultrapassa 3,6 milhões, e \(70!\) é maior do que o número de átomos no universo observável. Por isso, para valores grandes, a calculadora apresenta os resultados em notação científica, por exemplo \(5.47 \times 10^{157}\).
Pressupostos, limitações e dicas práticas
- Todos os itens são distintos. As fórmulas assumem que todos os itens são distinguíveis. Se o seu conjunto contém objetos idênticos (p. ex., as letras de uma palavra com letras repetidas), a fórmula de permutações padrão conta a mais; esses casos exigem a abordagem multinomial.
- O modo de repetição muda a interpretação. "Com repetição" significa que cada extração é independente (amostragem com reposição). Se está a modelar sorteios de lotaria, mãos de cartas ou seleções de comissões, use "sem repetição".
- \(r > n\) sem repetição é impossível e a calculadora avisa-o disso; com repetição é perfeitamente válido (pode lançar um dado 20 vezes embora ele tenha 6 faces).
- Casos-limite seguem as convenções padrão: \(P(n, 0) = C(n, 0) = 1\) (há exatamente uma maneira de não escolher nada) e \(0! = 1\).
- Números grandes. São suportados valores até 10.000, mas resultados com mais de cerca de 15 dígitos são apresentados como uma mantissa multiplicada por uma potência de dez, já que nenhum formato numérico padrão consegue guardar tais valores exatamente.
- Escolher a contagem certa. Pergunte a si próprio: "Se trocasse dois itens escolhidos, o resultado seria diferente?" Se sim, use permutações; se não, use combinações. E pergunte: "Podia escolher o mesmo item duas vezes?" Se sim, use as fórmulas com repetição.
Referência rápida: 10 itens, escolher 3
| Contagem | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Arranjos sem repetição (nPr) | \(\frac{n!}{(n-r)!}\) | 720 |
| Arranjos com repetição | \(n^r\) | 1.000 |
| Combinações sem repetição (nCr) | \(\frac{n!}{(n-r)!\,r!}\) | 120 |
| Combinações com repetição | \(\binom{n+r-1}{r}\) | 220 |
| Permutações de todos os itens | \(n!\) | 3.628.800 |
Esta tabela, que reflete o bloco de interpretação da calculadora para \(n = 10\), \(r = 3\), mostra o quanto a resposta depende de a ordem importar e de as repetições serem permitidas — o mesmo par de valores dá respostas que vão de 120 a 1.000.
Perguntas frequentes
Como calculo permutações e combinações à mão?
Cancele os fatoriais antes de multiplicar. Para as permutações, \(P(n,r) = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-r+1)\) — basta multiplicar os \(r\) fatores de topo do fatorial. Para as combinações, calcule \(P(n,r)\) e divida por \(r!\). Exemplo: \(C(8,3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\). Este atalho evita calcular fatoriais enormes como \(52!\) quando só precisa de uma pequena parte deles.
Porque é que a minha calculadora científica dá um erro para n grande?
As calculadoras de bolso transbordam rapidamente — a maioria não consegue tratar fatoriais acima de cerca de \(69!\), que já ultrapassa \(10^{99}\). Se o botão nPr ou nCr falhar, reduza a fração manualmente: escreva \(\frac{n!}{(n-r)!}\) como um produto de apenas \(r\) termos, ou use a simetria \(C(n,r) = C(n, n-r)\) para que o menor de \(r\) e \(n-r\) apareça na fórmula. Esta calculadora trata valores até \(n = 10{,}000\) usando logaritmos.
Como conto arrumações quando alguns itens são idênticos?
As fórmulas padrão assumem que todos os itens são distintos, por isso contam a mais quando os objetos se repetem. Para uma palavra como ANANÁS (7 letras, mas A aparece 3 vezes e N 2 vezes — no original inglês, LEVEL, com L duas vezes e E duas vezes), a contagem seria \(\frac{7!}{3! \cdot 2!} = 420\) e não \(7! = 5040\); de forma análoga, para LEVEL obtém-se \(\frac{5!}{2! \cdot 2!} = 30\), e não \(5! = 120\). Em geral, arrumam-se \(n\) itens em que uma letra se repete \(a\) vezes, outra \(b\) vezes, e assim sucessivamente, usando \(\frac{n!}{a!\,b!\,\cdots}\). Esta é a abordagem multinomial.
Porque é que 0! é igual a 1 e o que significa escolher zero itens?
Ambos são convenções que mantêm as fórmulas consistentes. Há exatamente uma maneira de arrumar um conjunto vazio (não fazer nada), logo \(0! = 1\). Do mesmo modo, \(P(n,0) = C(n,0) = 1\): há exatamente uma maneira de não selecionar nada — a seleção vazia. Por isso a calculadora devolve 1, e não 0, para estes valores. Note também a simetria \(C(n,r) = C(n,n-r)\): escolher o que manter é o mesmo que escolher o que deixar de fora.
Quais são situações reais típicas para cada uma das quatro contagens?
Permutações sem repetição: lugares no pódio de uma corrida, atribuição de cargos distintos, ordens de sentar. Combinações sem repetição: números de lotaria, mãos de pôquer, membros de uma comissão. Permutações com repetição: códigos PIN, matrículas, sequências de lançamentos de dados. Combinações com repetição: escolher bolas de gelado ou donuts em que duplicados são permitidos e a ordem não importa — um multiconjunto. Fazer corresponder o seu problema a um destes quatro é o passo-chave.
Qual é o erro mais comum ao usar estas fórmulas?
O erro clássico é usar permutações onde se aplicam combinações, inflando a resposta num fator de \(r!\). Teste rápido: troque dois dos itens escolhidos — se o resultado muda (medalha de ouro vs. medalha de prata), a ordem importa; se não muda (uma mão de cartas), use combinações. O segundo erro mais comum é esquecer-se de verificar se as repetições são permitidas: um PIN de 4 dígitos tem \(10^4\) possibilidades porque os dígitos se repetem, enquanto um sorteio de lotaria não.
Como uso isto para encontrar as probabilidades da lotaria?
Conte as extrações possíveis com combinações: para uma lotaria de 6 em 49, \(C(49,6) = 13{,}983{,}816\), pelo que um único bilhete tem uma hipótese de 1 em 13,98 milhões de acertar nos seis números. Se a lotaria extraísse os números numa ordem específica, precisaria em vez disso de \(P(49,6)\), que é \(6! = 720\) vezes maior. Note que estas são as probabilidades de ganhar, não de ter lucro — os prémios esperados são normalmente muito inferiores ao preço do bilhete.