Calculateur d'aire d'un polygone régulier

Q: Comment calculer l'aire si je ne connais que le périmètre ?

Combinez les formules : comme s = P/n, l'aire vaut A = P^2 / (4ntan(π/n)). Par exemple, un pentagone régulier de périmètre 50 cm donne A = 2500 / (20tan 36°) ≈ 172,05 cm^2. Saisissez la longueur du côté s = P/n dans le calculateur pour obtenir le même résultat, accompagné de l'apothème et des angles.

Q: Existe-t-il des formules plus simples pour les formes courantes ?

Oui. Un hexagone régulier de côté s a pour aire frac3√(3)2s^2 ≈ 2,598 s^2. Un octogone régulier a pour aire 2(1+√(2)) s^2 ≈ 4,828 s^2. Un carré donne simplement s^2 et un triangle équilatéral frac√(3)4s^2 ≈ 0,433 s^2. Ce sont tous des cas particuliers de la formule générale, utiles pour des vérifications rapides.

Mis à jour : 15.10.2026

Calculez l'aire de n'importe quel polygone régulier à partir de la longueur d'un côté, de l'apothème ou du rayon du cercle circonscrit. Saisissez le nombre de côtés et une dimension connue pour obtenir l'aire, le périmètre et les angles.

Calculer l'aire d'un polygone régulier

Aire d'un polygone régulier

Formule

\[ A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)} = \frac{1}{2}\,P\,a = \frac{1}{2}\,n\,R^2\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]

Où :

\(n\) — nombre de côtés (\(n \ge 3\))
\(s\) — longueur d'un côté
\(a\) — apothème (distance du centre au milieu d'un côté, c'est-à-dire le rayon du cercle inscrit)
\(R\) — rayon du cercle circonscrit (distance du centre à un sommet)
\(P = n \cdot s\) — périmètre
\(\pi \approx 3{,}14159\)

Ces trois expressions donnent la même aire ; utilisez celle qui correspond à la dimension que vous connaissez. La forme centrale, \(A = \tfrac{1}{2}Pa\), est le résultat classique obtenu en décomposant le polygone en \(n\) triangles identiques, chacun ayant pour base \(s\) et pour hauteur \(a\).

Aire d'un polygone régulier – Exemple de calcul

Exemple : un hexagone régulier dont le côté mesure 10 cm.

\[ a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)} = \frac{10}{2\tan(\pi/6)} = \frac{10}{2 \cdot 0{,}5774} \approx 8{,}660 \text{ cm} \]

\[ P = n \cdot s = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm} \]

\[ A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 8{,}660 \approx 259{,}81 \text{ cm}^2 \]

Résultat : l'aire est d'environ 259,81 cm². Le calculateur indique également un rayon de cercle circonscrit \(R = 10\) cm et un angle intérieur de 120°.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez le Nombre de côtés (n) — n'importe quel nombre entier de 3 (triangle) jusqu'à 10 000.
Choisissez la dimension que vous connaissez dans le menu déroulant Grandeur connue : Longueur du côté (s), Apothème (a) ou Rayon du cercle circonscrit (R). Seul le champ de saisie correspondant reste visible.
Saisissez la valeur dans le champ qui apparaît — Longueur du côté (s), Apothème (a) ou Rayon du cercle circonscrit (R) — et choisissez son unité (m, cm, mm, ft ou in).
Lisez les résultats : l'Aire (dans l'unité carrée correspondante), ainsi que le Périmètre, la Longueur du côté, l'Apothème, le Rayon du cercle circonscrit, l'Angle intérieur et le déroulé du calcul étape par étape.

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est une figure fermée à côtés rectilignes dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles intérieurs sont égaux. Parmi les exemples courants figurent le triangle équilatéral (\(n=3\)), le carré (\(n=4\)), le pentagone régulier (\(n=5\)) et l'hexagone régulier (\(n=6\)). Comme tous les côtés et tous les angles concordent, un polygone régulier est entièrement déterminé par seulement deux nombres : le nombre de côtés et une dimension linéaire.

La formule de l'aire consiste à découper le polygone en \(n\) triangles superposables qui se rejoignent au centre. Chaque triangle a pour base \(s\) (un côté du polygone) et pour hauteur \(a\) (l'apothème), donc son aire vaut \(\tfrac{1}{2}sa\). En multipliant par les \(n\) côtés, on obtient \(A = \tfrac{1}{2}na s = \tfrac{1}{2}Pa\). C'est la même logique qui permet de retrouver l'aire du cercle à la limite : quand \(n\) devient très grand, le polygone devient indiscernable d'un cercle de rayon \(R\) et la formule tend vers \(\pi R^2\).

Deux dimensions dérivées méritent d'être comprises. L'apothème est le rayon du cercle inscrit — le plus grand cercle que l'on peut loger dans le polygone, tangent à chaque côté en son milieu. Le rayon du cercle circonscrit est le rayon du cercle qui passe par tous les sommets. Les trois dimensions sont reliées par les identités \(s = 2a\tan(\pi/n) = 2R\sin(\pi/n)\) et \(a = R\cos(\pi/n)\), c'est pourquoi le calculateur peut toutes les déduire à partir d'une seule.

L'angle intérieur affiché dans les résultats provient de la formule \(\alpha = (n-2) \cdot 180°/n\). Il est utile en construction, en carrelage et en menuiserie : par exemple, un hexagone a des angles de 120°, il faut donc couper les planches à 60° en onglet pour les assembler.

Hypothèses, limites et conseils

Polygones réguliers uniquement. Les formules supposent que tous les côtés et tous les angles sont égaux. Pour un polygone irrégulier, décomposez-le en triangles ou en trapèzes et additionnez les aires.
Unités cohérentes obligatoires. Le menu des unités convertit automatiquement la saisie et l'aire est renvoyée dans l'unité carrée correspondante (par ex. cm → cm²). Si vous calculez à la main, exprimez toutes les longueurs dans la même unité avant d'appliquer la formule.
Choisissez la dimension que vous avez réellement mesurée. En pratique, on connaît souvent l'entre-flats (le double de l'apothème, pour \(n\) pair) ou le rayon du cercle des trous de fixation (rayon circonscrit) plutôt qu'un côté — sélectionnez cette option pour éviter les erreurs d'arrondi dues à une conversion intermédiaire.
Valeurs élevées de \(n\). Les valeurs vont jusqu'à 10 000 ; pour de telles figures, le résultat correspond pratiquement à l'aire d'un cercle de rayon \(R\), puisque \(A \to \pi R^2\) quand \(n \to \infty\).
Arrondi. Les résultats sont affichés avec trois décimales. Les valeurs intermédiaires des étapes de calcul sont arrondies pour l'affichage : une vérification à la main peut donc différer sur le dernier chiffre.

Questions fréquentes

Comment calculer l'aire si je ne connais que le périmètre ?

Combinez les formules : comme \(s = P/n\), l'aire vaut \(A = P^2 / (4n\tan(\pi/n))\). Par exemple, un pentagone régulier de périmètre 50 cm donne \(A = 2500 / (20\tan 36°) \approx 172{,}05\text{ cm}^2\). Saisissez la longueur du côté \(s = P/n\) dans le calculateur pour obtenir le même résultat, accompagné de l'apothème et des angles.

Pourquoi mon calcul à la main donne-t-il un résultat différent ?

L'erreur la plus fréquente consiste à utiliser des degrés là où il faut des radians (ou l'inverse). La formule \(A = ns^2/(4\tan(\pi/n))\) attend la tangente d'un angle en radians. Si votre calculatrice est en mode degrés, utilisez plutôt \(\tan(180°/n)\). Vérifiez également que le nombre de côtés et la longueur du côté ne sont pas inversés, et que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité avant de calculer.

Comment utiliser l'entre-flats, comme sur un écrou hexagonal ?

Pour les polygones ayant un nombre pair de côtés, l'entre-flats est le double de l'apothème. Mesurez-le, divisez-le par 2 et saisissez cette valeur comme apothème \(a\). Pour un hexagone avec un entre-flats de 20 mm, l'apothème vaut 10 mm et le calculateur renvoie une aire d'environ 259,81 mm². Utiliser la dimension que vous avez réellement mesurée évite les erreurs d'arrondi liées à sa conversion en longueur de côté.

Existe-t-il des formules plus simples pour les formes courantes ?

Oui. Un hexagone régulier de côté \(s\) a pour aire \(\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2 \approx 2{,}598\,s^2\). Un octogone régulier a pour aire \(2(1+\sqrt{2})\,s^2 \approx 4{,}828\,s^2\). Un carré donne simplement \(s^2\) et un triangle équilatéral \(\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 \approx 0{,}433\,s^2\). Ce sont tous des cas particuliers de la formule générale, utiles pour des vérifications rapides.

Un polygone régulier a-t-il la plus grande aire pour un périmètre donné ?

Parmi tous les polygones ayant le même nombre de côtés et le même périmètre, oui — c'est le polygone régulier qui délimite l'aire maximale. C'est pourquoi la formule fournit une borne supérieure : tout polygone irrégulier de même \(n\) et de même périmètre aura une aire plus petite. À la limite, lorsque le nombre de côtés augmente, le polygone régulier tend vers le cercle, qui est la forme la plus économe en périmètre pour une aire donnée.

Puis-je utiliser ce calculateur pour des polygones irréguliers ou des cercles ?

Non — les formules ne sont valables que si tous les côtés et tous les angles sont égaux. Pour un polygone irrégulier, décomposez-le en triangles ou en rectangles, calculez chaque aire séparément puis additionnez-les ; la formule du lacet à partir des coordonnées des sommets fonctionne aussi. Pour un cercle, utilisez directement \(A = \pi r^2\). Un polygone régulier avec un très grand nombre de côtés est presque un cercle : saisir un \(n\) élevé en donne donc une bonne approximation.

Comment vérifier rapidement le résultat ?

Comparez l'aire du polygone à deux valeurs de référence : le cercle inscrit \(\pi a^2\), toujours légèrement plus petit, et le cercle circonscrit \(\pi R^2\), toujours légèrement plus grand. Votre résultat doit se situer entre les deux et s'en approcher à mesure que \(n\) augmente. Vérifiez aussi l'angle intérieur : il doit être inférieur à 180° et égal à \((n-2)\cdot 180°/n\) — par exemple 108° pour un pentagone et 135° pour un octogone.