Calculadora de MDC – Máximo Divisor Comum

Q: Posso calcular o MMC a partir do MDC?

Para dois inteiros diferentes de zero, sim: MMC(a,b)=|ab|/MDC(a,b). Ao calcular à mão, faça a divisão antes da multiplicação para manter os números intermediários menores. Não aplique essa fórmula ao produto de três ou mais números usando o MDC geral; em geral, o MMC resultante estaria errado. Em vez disso, combine os números dois a dois.

Atualizado: 20 outubro 2026

Encontre o máximo divisor comum de 2 a 10 inteiros, junto com o mínimo múltiplo comum, as fatorações em números primos e as etapas da divisão euclidiana. Digite os números separados por vírgulas ou espaços.

Encontre o máximo divisor comum de 2 a 10 números inteiros

Fórmula do MDC

Fórmula

\[\operatorname{MDC}(n_1,\ldots,n_k)=\prod_{p}p^{\min\left(v_p(|n_1|),\ldots,v_p(|n_k|)\right)}\]

Onde:

\(n_1,\ldots,n_k\) — os inteiros informados.
\(p\) — um número primo que divide pelo menos um dos números.
\(v_p(|n_i|)\) — o expoente de \(p\) na fatoração em primos de \(|n_i|\); ele vale 0 se \(p\) não dividir \(|n_i|\).

O MDC contterapeuta

O MDC contém apenas os primos presentes em todos os números, cada um elevado ao seu menor expoente. Se nenhum primo for comum a todos, o produto é 1.

MDC – Exemplo de cálculo

Exemplo: encontre o MDC dos inteiros padrão da calculadora: 48, 180 e 300.

Fatore cada número e conserve a menor potência de cada primo comum:

\[48=2^4\times3,\qquad180=2^2\times3^2\times5,\qquad300=2^2\times3\times5^2\]

\[\operatorname{MDC}(48,180,300)=2^{\min(4,2,2)}\times3^{\min(1,2,1)}=2^2\times3=12\]

Para o primeiro par, a divisão euclidiana dá \(180=48\times3+36\), \(48=36\times1+12\) e \(36=12\times3+0\). O MDC do par é 12; calculando o MDC de 12 e 300, o resultado continua 12.

Resultado: MDC = 12. A calculadora também informa MMC = 3.600 e “Não” para primos entre si.

Como usar a calculadora

No campo Inteiros, digite de 2 a 10 inteiros diferentes de zero, separados por vírgulas ou espaços. Por exemplo, digite 48, 180, 300 ou 48 180 300.
Consulte Máximo divisor comum (MDC) para ver o maior inteiro positivo que divide todos os valores sem deixar resto.
Veja o Mínimo múltiplo comum (MMC), o menor múltiplo positivo comum a todos os valores. Os números são primos entre si? responde “Sim” quando o MDC geral é 1.
Use as etapas da divisão euclidiana para o primeiro par para ver como o cálculo do MDC começa. Os demais resultados mostram a fatoração em números primos de cada número e os primos comuns com seus menores expoentes, que formam o MDC final.

O que significa máximo divisor comum

O máximo divisor comum, também chamado de maior fator comum, é o maior número inteiro positivo que divide exatamente todos os inteiros dados. Para 48, 180 e 300, esse número é 12: todos são divisíveis por 12, e nenhum inteiro positivo maior divide os três ao mesmo tempo. O MDC é útil para simplificar frações, dividir quantidades em grupos iguais sem sobras ou identificar uma unidade de medida comum.

O método da fatoração em primos deixa o resultado visível. Um primo só entra no MDC se estiver presente em todos os números, e seu expoente deve ser o menor encontrado entre eles. No exemplo, os três números contêm 2 e 3, enquanto 5 não aparece em 48. Conservando \(2^2\) e \(3^1\), obtemos 12. Para examinar os fatores de um número com mais detalhes, use a Calculadora de Fatoração em Números Primos; o Verificador de Números Primos ajuda a confirmar um fator específico.

O algoritmo de Euclides chega à mesma resposta sem precisar das fatorações. Divida o maior dos dois primeiros valores absolutos pelo menor e repita a operação com o divisor e o resto. O último resto diferente de zero é o MDC do par. Para mais de dois números, calcule o MDC desse resultado com o número seguinte, e assim por diante. A calculadora mostra as etapas de divisão apenas do primeiro par; o MDC final considera todos os números.

Um MDC geral igual a 1 significa que os números são primos entre si como grupo. Isso não implica que todo par seja primo entre si: 6, 10 e 15 têm MDC geral 1, embora cada par compartilhe um fator. Essa propriedade também é relevante ao se trabalhar com o inverso multiplicativo módulo um número, caso em que os dois inteiros precisam ter MDC igual a 1.

Limites de entrada e dicas

Digite no mínimo 2 e no máximo 10 inteiros. Zero, números decimais e frações não são aceitos. O valor absoluto de cada número deve ser no máximo 1.000.000.000.000.
Sinais negativos são permitidos. A calculadora usa valores absolutos, portanto mudar o sinal de um número não altera o MDC nem o MMC. Os dois valores informados são positivos.
Os números 1 e −1 são permitidos e não têm fatores primos. Se um deles aparecer entre os números digitados, o MDC geral é 1.
Não confunda MDC com MMC. O MDC divide todos os números digitados; o MMC é divisível por todos eles. Mesmo com o limite por número, o MMC de vários números pode ser muito maior do que qualquer um deles.

Perguntas frequentes

Como encontrar o MDC à mão sem usar fatoração em primos?

Para números pequenos, liste os divisores positivos de cada número e escolha o maior presente em todas as listas. Por exemplo, os divisores comuns de 18 e 30 são 1, 2, 3 e 6, então o MDC é 6. Listar divisores fica cansativo para números grandes; divisões sucessivas com resto costumam ser mais rápidas.

Como usar o MDC para simplificar uma fração?

Divida o numerador e o denominador pelo MDC deles. Por exemplo, o MDC de 42 e 56 é 14, então \(42/56=(42\div14)/(56\div14)=3/4\). O numerador e o denominador resultantes não têm fator comum maior que 1, ou seja, a fração está na forma irredutível. Mantenha o sinal negativo com a fração, em vez de tratá-lo como um fator.

Posso calcular o MMC a partir do MDC?

Para dois inteiros diferentes de zero, sim: \(\operatorname{MMC}(a,b)=|ab|/\operatorname{MDC}(a,b)\). Ao calcular à mão, faça a divisão antes da multiplicação para manter os números intermediários menores. Não aplique essa fórmula ao produto de três ou mais números usando o MDC geral; em geral, o MMC resultante estaria errado. Em vez disso, combine os números dois a dois.

Num problema de agrupamento, o MDC dá o número de grupos ou o tamanho de cada grupo?

Depende do que precisa ser igual. Se 24 contas vermelhas e 36 contas azuis devem ser repartidas no maior número possível de grupos idênticos, o MDC, 12, é o número de grupos; cada grupo fica então com 2 contas vermelhas e 3 azuis. Se você quer cortar comprimentos em pedaços iguais do maior tamanho possível, sem desperdício, o MDC dá o tamanho de cada pedaço.

O que acontece se um dos números for zero?

Esta calculadora não aceita zero, mas a convenção matemática usual é \(\operatorname{MDC}(0,a)=|a|\) quando \(a\ne0\): todo divisor positivo de \(a\) também divide zero. O MDC de zero e zero não tem maior valor positivo, por isso costuma ficar indefinido. Nesta calculadora, remova o zero apenas se isso ainda representar o problema que você quer resolver.

Como encontrar um passo de medição comum para valores decimais?

Converta todos os valores para a mesma unidade e transforme-os em inteiros primeiro. Para medidas de 1,2 cm e 0,8 cm registradas com uma casa decimal, multiplique ambas por 10, calcule \(\operatorname{MDC}(12,8)=4\) e depois divida por 10. O maior passo comum nessa precisão é 0,4 cm. A resposta depende da precisão escolhida para as medidas.

Quando o MDC é igual ao menor número digitado?

O MDC é igual ao menor valor absoluto quando esse número divide todos os outros exatamente. Por exemplo, o MDC de 8, 24 e 40 é 8. Repetir um número não altera o MDC, portanto o MDC de 8, 8 e 24 também é 8. O MDC nunca pode superar o menor valor absoluto dado.