Калькулятор скалярного произведения векторов в 3D

Как пользоваться калькулятором

1. Введите координаты X, Y и Z первого вектора в поля Вектор V1 - X, Вектор V1 - Y и Вектор V1 - Z.
2. Введите координаты X, Y и Z второго вектора в поля Вектор V2 - X, Вектор V2 - Y и Вектор V2 - Z.
3. Скалярное произведение вычисляется автоматически по мере ввода — никакую кнопку нажимать не нужно.
4. Все шесть полей принимают десятичные значения, включая отрицательные координаты, поэтому векторы, направленные в противоположные стороны, обрабатываются корректно.

Что такое скалярное произведение 3D-векторов?

Скалярное произведение, также называемое dot-произведением, — это один из двух основных способов перемножения векторов. В отличие от векторного произведения, которое даёт новый вектор, скалярное произведение «сворачивает» два вектора в одно число. Оно показывает, насколько два вектора направлены в одну сторону: чем лучше они совпадают по направлению, тем больше положительный результат; если они перпендикулярны, результат равен нулю; если направлены в противоположные стороны — результат отрицательный.

Поскольку \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta \), скалярное произведение — стандартный инструмент для нахождения угла между двумя векторами в пространстве. Преобразовав формулу, получаем \( \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} \), где модули вычисляются по формуле модуля трёхмерного вектора \( |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \) — этот шаг можно выполнить в нашем калькуляторе модуля 3D-вектора.

Скалярное произведение встречается повсюду в физике и вычислительных науках. В механике работа постоянной силы — это скалярное произведение силы и перемещения: \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \). В 3D-графике оно используется в моделях освещения и затенения, поскольку яркость поверхности зависит от угла между направлением света и нормалью к поверхности. Оно также применяется для проверки ортогональности двух направляющих векторов — нулевое скалярное произведение является самым быстрым тестом на перпендикулярность.

Если вы работаете только с векторами на плоскости, та же операция с двумя координатами реализована в нашем калькуляторе скалярного произведения 2D-векторов, а угол между двумя 2D-векторами можно найти с помощью калькулятора угла между 2D-векторами.

Как интерпретировать результат

• Положительный результат — угол между векторами меньше 90°; они направлены в целом в одну сторону.
• Нулевой результат — векторы перпендикулярны (ортогональны), либо хотя бы один из них — нулевой вектор.
• Отрицательный результат — угол больше 90°; векторы направлены в целом в противоположные стороны.
• Большое по модулю значение — векторы длинные и хорошо сонаправлены; значение растёт с увеличением обоих модулей, поэтому напрямую сравнивать скалярные произведения имеет смысл только для векторов схожей длины.

Допущения и ограничения

Калькулятор предполагает, что оба вектора заданы в одной и той же правой декартовой системе координат в одних и тех же единицах измерения. Смешение координат из разных систем отсчёта или разных единиц измерения даст бессмысленное число.

Скалярное произведение коммутативно в том смысле, что оно симметрично: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \), поэтому порядок ввода не важен. Однако само по себе оно не даёт угол: чтобы восстановить \(\theta\), нужны ещё и модули обоих векторов. Если хотя бы один из векторов нулевой, результат всегда равен 0 независимо от направления.

Для комбинирования векторов другими способами — например, сложения координат перед умножением — вам может пригодиться калькулятор сложения 2D-векторов для случая на плоскости.