Калькулятор среднего гармонического
Введите два и более положительных числа — и калькулятор вычислит их среднее гармоническое: величину, обратную среднему арифметическому обратных значений. Идеально подходит для усреднения темпов и скоростей.
Вычислить среднее гармоническое чисел
Формула среднего гармонического
Где:
- \(H\) — среднее гармоническое
- \(n\) — количество значений
- \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — отдельные значения; каждое должно быть положительным и не равным нулю
Формула делит количество значений на сумму их обратных величин. Иначе говоря, это величина, обратная среднему арифметическому обратных значений — именно поэтому меньшим значениям придается больший вес.
Среднее гармоническое — пример расчёта
Пример: вы дважды проезжаете одно и то же расстояние — сначала со скоростью 10 км/ч, затем 20 км/ч — и хотите узнать среднюю скорость за всю поездку.
\[ H = \frac{2}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20}} = \frac{2}{0.1 + 0.05} = \frac{2}{0.15} \approx 13.33 \]
Результат: среднее гармоническое чисел 10 и 20 равно примерно 13,33 км/ч, а не 15, как ошибочно подсказало бы среднее арифметическое.
Как пользоваться калькулятором
- Укажите, сколько значений хотите усреднить, в поле Количество значений (минимум 2). Дополнительные поля ввода появятся автоматически.
- Введите свои положительные числа в поля Число 1, Число 2 и так далее.
- Результат мгновенно появится в поле Среднее значение — нажимать кнопку не нужно.
- Если какое-либо значение равно нулю или отрицательно, калькулятор покажет ошибку, поскольку среднее гармоническое определено только для положительных чисел.
Что такое среднее гармоническое?
Среднее гармоническое — одно из трёх классических пифагоровых средних наряду со средним арифметическим и средним геометрическим. Для любого набора положительных чисел всегда выполняется соотношение:
\[ H \leq G \leq A \]
причём равенство достигается, только когда все значения одинаковы. На практике среднее гармоническое является правильным «средним» всякий раз, когда усредняемые величины выражены как темпы — то есть как нечто на единицу чего-либо другого: километры в час, литры на 100 км, единицы продукции в час.
Классическая иллюстрация — средняя скорость. Если вы проезжаете 100 км со скоростью 60 км/ч, а следующие 100 км — со скоростью 40 км/ч, истинная средняя скорость равна не 50 км/ч, а среднему гармоническому \(2/(1/60 + 1/40) = 48\) км/ч, потому что на меньшей скорости вы проводите больше времени. Всякий раз, когда каждое значение относится к одному и тому же расстоянию, объёму или объёму работы, именно среднее гармоническое, а не арифметическое, даёт верный общий темп.
Поскольку малые значения дают непропорционально большие обратные величины, среднее гармоническое тяготеет к наименьшим значениям и устойчиво к очень большим выбросам. Это свойство используется в финансах при усреднении коэффициентов цена/прибыль портфеля, в машинном обучении — в метрике F1 (среднем гармоническом точности и полноты), а в электротехнике — при расчёте параллельно соединённых резисторов.
Допущения, ограничения и советы
- Все значения должны быть положительными. Даже один ноль или отрицательное число делает среднее гармоническое неопределённым — калькулятор отклонит такой ввод.
- Используйте его для темпов, а не для количеств. Если вы усредняете цены, веса или оценки напрямую, обычно правильным выбором будет среднее арифметическое или средневзвешенное.
- Предполагается равный вес. Каждое значение учитывается одинаково. Если ваши темпы относятся к разным расстояниям или объёмам, потребуется взвешенное среднее гармоническое.
- Одно крайне малое значение dominates. Среднее гармоническое чисел \(1, 100, 100\) равно примерно 2,94, а вовсе не около 67. Убедитесь, что единственное крошечное значение действительно относится к вашим данным.
- Чтобы сравнить все три классических средних на одних и тех же данных — или поработать со средним квадратическим, используемым в статистике, — попробуйте калькулятор среднего квадратического (RMS).
Среднее гармоническое и другие средние
| Среднее | Что подходит лучше всего | Пример применения |
|---|---|---|
| Среднее гармоническое | Темпы на равных единицах (скорость, эффективность) | Средняя скорость на равных отрезках пути |
| Среднее геометрическое | Мультипликативные данные, темпы роста | Средняя доходность инвестиций за несколько лет |
| Среднее арифметическое | Аддитивные величины | Средний балл по тестам |
| Среднее квадратическое (RMS) | Данные, колеблющиеся вокруг нуля | Действующее напряжение переменного сигнала |
Смежное практическое применение — расчёт времени, за которое два человека выполнят работу вместе: в его основе лежит, по существу, вычисление среднего гармонического.
Часто задаваемые вопросы
Как вычислить среднее гармоническое вручную?
Посчитайте количество значений, возьмите обратную величину каждого (переверните его: 1 разделить на значение), сложите эти обратные величины, а затем разделите количество значений на эту сумму. Например, для 4, 6 и 12: обратные величины равны 0,25, 0,167 и 0,083, их сумма равна 0,5, и \(3 / 0.5 = 6\). Всегда проверяйте, что результат не больше вашего наименьшего значения — так быть не должно никогда.
Есть ли краткая формула среднего гармонического двух чисел?
Да. Для двух значений \(a\) и \(b\) среднее гармоническое равно \(\frac{2ab}{a+b}\). Например, для 30 и 60: \(2 \times 30 \times 60 / (30 + 60) = 3600/90 = 40\). Эта краткая формула удобна в задачах о средней скорости, например при поездке туда и обратно с двумя разными скоростями на одном и том же расстоянии.
Когда среднее гармоническое является «хорошим» или типичным значением?
Универсально «хорошего» диапазона не существует — всё зависит от ваших данных. Полезная проверка на здравый смысл — соотношение \(H \leq G \leq A\): среднее гармоническое всегда меньше или равно среднему геометрическому и арифметическому, причём равенство возможно, только когда все значения одинаковы. Если ваш результат превышает среднее арифметическое, где-то в расчётах допущена ошибка.
Что делать, если мои темпы относятся к разным расстояниям или объёмам?
Вам потребуется взвешенное среднее гармоническое: \(H = \frac{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}}\), где каждый вес \(w\) — это расстояние, объём или объём работы, к которому относится данный темп. Невзвешенный вариант на этой странице предполагает, что каждое значение имеет одинаковый вес, что верно лишь тогда, когда лежащие в основе единицы совпадают.
Почему нельзя вводить ноль или отрицательные числа?
Формула делит на сумму обратных величин, а обратная величина нуля не определена — поэтому даже один ноль ломает весь расчёт. Отрицательные значения также разрушают математику: суммы обратных величин могут стать нулевыми или отрицательными, давая бессмысленные или отрицательные результаты. Если ваши данные содержат нули или отрицательные числа, среднее гармоническое — неподходящий инструмент; используйте среднее арифметическое или геометрическое (после обработки отрицательных значений).
Какая ошибка при усреднении скоростей самая распространённая?
Использование среднего арифметического, когда каждая скорость относится к одному и тому же расстоянию. Если один отрезок пути вы едете со скоростью 80 км/ч, а равный отрезок — 40 км/ч, истинная средняя скорость равна 53,33 км/ч, а не 60. Среднее арифметическое верно лишь тогда, когда каждая скорость действует одинаковое время. Задайте себе вопрос: я уравниваю время или расстояние? Это и определяет, какое среднее использовать.
Как среднее гармоническое связано с параллельными резисторами?
Для двух резисторов общее сопротивление при параллельном соединении равно половине среднего гармонического их значений: \(R_{total} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\). В более общем виде складываются проводимости (1/R) — точно так же, как обратные величины в формуле среднего гармонического. Для двух одинаковых резисторов результат равен половине одного резистора — удобный способ проверить свои расчёты в электронике.