Calculateur de moyenne harmonique
Saisissez au moins deux nombres positifs : ce calculateur donne leur moyenne harmonique, c’est-à-dire l’inverse de la moyenne de leurs inverses, idéale pour calculer la moyenne de taux et de vitesses.
Calculer la moyenne harmonique de nombres
Formule de la moyenne harmonique
Où :
- \(H\) — la moyenne harmonique
- \(n\) — le nombre de valeurs
- \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — les valeurs individuelles, chacune devant être positive et non nulle
La formule divise le nombre de valeurs par la somme de leurs inverses. Autrement dit, il s’agit de l’inverse de la moyenne arithmétique des inverses, ce qui explique pourquoi elle accorde davantage de poids aux petites valeurs.
Moyenne harmonique : exemple de calcul
Exemple : vous parcourez deux fois la même distance, d’abord à 10 km/h, puis à 20 km/h, et souhaitez connaître votre vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet.
\[ H = \frac{2}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20}} = \frac{2}{0.1 + 0.05} = \frac{2}{0.15} \approx 13.33 \]
Résultat : la moyenne harmonique de 10 et 20 est d’environ 13,33 km/h, et non de 15 km/h, comme le laisserait penser à tort la moyenne arithmétique.
Comment utiliser le calculateur
- Indiquez combien de valeurs vous souhaitez prendre en compte dans le champ Nombre de valeurs (au moins 2). Des champs de saisie supplémentaires apparaissent automatiquement.
- Saisissez vos nombres positifs dans Nombre 1, Nombre 2, et ainsi de suite.
- Le résultat apparaît immédiatement dans le champ Moyenne, sans qu’il soit nécessaire de cliquer sur un bouton.
- Si une valeur est nulle ou négative, le calculateur affiche une erreur, car la moyenne harmonique n’est définie que pour les nombres positifs.
Qu’est-ce que la moyenne harmonique ?
La moyenne harmonique est l’une des trois moyennes pythagoriciennes classiques, avec la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. Pour tout ensemble de nombres positifs, elles respectent toujours l’ordre suivant :
\[ H \leq G \leq A \]
Il n’y a égalité que lorsque toutes les valeurs sont identiques. En pratique, la moyenne harmonique est la moyenne adaptée lorsque les grandeurs combinées sont exprimées sous forme de taux, c’est-à-dire comme une quantité par unité d’une autre, par exemple des kilomètres par heure, des litres pour 100 km ou des unités produites par heure.
La vitesse moyenne en est l’exemple classique. Si vous parcourez 100 km à 60 km/h, puis les 100 km suivants à 40 km/h, votre vitesse moyenne réelle n’est pas de 50 km/h, mais la moyenne harmonique \(2/(1/60 + 1/40) = 48\) km/h, car vous passez plus de temps à la vitesse la plus faible. Lorsque chaque valeur s’applique à la même distance, au même volume ou à la même quantité de travail, c’est la moyenne harmonique, et non la moyenne arithmétique, qui donne le taux global correct.
Comme les petites valeurs ont des inverses disproportionnellement grands, elles tirent la moyenne harmonique vers les valeurs les plus faibles, tandis que les valeurs aberrantes très élevées ont peu d’effet sur elle. Cette propriété est utilisée en finance pour calculer la moyenne des ratios cours/bénéfice d’un portefeuille, en apprentissage automatique pour le score F1 (la moyenne harmonique de la précision et du rappel), et en génie électrique pour les résistances en parallèle.
Hypothèses, limites et conseils
- Toutes les valeurs doivent être positives. Un seul nombre nul ou négatif rend la moyenne harmonique indéfinie : le calculateur refusera cette saisie.
- Utilisez-la pour les taux, pas pour les quantités. Si vous calculez directement la moyenne de prix, de poids ou de notes, la moyenne arithmétique ou la moyenne pondérée est généralement le bon choix.
- Les valeurs sont supposées avoir le même poids. Chaque valeur compte autant que les autres. Si vos taux s’appliquent à des distances ou à des volumes différents, il faut utiliser une moyenne harmonique pondérée.
- Une seule valeur extrêmement faible domine le résultat. La moyenne harmonique de \(1, 100, 100\) est d’environ 2,94, bien loin de 67. Assurez-vous qu’une valeur très faible fait bien partie de vos données.
- Pour comparer les trois moyennes classiques sur les mêmes données, ou utiliser la moyenne quadratique employée en statistique, essayez le calculateur de moyenne quadratique (RMS).
Moyenne harmonique et autres moyennes
| Moyenne | Adaptée à | Exemple d’utilisation |
|---|---|---|
| Moyenne harmonique | Taux sur des unités égales (vitesse, efficacité) | Vitesse moyenne sur des distances égales |
| Moyenne géométrique | Données multiplicatives, taux de croissance | Rendement moyen d’un investissement sur plusieurs années |
| Moyenne arithmétique | Grandeurs additives | Moyenne de notes à des examens |
| Moyenne quadratique (RMS) | Données variant autour de zéro | Tension efficace d’un signal alternatif |
Une application concrète connexe consiste à calculer le temps nécessaire à deux personnes pour terminer ensemble un travail : le calcul sous-jacent revient essentiellement à calculer une moyenne harmonique.
Questions fréquentes
Comment calculer la moyenne harmonique à la main ?
Comptez vos valeurs, prenez l’inverse de chacune (1 divisé par la valeur), additionnez ces inverses, puis divisez le nombre de valeurs par cette somme. Par exemple, avec 4, 6 et 12 : les inverses sont 0,25, 0,167 et 0,083 ; leur somme est de 0,5, et \(3 / 0.5 = 6\). Vérifiez toujours que le résultat n’est pas supérieur à votre plus petite valeur : il ne devrait jamais l’être.
Existe-t-il une formule simplifiée pour la moyenne harmonique de deux nombres ?
Oui. Pour deux valeurs \(a\) et \(b\), la moyenne harmonique est égale à \(\frac{2ab}{a+b}\). Par exemple, avec 30 et 60 : \(2 \times 30 \times 60 / (30 + 60) = 3600/90 = 40\). Cette formule est pratique pour les problèmes de vitesse moyenne, comme un aller-retour effectué à deux vitesses différentes sur la même distance.
Quand la moyenne harmonique est-elle une « bonne » valeur ou une valeur représentative ?
Il n’existe pas de plage universellement satisfaisante : tout dépend de vos données. Pour vérifier la cohérence du résultat, retenez l’ordre \(H \leq G \leq A\) : la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale aux moyennes géométrique et arithmétique, l’égalité n’ayant lieu que si toutes les valeurs sont identiques. Si votre résultat dépasse la moyenne arithmétique, vous avez fait une erreur de calcul.
Que faire si mes taux s’appliquent à des distances ou à des volumes différents ?
Il vous faut une moyenne harmonique pondérée : \(H = \frac{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}}\), où chaque poids \(w\) correspond à la distance, au volume ou à la quantité de travail auxquels s’applique le taux. La version non pondérée présentée sur cette page suppose que chaque valeur a le même poids, ce qui n’est correct que lorsque les grandeurs sous-jacentes sont égales.
Pourquoi ne puis-je pas saisir de nombres nuls ou négatifs ?
La formule divise par la somme des inverses, et l’inverse de zéro n’est pas défini : un seul zéro empêche donc tout le calcul. Les valeurs négatives posent également problème : la somme des inverses peut devenir nulle ou négative, ce qui produit des résultats dépourvus de sens ou négatifs. Si vos données contiennent des zéros ou des valeurs négatives, la moyenne harmonique n’est pas adaptée ; utilisez plutôt la moyenne arithmétique ou géométrique (après avoir traité les valeurs négatives).
Quelle est l’erreur la plus fréquente dans le calcul d’une vitesse moyenne ?
Utiliser la moyenne arithmétique lorsque chaque vitesse s’applique à la même distance. Si vous parcourez un tronçon à 80 km/h et un autre tronçon de même longueur à 40 km/h, la vraie moyenne est de 53,33 km/h, et non de 60 km/h. La moyenne arithmétique n’est correcte que lorsque chaque vitesse s’applique pendant la même durée. Demandez-vous si ce sont les durées ou les distances qui sont égales : c’est ce qui détermine la moyenne à utiliser.
Quel est le lien entre la moyenne harmonique et les résistances en parallèle ?
Pour deux résistances, la résistance équivalente en parallèle est égale à la moitié de la moyenne harmonique de leurs valeurs : \(R_{total} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\). Plus généralement, les conductances (1/R) s’additionnent, tout comme les inverses dans la formule de la moyenne harmonique. Pour deux résistances égales, le résultat vaut la moitié de la valeur d’une résistance : un moyen rapide de vérifier vos calculs en électronique.