Calculadora de media armónica
Introduce dos o más números positivos y esta calculadora devuelve su media armónica: el recíproco de la media de los recíprocos, ideal para promediar tasas y velocidades.
Calcular la media armónica de números
Fórmula de la media armónica
Donde:
- \(H\) — la media armónica
- \(n\) — el número de valores
- \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — los valores individuales; cada uno debe ser positivo y distinto de cero
La fórmula divide la cantidad de valores entre la suma de sus recíprocos. De forma equivalente, es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, razón por la cual otorga mayor peso a los valores más pequeños.
Media armónica – Ejemplo de cálculo
Ejemplo: recorres la misma distancia dos veces — primero a 10 km/h, luego a 20 km/h — y quieres conocer tu velocidad media de todo el trayecto.
\[ H = \frac{2}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20}} = \frac{2}{0.1 + 0.05} = \frac{2}{0.15} \approx 13.33 \]
Resultado: la media armónica de 10 y 20 es aproximadamente 13,33 km/h — no 15, como sugeriría erróneamente la media aritmética.
Cómo usar la calculadora
- Introduce cuántos valores quieres promediar en el campo Número de valores (mínimo 2). Los campos adicionales aparecen automáticamente.
- Escribe tus números positivos en Número 1, Número 2, etc.
- El resultado aparece al instante en el campo Media — sin necesidad de pulsar ningún botón.
- Si algún valor es cero o negativo, la calculadora muestra un error, porque la media armónica solo está definida para números positivos.
¿Qué es la media armónica?
La media armónica es una de las tres medias pitagóricas clásicas, junto con la media aritmética y la media geométrica. Para cualquier conjunto de números positivos siempre cumple el orden:
\[ H \leq G \leq A \]
con igualdad solo cuando todos los valores son idénticos. En la práctica, la media armónica es el promedio correcto siempre que las cantidades combinadas se expresen como tasas — es decir, como algo por unidad de otra cosa, como kilómetros por hora, litros por 100 km o unidades producidas por hora.
La ilustración clásica es la velocidad media. Si conduces 100 km a 60 km/h y los siguientes 100 km a 40 km/h, tu velocidad media real no es 50 km/h, sino la media armónica \(2/(1/60 + 1/40) = 48\) km/h, porque pasas más tiempo a la velocidad más lenta. Siempre que cada valor se aplique a la misma distancia, volumen o carga de trabajo, la media armónica — y no la aritmética — da la tasa global correcta.
Dado que los valores pequeños aportan recíprocos desproporcionadamente grandes, la media armónica se ve atraída hacia los valores más pequeños y es robusta frente a valores atípicos muy grandes. Esta propiedad se utiliza en finanzas para promediar ratios precio-beneficio de una cartera, en aprendizaje automático en la puntuación F1 (la media armónica de la precisión y la exhaustividad) y en ingeniería eléctrica para resistencias en paralelo.
Supuestos, limitaciones y consejos
- Todos los valores deben ser positivos. Un solo cero o número negativo hace que la media armónica quede indefinida — la calculadora rechazará dicha entrada.
- Úsala para tasas, no para cantidades. Si estás promediando precios, pesos o puntuaciones directamente, la media aritmética o la media ponderada suelen ser la elección correcta.
- Se asume una ponderación igual. Cada valor cuenta por igual. Si tus tasas se aplican a distancias o volúmenes diferentes, necesitarás una media armónica ponderada.
- Un solo valor extremadamente pequeño domina. La media armónica de \(1, 100, 100\) es aproximadamente 2,94, muy lejos de 67. Asegúrate de que un valor diminuto aislado realmente pertenece a tus datos.
- Para comparar las tres medias clásicas con los mismos datos — o para trabajar con la raíz de la media cuadrática usada en estadística — prueba la calculadora de media cuadrática (RMS).
Media armónica frente a otras medias
| Media | Mejor para | Ejemplo de uso |
|---|---|---|
| Media armónica | Tasas sobre unidades iguales (velocidad, eficiencia) | Velocidad media sobre distancias iguales |
| Media geométrica | Datos multiplicativos, tasas de crecimiento | Rendimiento medio de una inversión a lo largo de años |
| Media aritmética | Cantidades aditivas | Promedio de calificaciones de exámenes |
| Media cuadrática (RMS) | Datos que varían en torno a cero | Tensión eficaz de una señal de corriente alterna |
Otra aplicación práctica relacionada es calcular cuánto tardan dos personas en completar un trabajo juntas — el cálculo subyacente es esencialmente una media armónica.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo la media armónica a mano?
Cuenta tus valores, toma el recíproco de cada uno (invíertelo: 1 dividido entre el valor), suma esos recíprocos y divide la cantidad de valores entre esa suma. Por ejemplo, con 4, 6 y 12: los recíprocos son 0,25, 0,167 y 0,083; su suma es 0,5 y \(3 / 0.5 = 6\). Comprueba siempre que el resultado no sea menor que tu valor más pequeño — nunca debería serlo.
¿Existe una fórmula abreviada para la media armónica de dos números?
Sí. Para dos valores \(a\) y \(b\), la media armónica equivale a \(\frac{2ab}{a+b}\). Por ejemplo, con 30 y 60: \(2 \times 30 \times 60 / (30 + 60) = 3600/90 = 40\). Este atajo es útil para problemas de velocidad media, como un viaje de ida y vuelta realizado a dos velocidades distintas sobre la misma distancia.
¿Cuándo es la media armónica un valor «bueno» o típico?
No existe un rango bueno universal — depende por completo de tus datos. La comprobación útil es el orden \(H \leq G \leq A\): la media armónica es siempre menor o igual que las medias geométrica y aritmética, con igualdad solo cuando todos los valores son idénticos. Si tu resultado supera la media aritmética, has cometido un error de cálculo en algún punto.
¿Qué ocurre si mis tasas se aplican a distancias o volúmenes diferentes?
Necesitas una media armónica ponderada: \(H = \frac{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}}\), donde cada peso \(w\) es la distancia, el volumen o la carga de trabajo a la que se aplica esa tasa. La versión no ponderada de esta página asume que cada valor tiene el mismo peso, lo cual solo es correcto cuando las unidades subyacentes son iguales.
¿Por qué no puedo introducer ceros o números negativos?
La fórmula divide entre la suma de los recíprocos, y el recíproco de cero no está definido — un solo cero rompe todo el cálculo. Los valores negativos también rompen las matemáticas: las sumas de recíprocos pueden volverse cero o negativas, produciendo resultados sin sentido o negativos. Si tu conjunto de datos contiene ceros o negativos, la media armónica no es la herramienta adecuada; usa la media aritmética o la geométrica (tras tratar los negativos).
¿Cuál es el error más común al promediar velocidades?
Usar la media aritmética cuando cada velocidad cubre la misma distancia. Si conduces un tramo a 80 km/h y otro tramo igual a 40 km/h, la media real es 53,33 km/h, no 60. La media aritmética solo es correcta cuando cada velocidad se aplica durante el mismo tiempo. Pregúntate: ¿estoy igualando tiempo o distancia? Eso determina qué media usar.
¿Cómo se relaciona la media armónica con las resistencias en paralelo?
Para dos resistencias, la resistencia total en paralelo es la mitad de la media armónica de sus valores: \(R_{total} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\). De forma más general, las conductancias (1/R) se suman, igual que los recíprocos en la fórmula de la media armónica. Para dos resistencias iguales, el resultado es la mitad de una resistencia — una forma rápida de verificar tus cálculos de electrónica.