Калькулятор лінійного теплового розширення
Обчисліть, наскільки матеріал розширюється або стискається при зміні температури. Введіть початкову довжину, коефіцієнт розширення та зміну температури, щоб отримати ΔL і кінцеву довжину.
Дізнайтеся, наскільки матеріал видовжується чи вкорочується при зміні температури
Формула лінійного теплового розширення
Де:
- \(\Delta L\) — зміна довжини (та сама одиниця, що й \(L_0\))
- \(\alpha\) — коефіцієнт лінійного розширення матеріалу (1/°C, 1/K або 1/°F)
- \(L_0\) — початкова довжина за початкової температури
- \(\Delta T\) — зміна температури (кінцева мінус початкова)
- \(L\) — кінцева довжина після зміни температури
Формула відображає той факт, що у звичайному діапазоні температур зміна довжини твердого тіла пропорційна і його початковій довжині, і зміні температури. Від’ємне \(\Delta T\) (охолодження) просто дає від’ємне \(\Delta L\) — тобто об’єкт стискається.
Лінійне теплове розширення — приклад розрахунку
Приклад: сталевий стрижень завдовжки 2 м (\(\alpha = 0.000012\) 1/°C) нагріли на 50 °C. Наскільки він подовжиться і якою буде його довжина після цього?
\[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T = 0.000012 \times 2 \times 50 = 0.0012 \ \text{m} = 1.2 \ \text{mm} \\ \[4pt] L = L_0 + \Delta L = 2 + 0.0012 = 2.0012 \ \text{m}
\]
Результат: стрижень видовжується на 1,2 мм, а його кінцева довжина становить 2,0012 м — відносна зміна лише +0,06 %.
Як користуватися калькулятором
- Введіть початкову довжину (L₀) об’єкта та виберіть її одиницю (мм, см, м, дюйми або фути).
- Введіть коефіцієнт лінійного розширення (α) для вашого матеріалу та виберіть відповідну одиницю (1/°C, 1/K або 1/°F). Типові значення наведено в підказці до поля: сталь ≈ 0,000012, алюміній ≈ 0,000023, скло ≈ 0,000009 на °C.
- Введіть зміну температури (ΔT) разом з одиницею. Для нагрівання використовуйте додатне значення, для охолодження — від’ємне.
- Прочитайте результати: зміну довжини (ΔL) і кінцеву довжину (L), які показано у вибраній вами одиниці та в таблиці з усіма іншими поширеними одиницями.
Що таке лінійне теплове розширення?
Коли тверде тіло нагрівають, його атоми починають коливатися сильніше і в середньому трохи віддалятися один від одного. Тому об’єкт зростає в кожному вимірі. Лінійне теплове розширення описує зміну вздовж одного виміру — довжини стрижня, рейки, труби чи балки. Оскільки за звичайних коливань температури більшість матеріалів розширюються лише на частки відсотка, залежність між довжиною та температурою з дуже хорошою точністю лінійна: подвоєння зміни температури подвоює зміну довжини.
Коефіцієнт пропорційності \(\alpha\) — це властивість самого матеріалу. Він показує, наскільки видовжується шматок довжиною в одну одиницю за кожен градус нагрівання. Метали розширюються відносно сильно (алюміній, латунь, мідь), тоді як скло й бетон від природи мають низьке розширення, а інвар створено спеціально. Зауважте, що сам \(\alpha\) трохи змінюється з температурою; значення в підказці — типові для кімнатної температури.
Абсолютна зміна може видаватися мізерною — кілька міліметрів на 2-метровому сталевому стрижні, — але в інженерії вона має величезне значення. У рейкових коліях залишають зазори, мости мають деформаційні шви, а трубопроводи обладнують компенсаторами саме тому, що ці невеликі переміщення, якщо їх стримувати, створюють колосальні сили. І навпаки, гаряча посадка (кільце нагрівають, щоб надіти його на вал) використовує той самий ефект. Тлумачачи результат, пам’ятайте, що від’ємне \(\Delta L\) — таке саме реальне фізичне явище, як і додатне: охолодження стискає об’єкт.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Невеликі зміни температури. Лінійна формула передбачає, що \(\alpha \, \Delta T \ll 1\), а α стало. За перепадів у сотні градусів або поблизу фазових переходів результати стають лише наближеними.
- Ізотропний матеріал. Калькулятор припускає, що матеріал розширюється однаково в усіх напрямках. Деревина й багато композитів розширюються з різною швидкістю вздовж і поперек волокон.
- Лише вільне розширення. Результат — це зміна довжини незакріпленого об’єкта. Якщо об’єкт затиснутий, він не може розширитися, і натомість накопичуються напруження — довжина не змінюється, але виникають великі сили.
- Узгодженість одиниць. Калькулятор усе перетворює внутрішньо, тож можна вільно комбінувати одиниці (наприклад, дюйми з 1/°C), однак коефіцієнт має відповідати реальному матеріалу.
- З 1/°F у 1/°C. Щоб перевести коефіцієнт з 1/°F в 1/°C, значення слід помножити на 1,8, оскільки один градус Фаренгейта становить лише 5/9 градуса Цельсія. Калькулятор виконує це перетворення автоматично.
- Об’ємне розширення. Для рідин або повних тривимірних змін об’ємний коефіцієнт приблизно дорівнює \(3\alpha\). Оцінити пов’язані з масою властивості можна також у калькуляторі густини.
Типові коефіцієнти лінійного розширення
| Матеріал | α (10⁻⁶ 1/°C) |
|---|---|
| Алюміній | 23 |
| Латунь | 19 |
| Мідь | 17 |
| Сталь (типова) | 12 |
| Скло (звичайне) | 9 |
| Інвар | 1,2 |
| Бетон | ≈ 12 |
Теплове розширення — лише один із способів, якими температура впливає на фізичні процеси: вона також змінює густину повітря і навіть швидкість звуку в повітрі. А про механічну деформацію, спричинену силами, а не температурою, дізнайтеся з калькулятора закону Гука.
Часті запитання
Як обчислити лінійне теплове розширення вручну?
Перемножте три числа: коефіцієнт лінійного розширення, початкову довжину та зміну температури. Формула: \( \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \). Наприклад, мідна труба завдовжки 5 м (\(\alpha \approx 0.000017\) 1/°C), нагріта на 30 °C, розширюється на \(0.000017 \times 5 \times 30 = 0.00255\) м, тобто приблизно на 2,6 мм. Додайте \(\Delta L\) до \(L_0\), щоб отримати кінцеву довжину.
Чи взаємозамінні коефіцієнти в 1/K, 1/°C та 1/°F?
Значення на кельвін і на градус Цельсія однакові, адже зміна на 1 K дорівнює зміні на 1 °C — ними можна користуватися як взаємозамінними. А от коефіцієнт в 1/°F інший: один градус Фаренгейта становить лише 5/9 градуса Цельсія, тому \( \alpha_{(1/\text{°F})} = \tfrac{5}{9} \alpha_{(1/\text{°C})} \). Значення для сталі 12×10⁻⁶ 1/°C відповідає 6,67×10⁻⁶ 1/°F. Калькулятор перетворює це автоматично.
Яким є типовий або нормальний коефіцієнт розширення?
У більшості металів значення лежать у межах від 10×10⁻⁶ до 25×10⁻⁶ на °C: сталь ≈ 12, мідь ≈ 17, латунь ≈ 19, алюміній ≈ 23 (усе ×10⁻⁶ 1/°C). Скло та бетон мають нижчі показники (≈ 9 і ≈ 12), а інвар вирізняється винятковою стабільністю — ≈ 1,2. Пластмаси можуть розширюватися значно сильніше — від 50 до понад 200×10⁻⁶ 1/°C. Завжди звіряйтеся з таблицею матеріалів для вашого конкретного сплаву, адже склад змінює це значення.
Чи стискається об’єкт під час охолодження?
Так. Введіть від’ємну зміну температури, і результат буде від’ємним. Наприклад, алюмінієвий стрижень завдовжки 3 м (\(\alpha = 0.000023\) 1/°C), охолоджений на 40 °C, стискається на \(0.000023 \times 3 \times (-40) = -0.00276\) м, і його кінцева довжина становить 2,99724 м. Стиснення від охолодження — таке саме реальне фізичне явище, як і розширення, а стримане охолодження може спричинити великі розтягувальні напруження та тріщини.
Чи можна використовувати цей калькулятор для площинного чи об’ємного розширення?
Для твердих тіл — так, приблизно: коефіцієнт площинного розширення становить близько \(2\alpha\), а об’ємного — близько \(3\alpha\), де \(\alpha\) — лінійний коефіцієнт. Отже, можна помножити ваш \(\alpha\) на 2 або 3 і вважати результат відносною зміною площі чи об’єму. Це наближення втрачає точність при великих перепадах температури. Для рідин використовуйте табличний об’ємний коефіцієнт безпосередньо, оскільки в рідин немає змістовного лінійного розміру.
Що станеться, якщо об’єкт закріплений з обох кінців і не може розширитися?
Тоді його довжина залишається сталою, а теплове розширення перетворюється на напруження. Стискальне термічне напруження дорівнює \( \sigma = E \cdot \alpha \cdot \Delta T \), де \(E\) — модуль Юнга. Для сталі, нагрітої лише на 50 °C, воно вже перевищує 100 МПа — цього достатньо, щоб викривити залізничні рейки або розтріскати жорсткі трубопроводи. Цей калькулятор показує лише вільне, незакріплене розширення, тому не використовуйте його безпосередньо для затиснутих конструкцій.
Які типові помилки під час розрахунку теплового розширення?
Найчастіші помилки: плутанина між коефіцієнтами в 1/°F і 1/°C (вони відрізняються у 1,8 раза); введення абсолютної температури замість зміни температури (потрібно ΔT, а не кінцева температура); використання довжини в одній одиниці при очікуванні відповіді в іншій; і пропуск знака — для охолодження ΔT має бути від’ємним. Крім того, деревина й композити розширюються по-різному вздовж і поперек волокон, тому один α може неточно їх описувати.