Калькулятор швидкості молекул газу
Обчислює середньоквадратичну, середню та найімовірнішу швидкості молекул газу за температурою та молярною масою, а також середню енергію поступального руху на моль — за формулами кінетичної теорії.
Швидкості молекул за температурою та молярною масою
Формула швидкості молекул газу
Де:
- \(v_{rms}\) — середньоквадратична швидкість (m/s)
- \(\bar{v}\) — середня швидкість (m/s)
- \(v_p\) — найімовірніша швидкість (m/s)
- \(E_{mol}\) — середня кінетична енергія поступального руху на моль (J/mol)
- \(R\) — універсальна газова стала, \(8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\)
- \(T\) — абсолютна температура (K)
- \(M\) — молярна маса (kg/mol)
Три швидкості випливають із розподілу Максвелла — Больцмана для ідеального газу: \(v_p\) відповідає максимуму розподілу, \(\bar{v}\) — це середнє по всіх молекулах, а \(v_{rms}\) випливає із середньої кінетичної енергії поступального руху \(\frac{3}{2}kT\) на одну молекулу. Зауважте: \(E_{mol}\) залежить лише від температури, а не від виду газу.
Швидкість молекул газу — приклад розрахунку
Приклад: кисень (O₂, молярна маса 32 g/mol) за 300 K — саме такі значення в калькуляторі встановлено за замовчуванням.
\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{0.032}} = \sqrt{233844} \approx 483.6\ \mathrm{m/s} \\ \bar{v} = \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 300}{\pi \times 0.032}} \approx 445.5\ \mathrm{m/s} \\ v_p = \sqrt{\frac{2 \times 8.314 \times 300}{0.032}} \approx 394.8\ \mathrm{m/s} \\ E_{mol} = \tfrac{3}{2} \times 8.314 \times 300 \approx 3741.5\ \mathrm{J/mol} \\ \\ ]
Результат: \(v_{rms} \approx\) 483,6 m/s (приблизно 1740,8 km/h), \(\bar{v} \approx\) 445,5 m/s, \(v_p \approx\) 394,8 m/s, а середня енергія поступального руху — приблизно 3741,5 J/mol, тобто близько 0,064 eV (64 meV) на молекулу.
Як користуватися калькулятором
- Введіть абсолютну температуру (T) і виберіть її одиницю: K, °C або °F. Значення автоматично переводиться в кельвіни.
- Введіть молярну масу (M) газу та оберіть g/mol або kg/mol. Типові значення: 2 для H₂, 28,97 для повітря, 32 для O₂, 44 для CO₂.
- Зчитайте результати: середньоквадратичну швидкість, середню швидкість і найімовірнішу швидкість показано в m/s та km/h, а середню енергію поступального руху на моль — у J/mol.
- У розділі «Деталі розрахунку» показано підставлені числа, а розділ «Про кінетичну теорію газів» стисло описує припущення, на яких ґрунтуються формули.
Що означає швидкість молекул
Молекули газу перебувають у безперервному хаотичному русі й зіштовхуються мільярди разів на секунду. Оскільки зіткнення постійно перерозподіляють енергію, швидкості окремих молекул охоплюють широкий діапазон, який описує розподіл Максвелла — Больцмана. Замість того щоб відстежувати кожну молекулу, зручно охарактеризувати весь розподіл кількома характерними швидкостями — саме це й робить наш калькулятор.
Найімовірніша швидкість \(v_p\) припадає на максимум розподілу: біля неї рухається більше молекул, ніж біля будь-якої іншої. Середня швидкість \(\bar{v}\) — це звичайне середнє арифметичне по всіх молекулах; саме вона має значення для таких величин, як частота зіткнень і швидкість ефузії. Середньоквадратична швидкість \(v_{rms}\) надає більшої ваги швидшим молекулам (вона обчислюється через середній квадрат швидкості), тому її природно використовувати, щойно йдеться про енергію чи тиск — так, тиск випливає з \(PV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}\).
Ці три швидкості завжди перебувають у сталому співвідношенні \(v_p : \bar{v} : v_{rms} = \sqrt{2} : \sqrt{8/\pi} : \sqrt{3} \approx 1 : 1.128 : 1.225\), незалежно від газу та температури. Варто запам’ятати два прості правила масштабування: подвоєння абсолютної температури збільшує всі швидкості у \(\sqrt{2}\) раза, а подвоєння молярної маси зменшує їх у \(\sqrt{2}\) раза. Саме тому легкі молекули водню за кімнатної температури носяться зі швидкістю майже 2000 m/s, тоді як важкі молекули CO₂ за тієї самої температури рухаються повільніше (m/s)
Оскільки швидкість молекул безпосередньо залежить від температури, цей калькулятор буде корисним і під час вивчення залежностей між температурою та тиском, як-от закон Гей-Люссака, або між кількістю газу та об’ємом, як-от закон Авогадро. Для швидкостей реакцій, темп яких задається молекулярними зіткненнями, природним доповненням стане калькулятор закону швидкості реакції.
Часті запитання
Як обчислити швидкість молекул вручну, без калькулятора?
Візьміть температуру в кельвінах і молярну масу в kg/mol (розділіть значення в g/mol на 1000). Щоб знайти середньоквадратичну швидкість, перемножте \(3 \times 8.314 \times T\), поділіть на \(M\) і доберіть квадратний корінь. Приклад: азот за 298 K дає \(\sqrt{3 \times 8.314 \times 298 / 0.028} \approx 515\ \mathrm{m/s}\). Середня та найімовірніша швидкості обчислюються так само, лише замість 3 беруть 8/π та 2 відповідно.
Яку з трьох швидкостей використовувати — середньоквадратичну, середню чи найімовірнішу?
Залежить від задачі. Скористайтеся \(v_{rms}\), щойно йдеться про енергію, температуру чи тиск, адже вона безпосередньо випливає із середньої кінетичної енергії. Середню швидкість \(\bar{v}\) застосовуйте для розрахунків частот зіткнень і ефузії (закон Грема). Найімовірнішу швидкість \(v_p\) обирайте, коли потрібна швидкість, яку фактично має найбільше молекул, — наприклад, під час побудови чи інтерпретації кривої Максвелла — Больцмана.
Чому мій ручний розрахунок дав швидкість у тисячі разів меншу?
Найпоширеніша помилка — ввести молярну масу в g/mol, тоді як формула вимагає kg/mol. Якщо підставити 32 замість 0.032 у \(v_{rms} = \sqrt{3RT/M}\), результат відхилиться у \(\sqrt{1000} \approx 31.6\) раза. Завжди спершу діліть значення в g/mol на 1000 — калькулятор робить це автоматично, коли вибрано одиницю g/mol.
Чи можна вводити температуру в градусах Цельсія чи Фаренгейта?
Так. Оберіть °C або °F у списку одиниць, і калькулятор сам перетворить значення в кельвіни. Ніколи не «перетворюйте» температуру власноруч, просто відкидаючи знак градуса: 25 °C — це 298,15 K, а не 25 K, і формули працюють лише з абсолютною температурою. Також зауважте: значення на рівні або нижче абсолютного нуля (−273,15 °C, −459,67 °F) спричинять помилку, бо настільки холодного газу не існує.
Наскільки швидко молекули газу рухаються за кімнатної температури?
Типові швидкості становлять від кількох сотень до приблизно 2000 m/s. За 300 K молекули водню (найлегшого газу) рухаються в середньому зі швидкістю приблизно 1780 m/s — швидше за гвинтівкову кулю, — тоді як азот і кисень у повітрі мають швидкість приблизно 450–520 m/s, а вуглекислий газ — близько 380–415 m/s. Із такими швидкостями молекули все одно проходять між зіткненнями лише мікроскопічні відстані, тому газ не перетинає кімнату миттєво.
Чи пов’язана швидкість молекул зі швидкістю звуку в газі?
Так, тісно. Звукові хвилі поширюються завдяки зіткненням молекул, тому швидкість звуку в ідеальному газі дорівнює \(\sqrt{\gamma RT/M}\) — така сама коренева залежність від температури та молярної маси, як і у молекулярних швидкостей. У повітрі швидкість звуку (близько 343 m/s за 20 °C) становить приблизно 68 % середньоквадратичної швидкості молекул. Саме тому звук поширюється швидше в теплому повітрі та значно швидше в легких газах, як-от гелій.
Чому середня енергія поступального руху однакова для всіх газів за однакової температури?
Згідно з теоремою рівнорозподілу, кожна ступінь вільності поступального руху несе енергію \(\frac{1}{2}kT\), а в кожної молекули їх рівно три (x, y, z), що дає \(\frac{3}{2}kT\) на молекулу або \(\frac{3}{2}RT\) на моль — незалежно від маси. Важкі молекули просто рухаються повільніше: атом гелію та молекула UF₆ за 300 K мають однакову середню енергію поступального руху — близько 3,7 кДж/моль або 39 meV на молекулу, — але з дуже різними швидкостями.