Калькулятор орбітальної швидкості
Обчисліть швидкість, необхідну для колової орбіти навколо Землі, Місяця, Марса, Юпітера, Сонця або довільного тіла. Введіть висоту або радіус орбіти й отримайте орбітальну швидкість, період та довжину орбіти.
Знайдіть швидкість, необхідну для колової орбіти
Формула орбітальної швидкості
Де:
- \(v\) — орбітальна швидкість, постійна швидкість руху тіла коловою орбітою (м/с)
- \(G\) — гравітаційна стала, \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\ \text{м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}\)
- \(M\) — маса центрального тіла (кг)
- \(r\) — радіус орбіти, відстань від центра тіла до орбіти (м)
- \(R\) — середній радіус центрального тіла (м)
- \(h\) — висота орбіти над поверхнею тіла (м)
Формула показує, що на коловій орбіті гравітація створює рівно ту доцентрову силу, яка потрібна, щоб тіло рухалося по колу: прирівнявши \(GMm/r^2 = mv^2/r\) і розв’язавши рівняння відносно \(v\), отримуємо результат. Калькулятор також обчислює період обертання за формулою \(T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}\).
Орбітальна швидкість – приклад обчислення
Приклад: Міжнародна космічна станція літає приблизно коловою орбітою на висоті близько 400 км над поверхнею Землі. Знайдемо її орбітальну швидкість і період.
Стандартний гравітаційний параметр Землі дорівнює \(GM = 3.986004 \times 10^{14}\ \text{м}^3/\text{с}^2\), а її середній радіус — \(R = 6371\ \text{км}\). Радіус орбіти становить:
\[ r = R + h = 6371\ \text{км} + 400\ \text{км} = 6771\ \text{км} = 6.771 \times 10^{6}\ \text{м} \]
\[ v = \sqrt{\frac{3.986004 \times 10^{14}}{6.771 \times 10^{6}}} \approx 7673\ \text{м/с} \approx 7.67\ \text{км/с} \]
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{(6.771 \times 10^{6})^3}{3.986004 \times 10^{14}}} \approx 5545\ \text{с} \approx 92.4\ \text{хв} \]
Результат: МКС має рухатися зі швидкістю приблизно 7,67 км/с (приблизно 27 600 км/год або 17 150 миль/год), щоб утримуватися на коловій орбіті висотою 400 км, здійснюючи один повний обліт Землі — відстань близько 42 543 км — приблизно за 92 хвилини.
Як користуватися калькулятором
- Виберіть Центральне тіло — Землю, Місяць, Марс, Юпітер, Сонце або Довільне тіло. Для готового тіла автоматично використовуються його відома маса і радіус.
- Виберіть Тип відстані: або Висота над поверхнею (типово для орбіт космічних апаратів), або Радіус орбіти від центра.
- Введіть Висоту орбіти (h) (або радіус орбіти, залежно від вибору) і вкажіть одиницю — км, м або милі.
- Якщо ви обрали Довільне тіло, заповніть Масу тіла (M) у масах Землі, кілограмах або масах Сонця. Якщо ви вводите висоту, також укажіть Радіус тіла (R), щоб калькулятор міг перевести висоту в радіус орбіти.
- Прочитайте результати: орбітальну швидкість у шести різних одиницях, а також період обертання і відстань, яку тіло проходить за один оберт.
Що таке орбітальна швидкість?
Орбітальна швидкість — це швидкість, яку має підтримувати тіло, щоб рухатися коловою траєкторією навколо небесного тіла, не падаючи на нього і не віддаляючись від нього. Справа не в тому, щоб уникнути гравітації — на орбіті гравітація діє в повній мірі — а в тому, щоб рухатися вбік достатньо швидко, щоб криволінійне падіння на тіло точно збігалося з кривизною орбіти. Астронавт на борту МКС перебуває в стані безперервного вільного падіння; станція просто рухається вперед так швидко, що постійно «промахується» повз Землю.
Головний висновок із формули \(v = \sqrt{GM/r}\) полягає в тому, що орбітальна швидкість залежить лише від маси центрального тіла і радіуса орбіти — а не від маси тіла, що обертається. Куля для боулінгу і перо на однаковій висоті потребують однакової швидкості. Зверніть також увагу на обернену залежність від відстані: чим вища орбіта, тим менша потрібна швидкість. На висоті 400 км МКС мчить зі швидкістю 7,67 км/с, тоді як супутник на геостаціонарній орбіті на висоті 35 786 км потребує лише близько 3,07 км/с.
Період обертання \(T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}\) показує, скільки часу триває один повний оберт. Він швидко зростає з висотою, бо довжина кола збільшується, а швидкість зменшується. У цьому виразі заховано третій закон Кеплера: квадрат періоду пропорційний кубу радіуса орбіти. Для Землі орбіта, період якої дорівнює одним зоряним добам (23 год 56 хв), лежить на висоті 35 786 км — це геостаціонарний пояс, який використовують супутники зв’язку.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Лише колові орбіти. Формула дає точну швидкість для колової орбіти. Реальні орбіти зазвичай еліптичні, і швидкість на них змінюється вздовж траєкторії — найбільша в найнижчій точці (перигеї), найменша в найвищій точці (апогеї).
- Припущення про точкову масу. Тіло розглядається так, ніби вся його маса зосереджена в центрі, що чудово працює для планет і зір, але менш точно поблизу тіл неправильної форми, таких як малі астероїди.
- Без атмосфери і без збурень. Опір атмосфери, гальмування в атмосфері, тяжіння Місяця чи інших планет і релятивістські ефекти поблизу дуже масивних тіл не враховуються. Низькі орбіти з часом деградують саме через опір атмосфери.
- Лише задача двох тіл. Обчислення припускає, що маса тіла, що обертається, нехтівно мала порівняно з центральним тілом. Це виконується для супутників, космічних апаратів і навіть планет, які обертаються навколо Сонця.
- Нульова висота означає орбіту, що «ковзає» по поверхні — фізично неможливо для тіл з атмосферою, але корисно для порівняння теоретичних швидкостей поверхневої орбіти (близько 7,91 км/с для Землі).
- Використовуючи Довільне тіло, переконайтеся, що введений радіус орбіти більший за радіус тіла; інакше калькулятор попередить, що орбіта лежала б усередині тіла.
Пов’язана фізика
Орбітальний рух — класичне застосування доцентрової сили — гравітація відіграє роль сили, що тягне тіло до центра. Ця сама рівновага також випливає з закону збереження енергії: на коловій орбіті кінетична і гравітаційна потенціальна енергія залишаються постійними, а обмін висоти на швидкість в еліптичних орбітах є прямим перетворенням енергії.
Часті запитання
Чим орбітальна швидкість відрізняється від другої космічної швидкості?
Орбітальна швидкість — це швидкість, потрібна для утримання на коловій орбіті, тоді як друга космічна швидкість — це швидкість, потрібна, щоб повністю вирватися з гравітаційного поля тіла. Для будь-якого заданого радіуса друга космічна швидкість дорівнює коловій орбітальній швидкості, помноженій на \(\sqrt{2}\), тобто приблизно в 1,41 раза більша. Біля поверхні Землі це означає 7,91 км/с для виходу на орбіту, але 11,19 км/с для відльоту. Супутник, який рухається саме з орбітальною швидкістю, має рівно стільки енергії, щоб обертатися вічно, але недостатньо, щоб полишити орбіту.
Чому вищі орбіти потребують менших швидкостей?
Гравітація послаблюється з відстанню за законом оберненого квадрата, тому супутнику, розташованому далі від тіла, потрібна менша бічна швидкість, щоб «промахуватися» повз поверхню. Формула \(v = \sqrt{GM/r}\) показує, що швидкість зменшується зі зростанням радіуса. Поблизу Землі МКС летить зі швидкістю 7,67 км/с на висоті 400 км, тоді як Місяць, на відстані близько 384 400 км, рухається лише зі швидкістю близько 1,02 км/с. Утім, всупереч інтуїції, вищі орбіти все одно потребують більше часу на повний оберт, бо довжина кола зростає, а швидкість падає.
З якою швидкістю летить супутник на низькій навколоземній орбіті?
Типові супутники на низькій навколоземній орбіті (LEO) рухаються зі швидкістю приблизно від 7,5 до 7,8 км/с, тобто приблизно 27 000–28 000 км/год. МКС на висоті 400 км рухається зі швидкістю 7,67 км/с, а більшість LEO-супутників перебувають на висотах від 200 до 2 000 км, де швидкості змінюються лише трохи, бо висота мала порівняно з радіусом Землі 6 371 км. На таких швидкостях супутник облітає всю планету приблизно за 90–130 хвилин.
На якій висоті знаходиться геостаціонарна орбіта навколо Землі?
Геостаціонарна орбіта лежить на висоті 35 786 км над екватором, де період обертання дорівнює одним зоряним добам (23 год 56 хв 4 с). На цій висоті супутник рухається зі швидкістю близько 3,07 км/с і здається нерухомим над однією точкою земної поверхні — саме тому телевізійні та метеорологічні супутники використовують цей пояс. Та сама логіка застосовна до інших тіл: наприклад, геостаціонарна орбіта навколо Марса лежить на висоті близько 17 000 км.
Чи можна використовувати цей калькулятор для еліптичних орбіт?
Ні — формула \(v = \sqrt{GM/r}\) застосовна лише до колових орбіт. На еліптичній орбіті швидкість постійно змінюється: супутник рухається найшвидше в перигеї (найближчій точці) і найповільніше в апогеї (найдальшій точці). Для еліпсів можна скористатися інтегралом енергії (vis-viva) \(v = \sqrt{GM(2/r - 1/a)}\), де \(a\) — велика піввісь. Результат для колової орбіти дорівнює швидкості за vis-viva, коли еліпс вироджується в коло, тобто коли \(r = a\).
Чому астронавти перебувають у стані невагомості на МКС, якщо вона летить так швидко?
Астронавти «плавають» не тому, що гравітація відсутня, а тому, що вони разом із космічним апаратом перебувають у стані безперервного вільного падіння. Сила гравітації на висоті 400 км становить приблизно 90% від її значення на поверхні. Станція і усе, що в ній, прискорюються до Землі однаково, тому між ними немає контактної сили — саме це створює відчуття невагомості. Якби станція раптом зупинилася, вона впала б просто вниз, як і будь-яке інше тіло.
Як обчислити орбітальну швидкість вручну для іншої планети?
Переведіть радіус орбіти в метри, знайдіть стандартний гравітаційний параметр планети \(GM\) (або помножте її масу на \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\)), а потім візьміть квадратний корінь з \(GM/r\). Наприклад, у Марса \(GM = 4.2828 \times 10^{13}\ \text{м}^3/\text{с}^2\); на висоті 300 км радіус становить приблизно \(3.69 \times 10^6\) м, звідки \(v \approx 3.41\) км/с. Завжди використовуйте метри, кілограми і секунди, щоб уникнути помилок з одиницями.