Калькулятор моменту імпульсу
Обчисліть момент імпульсу L за моментом інерції та кутовою швидкістю або за даними матеріальної точки (маса, швидкість, радіус). Введіть значення в будь-яких одиницях і отримайте L у кг·м²/с (Дж·с).
Момент імпульсу за моментом інерції та кутовою швидкістю або за даними матеріальної точки
Формула моменту імпульсу
Де:
- \(L\) — момент імпульсу (кг·м²/с, що дорівнює Дж·с)
- \(I\) — момент інерції щодо осі обертання (кг·м²)
- \(\omega\) — кутова швидкість (рад/с)
Для матеріальної точки, що рухається по колу радіуса \(r\) з дотичною швидкістю \(v\), та сама величина записується як \(L = m v r\), оскільки момент інерції матеріальної точки дорівнює \(I = mr^2\), а \(\omega = v/r\).
Примітка: нижченаведений кінцевий тег без зворотної риски належить до шорткоду.
Момент імпульсу — приклад обчислення
Приклад: маховик з моментом інерції 2 кг·м² обертається зі швидкістю 60 об/хв. Спочатку переведемо кутову швидкість у радіани на секунду:
\[ \omega = 60 \,\text{rpm} \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi \approx 6.283 \,\text{rad/s} \]
\[ L = I\omega = 2 \times 6.283 = 12.566 \,\text{kg·m}^2/\text{s} \]
Результат: момент імпульсу становить приблизно 12,57 кг·м²/с (що еквівалентно 12,57 Дж·с). Це відповідає стандартним значенням калькулятора, тож ви можете відтворити результат безпосередньо.
Для порівняння: в режимі матеріальної точки тіло масою 1 кг, що рухається зі швидкістю 5 м/с по колу радіуса 0,8 м, має \(L = mvr = 1 \times 5 \times 0.8 = 4\) кг·м²/с.
Як користуватися калькулятором моменту імпульсу
- Виберіть тип об’єкта. Оберіть «Обертове тіло (момент інерції)», якщо вам відомі \(I\) та \(\omega\), або «Матеріальна точка (маса, швидкість, радіус)», якщо вам відомі \(m\), \(v\) та \(r\). Поля введення перемкнуться автоматично.
- Режим твердого тіла: введіть Момент інерції (I) і виберіть його одиницю (кг·м², г·см², lb·ft², lb·in²), потім введіть Кутову швидкість (ω) у рад/с, об/хв, °/с або об/с (Гц).
- Режим матеріальної точки: введіть Масу (m), Дотичну швидкість (v) та Радіус (r) від осі обертання, кожна зі своїм вибором одиниць.
- Прочитайте результат Момент імпульсу у кг·м²/с (Дж·с) разом із таблицею, що показує всі величини, переведені в СІ та інші поширені одиниці, а також точні формули, застосовані до ваших значень.
Що таке момент імпульсу?
Момент імпульсу — це обертовий аналог імпульсу тіла. Якщо імпульс \(p = mv\) описує, скільки поступального руху містить тіло, то момент імпульсу \(L\) описує, скільки обертового руху воно містить щодо певної осі. Він залежить і від маси об’єкта, і від розподілу цієї маси: маховик, у якого більша частина маси знаходиться далеко від осі, накопичує значно більше моменту імпульсу, ніж компактне тіло, що обертається з такою самою швидкістю.
Два режими введення цього калькулятора фізично еквівалентні. Тверде тіло розглядається як сукупність елементів маси, а його опір обертанню узагальнюється моментом інерції \(I\). Матеріальна точка на коловій траєкторії — це найпростіший окремий випадок, де \(I = mr^2\) і \(\omega = v/r\), отже \(L = I\omega = mvr\). Якщо вам потрібен \(I\) для поширеної форми, пам’ятайте: суцільний диск — \(\tfrac{1}{2}MR^2\), тонке кільце — \(MR^2\), суцільна сфера — \(\tfrac{2}{5}MR^2\).
Одиницею моменту імпульсу в СІ є кг·м²/с, що тотожна джоуль-секунді (Дж·с) — тій самій одиниці, що використовується для сталої Планка. Калькулятор також порівнює ваш результат зі зменшеною сталою Планка \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\) Дж·с — природною квантовою одиницею моменту імпульсу. Повсякденні обертові об’єкти мають моменти імпульсу, що астрономічно перевищують \(\hbar\), саме тому квантові ефекти непомітні в макроскопічних масштабах.
Інтерпретація результату: більший \(L\) означає більше накопиченого обертового руху, тож для зупинки або реверсу обертання потрібно більше зусилля (більший момент сили, що діє довший час). Це безпосередньо пов’язано з обертовим аналогом імпульсу — момент сили, помножений на час, дорівнює зміні моменту імпульсу.
Закон збереження моменту імпульсу
Найважливіша властивість моменту імпульсу полягає в тому, що за відсутності зовнішнього моменту сил він зберігається. Фігуристка, що обертається і притискає руки до тіла, зменшує свій момент інерції, тож її кутова швидкість має зрости, щоб \(L = I\omega\) залишалася сталою — класична демонстрація цього принципу. Та сама фізика керує колапсуючими ядрами зір, які розкручуються в нейтронні зорі, гіроскопами та супутниками, що переорієнтуються за допомогою маховиків.
Збереження моменту імпульсу — це обертовий аналог закону збереження імпульсу, який можна дослідити за допомогою калькулятора імпульсу, і воно доповнює закон збереження енергії в аналізі обертових зіткнень і систем, що обертаються. Для колового руху, який лежить в основі режиму матеріальної точки, корисним помічником є калькулятор доцентрової сили.
Припущення та обмеження
- Нерухома вісь обертання: калькулятор припускає обертання навколо однієї нерухомої осі. Для тіл, що перекидаються, або обертання навколо вільної осі (як підкинутий ключ) момент імпульсу є вектором, а \(I\) може змінюватися з орієнтацією, що потребує векторного підходу.
- Дотична швидкість: у режимі матеріальної точки швидкість має бути перпендикулярною до радіуса. Загальна векторна формула — \(L = mvr\sin\theta\); калькулятор використовує \(\sin\theta = 1\), тобто випадок чисто колового руху.
- Невід’ємні вхідні дані: тільки значення величин. Якщо вам потрібно розрізняти напрямки обертання (за годинниковою стрілкою чи проти), призначте знак самостійно: зміна напрямку обертання змінює знак \(L\), але не його значення.
- Перетворення одиниць: стандартні коефіцієнти застосовуються автоматично — 1 об/хв = 0,10472 рад/с, 1 lb·ft² = 0,04214 кг·м², 1 mph = 0,44704 м/с — тож ви можете вільно змішувати системи одиниць, але результати завжди подаються в СІ.
- Вибір осі має значення: момент інерції має бути взято щодо фактичної осі обертання. Використання \(I\) щодо неправильної осі (наприклад, щодо центра чи точки підвісу) дасть хибний результат.
Часті запитання
Як обчислити момент імпульсу вручну, крок за кроком?
Спочатку переведіть усе в одиниці СІ: момент інерції — у кг·м², кутову швидкість — у рад/с. Потім перемножте: L = I × ω. Наприклад, тіло з \(I = 0.5\) кг·м², що обертається зі швидкістю 30 об/хв, має \(\omega = 30 \times 0.10472 \approx 3.14\) рад/с, отже \(L = 0.5 \times 3.14 = 1.57\) кг·м²/с. Для матеріальної точки на коловій траєкторії просто перемножте масу × дотичну швидкість × радіус.
Як самостійно перевести об/хв у рад/с?
Один оберт — це \(2\pi\) радіанів, а одна хвилина — 60 секунд, тож помножте об/хв на \(2\pi/60 \approx 0.10472\). Швидка довідка: 60 об/хв = 1 об/с = \(2\pi \approx 6.283\) рад/с; 120 об/хв ≈ 12,57 рад/с. Зворотне перетворення: розділіть рад/с на 0,10472, щоб отримати об/хв. Ніколи не використовуйте об/хв чи градуси на секунду безпосередньо у \(L = I\omega\) — формула працює лише з радіанами, оскільки радіани є безрозмірнісними.
Чи момент імпульсу завжди додатний? Чи може він бути від’ємним?
Значення моменту імпульсу завжди невід’ємне, і цей калькулятор подає тільки значення величин. Однак момент імпульсу насправді є вектором, і його знак (або напрямок) залежить від напрямку обертання: за домовленістю, обертання проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця осі, є додатним, а за годинниковою — від’ємним. Зміна напрямку обертання змінює знак, але значення залишається тим самим. Призначте знак самостійно, якщо вам потрібно відстежувати напрямок, наприклад при перевірці збереження під час зіткнення.
Який типовий момент імпульсу повсякденних об’єктів?
Він сильно залежить від розміру та швидкості. Велосипедне колесо, що обертається зі швидкістю пішохода, несе приблизно 1–10 кг·м²/с; колесо автомобіля на шосейній швидкості — десятки кг·м²/с; фігуристка, що швидко обертається, — близько 10–50 кг·м²/с; обертання Землі — колосальні \(7 \times 10^{33}\) кг·м²/с. Натомість квантові системи, як-от орбіти електронів, мають моменти імпульсу порядку \(10^{-34}\) Дж·с, саме тому калькулятор порівнює ваш результат зі зменшеною сталою Планка.
Яка різниця між моментом імпульсу та кінетичною енергією обертання?
Вони описують різні речі. Момент імпульсу \(L = I\omega\) вимірює кількість обертового руху і зберігається, коли не діє зовнішній момент сил. Кінетична енергія обертання \(E = \tfrac{1}{2}I\omega^2\) вимірює енергію, накопичену в обертанні, і може перетворюватися на тепло чи роботу. Вони по-різному залежать від швидкості: подвоєння \(\omega\) подвоює \(L\), але вчетверо збільшує енергію. Фігуристка, що притискає руки, зберігає \(L\) сталим, тоді як її кінетична енергія фактично зростає — за рахунок роботи притискання.
Я знаю форму свого об’єкта, але не його момент інерції. Як знайти I?
Використайте стандартну формулу для цієї форми та осі. Суцільний диск або циліндр щодо центру — \(\tfrac{1}{2}MR^2\), тонке кільце — \(MR^2\), суцільна сфера щодо центру — \(\tfrac{2}{5}MR^2\), стрижень щодо центру — \(\tfrac{1}{12}ML^2\). Якщо вісь паралельна до осі через центр мас, але зміщена від нього на відстань \(d\), застосуйте теорему Штайнера: \(I = I_{cm} + Md^2\). Потім підставте \(I\) у калькулятор разом із вашою кутовою швидкістю.
Які найпоширеніші помилки під час обчислення моменту імпульсу?
Найбільша — використання кутової швидкості в об/хв чи градусах на секунду замість рад/с — це завищує результат приблизно в 10 або 57 разів. Інші помилки: використання моменту інерції щодо неправильної осі (центр чи точка підвісу), використання діаметра замість радіуса, а в режимі матеріальної точки — швидкості, що не перпендикулярна до радіуса (тоді потрібна \(L = mvr\sin\theta\)). Також не плутайте масу в фунтах з масою в кілограмах — фунти треба перетворювати (1 lb = 0,4536 кг).