Калькулятор кінетичної енергії обертання
Обчисліть кінетичну енергію обертання тіла або маховика, що обертається, за його моментом інерції та кутовою швидкістю або за масою та радіусом суцільного диска. За потреби додайте поступальну кінетичну енергію для тіл, що котяться.
Знайдіть кінетичну енергію тіла, що обертається, або маховика
Формула кінетичної енергії обертання
Де:
- \(E_{rot}\) — кінетична енергія обертання (Дж)
- \(I\) — момент інерції тіла відносно осі обертання (кг·м²)
- \(\omega\) — кутова швидкість (рад/с)
- \(m\) — маса диска (кг)
- \(r\) — радіус диска (м)
- \(v\) — лінійна швидкість центра мас (м/с), лише якщо тіло також рухається поступально
Формула показує, що енергія, накопичена в тілі, яке обертається, зростає із моментом інерції та з квадратом кутової швидкості: подвоєння швидкості обертання дає вчетверо більше накопиченої енергії. Для тіла, яке також рухається прямолінійно, наприклад колеса, що котиться, обертальна і поступальна частини просто додаються.
Кінетична енергія обертання — приклад розрахунку
Приклад: суцільний маховик масою 20 кг і радіусом 0,5 м обертається зі швидкістю 3000 об/хв; сам маховик також рухається вперед зі швидкістю 10 м/с.
\[ I = \tfrac{1}{2} m r^2 = \tfrac{1}{2} \times 20 \times 0.5^2 = 2.5\ \text{kg·m}^2 \\ \omega = 3000 \times \frac{2\pi}{60} = 314.16\ \text{rad/s} \\ E_{rot} = \tfrac{1}{2} \times 2.5 \times 314.16^2 = 123{,}370\ \text{J} \\ E_{trans} = \tfrac{1}{2} \times 20 \times 10^2 = 1000\ \text{J} \\ E_{total} = 123{,}370 + 1000 = 124{,}370\ \text{J} \
]
Результат: маховик накопичує близько 123,37 кДж обертальної енергії; з урахуванням його поступального руху повна кінетична енергія становить близько 124,37 кДж (≈ 34,5 Вт·год) — цього достатньо, щоб лампочка потужністю 60 Вт світила приблизно 34 хвилини.
[/wp_code]
Як користуватися калькулятором
- Виберіть режим введення: або «Момент інерції та кутова швидкість», якщо ви вже знаєте \(I\), або «Маса і радіус (суцільний диск / маховик)» — і калькулятор знайде \(I = \tfrac{1}{2}mr^2\) за вас.
- Якщо ви обрали режим диска, введіть масу (m) і радіус (r) диска з відповідними одиницями.
- Введіть кутову швидкість (ω) в об/хв, рад/с, град/с або об/с. Знак ігнорується, оскільки напрямок обертання не впливає на енергію.
- Якщо тіло також рухається прямолінійно (наприклад, колесо, що котиться), позначте Додати поступальну кінетичну енергію і заповніть масу, що рухається поступально (m), та лінійну швидкість (v).
- Прочитайте результати: кінетичну енергію обертання в джоулях, кілоджоулях і ват-годинах, а також розпис із моментом інерції та кожним проміжним кроком.
Що таке кінетична енергія обертання?
Кінетична енергія обертання — це енергія, якою володіє тіло через те, що воно обертається, а не рухається прямолінійно. Так само, як автомобіль, що рухається, несе кінетичну енергію \(\tfrac{1}{2}mv^2\), маховик, ротор турбіни, стельовий вентилятор або колесо, що котиться, накопичує енергію, яку описує вираз \(\tfrac{1}{2}I\omega^2\). Ці дві формули — точні аналоги: момент інерції \(I\) відіграє роль маси, а кутова швидкість \(\omega\) — роль швидкості.
Момент інерції показує, як маса тіла розподілена навколо осі обертання. Маса, далека від осі, дає набагато більший внесок, ніж маса біля неї — саме тому маховик із масою, зосередженою на ободі, накопичує приблизно вдвічі більше енергії, ніж однорідний суцільний диск тієї ж маси й радіуса. З тієї ж причини фігуристи притискають руки, щоб обертатися швидше: за відсутності зовнішнього моменту сил момент імпульсу \(I\omega\) залишається сталим, тож зменшення \(I\) збільшує \(\omega\) — а оскільки енергія зростає як \(\omega^2\), їм доводиться виконувати роботу, щоб притиснути руки.
Оскільки енергія зростає як квадрат швидкості обертання, швидкохідні маховики можуть накопичувати великі кількості енергії у компактному об’ємі — саме тому їх використовують для накопичення енергії в електромережах, рекуперативного гальмування та джерел безперебійного живлення. Подвоєння об/хв маховика збільшує накопичену енергію вчетверо — але й вчетверо збільшує напруження в матеріалі, що й є практичною межею швидкості маховика.
Якщо тіло і обертається, і рухається поступально, повна кінетична енергія є простою сумою двох частин. Колесо, що котиться, наприклад, несе \(\tfrac{1}{2}mv^2\) від поступального руху плюс \(\tfrac{1}{2}I\omega^2\) від обертання. Кожну частину можна обчислити окремо за допомогою нашого калькулятора кінетичної енергії, а перетворення енергії між формами — за допомогою калькулятора закону збереження енергії.
Припущення, обмеження та практичні поради
- Тільки суцільний диск у режимі диска. Режим «маса і радіус» передбачає однорідний суцільний диск з \(I = \tfrac{1}{2}mr^2\). Для інших форм — кільця або маховика з тонким ободом (\(I = mr^2\)), суцільної кулі (\(I = \tfrac{2}{5}mr^2\)) чи стрижня відносно центра (\(I = \tfrac{1}{12}ml^2\)) — обчисліть \(I\) самостійно та використовуйте режим «Момент інерції та кутова швидкість».
- Абсолютно тверде тіло, стала швидкість обертання. Формула застосовна до тіл, які не деформуються та обертаються з постійною швидкістю; вона не враховує тертя, опір повітря та втрати на внутрішні коливання.
- ω у формулі має бути в рад/с. Калькулятор автоматично конвертує об/хв, град/с і об/с; виконуючи розрахунок вручну, пам'ятайте: 1 об/хв ≈ 0,10472 рад/с.
- Одиниці мають значення. Змішування систем одиниць (наприклад, lb·ft² з об/хв) — типове джерело помилок; калькулятор внутрішньо переводить усе в СІ, тому його результати завжди в джоулях.
- Зауваження щодо безпеки. Енергія, накопичена швидким важким маховиком, при його руйнуванні вивільняється майже миттєво. Маховик масою 20 кг за 3000 об/хв накопичує понад 123 кДж — це можна порівняти з невеликою легковою машиною на швидкості 50 км/год — тому в реальних конструкціях маховиків неодмінно потрібно передбачати стримування уламків при руйнуванні.
Пов’язані інструменти: щоб дізнатися, наскільки швидко двигун має постачати цю енергію, скористайтеся калькулятором потужності; для енергії, накопиченої в пружині замість обертання, див. калькулятор пружної потенційної енергії або загальний калькулятор потенційної енергії.
Часті запитання
Як обчислити кінетичну енергію обертання вручну?
Спочатку переведіть швидкість обертання в рад/с: помножте об/хв на \(2\pi/60\) (приблизно 0,10472). Потім знайдіть момент інерції — для суцільного диска він дорівнює \(\tfrac{1}{2}mr^2\), де маса — у кілограмах, а радіус — у метрах. Нарешті, підставте значення в \(E_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2\). Результат вийде в джоулях. Завжди використовуйте одиниці СІ на всіх етапах; саме тут і виникає більшість помилок при ручних розрахунках.
Як перевести об/хв у рад/с?
Один оберт — це \(2\pi\) радіан, а одна хвилина — 60 секунд, тому помножте об/хв на \(2\pi/60 \approx 0,10472\). Наприклад, 1500 об/хв — це близько 157,08 рад/с. У зворотному напрямку поділіть рад/с на 0,10472, щоб отримати об/хв. Ніколи не використовуйте об/хв безпосередньо у формулі \(\tfrac{1}{2}I\omega^2\) — вона працює лише з радіанами за секунду.
Який момент інерції використовувати для фігур, відмінних від суцільного диска?
Режим диска передбачає \(I = \tfrac{1}{2}mr^2\). Для інших форм обчисліть \(I\) окремо й перемкніть калькулятор у режим «Момент інерції та кутова швидкість»: порожнє тонке кільце \(I = mr^2\), суцільна куля \(\tfrac{2}{5}mr^2\), порожня куля \(\tfrac{2}{3}mr^2\), стрижень відносно центра \(\tfrac{1}{12}ml^2\), довгий стрижень відносно кінця \(\tfrac{1}{3}ml^2\). Реальний маховик, у якого більша частина маси зосереджена на ободі, близький до \(mr^2\) і накопичує приблизно вдвічі більше енергії, ніж суцільний диск.
Як врахувати колесо, що котиться без проковзування?
При коченні без проковзування лінійна швидкість і швидкість обертання пов’язані співвідношенням \(v = \omega r\). Можна або ввести обидві величини незалежно та позначити опцію поступального руху, або вивести одну з іншої. Стежте, щоб введені \(v\) і \(\omega\) фізично не суперечили одна одній — калькулятор не перевірятиме за вас умову кочення. Також переконайтеся, що ви використовуєте швидкість центра мас, а не швидкість обода.
Скільки енергії може накопичити реальний маховик?
Комерційні системи накопичення енергії на маховиках зазвичай накопичують від кількох кілоджоулів до кількох мегаджоулів (приблизно 0,5–150 кВт·год на одиницю) зі швидкостями обода 300–1000 м/с у роторах із вуглецевого волокна. Стальні маховики обмежені нижчими швидкостями, оскільки напруження зростає як \(\omega^2\) — так само, як і сама енергія. Якщо ви оцінюєте проект накопичення енергії, порівняйте результат цього калькулятора в джоулях або ват-годинах із номінальною ємністю комерційних установок.
Які найпоширеніші помилки в розрахунках обертальної енергії?
Найпоширеніші помилки: використання об/хв або градусів за секунду безпосередньо замість рад/с; введення діаметра замість радіуса; змішування систем одиниць, наприклад фунтів із метрами; застосування формули суцільного диска \(\tfrac{1}{2}mr^2\) до маховика з масою на ободі (що занижує енергію приблизно вдвічі); і забування поступальної частини для тіла, що котиться. Перевірте кожен із цих пунктів, перш ніж довіритися результату.
Чому подвоєння швидкості обертання збільшує енергію вчетверо?
Тому що кутова швидкість входить у формулу в квадраті: \(E = \tfrac{1}{2}I\omega^2\), тому \(2\omega\) дає \(4E\). Те саме відбувається зі швидкістю у формулі \(\tfrac{1}{2}mv^2\). Саме тому конструктори маховиків прагнуть до вищих об/хв, а не до важчих роторів — подвоєння \(\omega\) додає набагато більше енергії, ніж подвоєння \(I\) — але це також означає, що відцентрові напруження зростають у чотири рази, що в підсумку й обмежує безпечну швидкість обертання маховика.