Калькулятор довірчого інтервалу

Q: Як обчислити довірчий інтервал вручну, крок за кроком?

Виконайте п’ять кроків: (1) обчисліть точкову оцінку — вибіркове середнє barx або частку hatp; (2) обчисліть стандартну похибку s/√(n) або sqrthatp(1-hatp)/n; (3) знайдіть критичне значення — t_α/2, n-1 з таблиці t-розподілу або z_α/2 = 1,96 при 95%; (4) помножте критичне значення на стандартну похибку, щоб отримати граничну похибку; (5) додайте граничну похибку до оцінки та відніміть її від неї. Заокруглюйте лише в самому кінці.

Q: Який обсяг вибірки потрібен, щоб отримати задану граничну похибку?

Виразіть n із формули граничної похибки. Для середнього: n = (z s / ME)^2. Для частки найконсервативніший вибір припускає hatp = 0.5: n = z^2 · 0.25 / ME^2. Наприклад, 95% інтервал для частки з граничною похибкою 0,03 потребує 1.96^2 × 0.25 / 0.03^2 ≈ 1068 спостережень. Завжди заокруглюйте вгору до наступного цілого числа, оскільки менша вибірка не досягне мети.

Q: Як знайти критичне значення без калькулятора або таблиці?

Запам’ятайте поширені двобічні значення z: 80% → 1,28, 90% → 1,64, 95% → 1,96, 98% → 2,33, 99% → 2,58. Для розподілу Стьюдента з малими вибірками інтерполюйте таблицю t-розподілу за ступенями вільності n-1 або використовуйте наближення t ≈ z + (z^3+z)/(4(n-1)) для швидкої оцінки. Зауважте, що 1,96 стосується лише двобічних інтервалів; однобічне 95% значення z дорівнює 1,64.

Q: Чи означає 95% довірчий інтервал, що з ймовірністю 95% справжнє значення лежить у ньому?

Не зовсім, і це найпоширеніше хибне тлумачення. 95% описує довгостроковий показник успішності методу: якби ви взяли багато вибірок і побудували інтервал з кожної, приблизно 95% цих інтервалів охопили б справжній параметр. Щойно конкретний інтервал обчислено, справжнє значення або лежить у ньому, або ні — повторної випадковості більше не залишається. Статистики уникають приписування ймовірності одному готовому інтервалу.

Q: Чи можна ввести відсоток, наприклад 55, замість 0,55 для частки?

Ні — калькулятор очікує частку у вигляді десяткового дробу строго між 0 і 1, тому для 55% вводьте 0,55. Втім, результат показує обидві форми: межі виводяться як десяткові дроби та як відсотки. Якщо ви введете 55, стандартна похибка буде в тисячі разів завеликою, а інтервал — беззмістовним. Швидка перевірка: частки завжди мають лежати між 0 і 1.

Q: Мої дані асиметричні або містять викиди. Чи дійсний інтервал?

Для малих вибірок (приблизно n < 30) інтервал на основі t-розподілу припускає, що вихідні дані приблизно нормальні, і сильна асиметрія або викиди можуть його спотворити — натомість розгляньте бутстреп-інтервал або метод на основі медіани. Для більших вибірок центральна гранична теорема робить інтервал для середнього цілком стійким, хоча екстремальні викиди все одно завищують стандартне відхилення і розширюють інтервал. Вилучення даних після їх перегляду, як правило, руйнує гарантію довіри.

Q: Які найпоширеніші помилки при обчисленні довірчих інтервалів?

Найголовніші помилки: використання z замість t, коли стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме і n мале (інтервал надто вузький); ділення на n замість √(n) при обчисленні стандартної похибки; використання стандартного відхилення середнього замість відхилення окремих спостережень; плутання рівня довіри з ймовірністю того, що параметр міститься в одному інтервалі; і застосування інтервалу до іншої сукупності, ніж та, з якої взято вибірку. Також перевіряйте, що n — це кількість спостережень, а не груп чи відсотків.

Оновлено: 02.10.2026

Обчисліть довірчий інтервал для середнього значення або частки генеральної сукупності. Введіть вибіркові статистики, оберіть рівень довіри та отримайте граничну похибку, нижню й верхню межі.

Обчисліть довірчий інтервал

Тип оцінки

Вибіркове середнє (x̄)

x̄

Для частки введіть вибіркову частку у вигляді десяткового числа, напр. 0,55 для 55%.

Обсяг вибірки (n)

Кількість спостережень. Має бути цілим числом не менше 2.

Рівень довіри

Метод критичного значення

Рахувати автоматичноЯкщо увімкнено, результат оновлюватиметься автоматично після зміни будь-якого значення.

Ваші результати

Гранична похибкаME

Нижня довірча межаLCL

Верхня довірча межаUCL

Стандартна похибкаSE

Критичне значенняz / t

Інтервал і деталі

Формула довірчого інтервалу

Формула

\\[ \\text{ДІ для середнього:} \\quad \\bar{x} \\pm t_{\\alpha/2,\\,n-1}\\cdot\\frac{s}{\\sqrt{n}} \\qquad \\text{ДІ для частки:} \\quad \\hat{p} \\pm z_{\\alpha/2}\\cdot\\sqrt{\\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}} \]

Де:

\\(\\bar{x}\) — вибіркове середнє (точкова оцінка генерального середнього)
\\(\\hat{p}\) — вибіркова частка, яку вводять у вигляді десяткового дробу (напр. 0,55 для 55%)
\(s\) — вибіркове стандартне відхилення
\(n\) — обсяг вибірки (кількість спостережень)
\\(t_{\\alpha/2,\\,n-1}\) — критичне значення t-розподілу Стьюдента з \(n-1\) ступенями вільності (використовується, коли \(s\) оцінює невідоме \(\\sigma\))
\\(z_{\\alpha/2}\) — критичне значення стандартного нормального розподілу
\\(\\alpha = 1 - \\text{рівень довіри}\) — рівень значущості

Формула будує інтервал як точкову оцінку плюс-мінус граничну похибку, де гранична похибка — це критичне значення, помножене на стандартну похибку \\(SE = s/\\sqrt{n}\) (для середнього) або \\(SE = \\sqrt{\\hat{p}(1-\\hat{p})/n}\) (для частки).

Довірчий інтервал – приклад обчислення

Приклад: вибірка з 25 вимірювань має середнє 100 і стандартне відхилення 15. Знайдіть 95% довірчий інтервал для генерального середнього. Оскільки \(n < 30\), а стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, використовується t-розподіл з \(n - 1 = 24\) ступенями вільності.

\\[ SE = \\frac{s}{\\sqrt{n}} = \\frac{15}{\\sqrt{25}} = 3 \]

\\[ t_{0.025,\\,24} \\approx 2.0639, \\quad ME = 2.0639 \\times 3 \\approx 6.1917 \]

\\[ \\text{ДІ} = 100 \\pm 6.1917 = (93.8083,\\; 106.1917) \]

Результат: 95% довірчий інтервал становить приблизно (93,81; 106,19) з граничною похибкою ±6,19. Ви можете відтворити це, використавши стандартні значення калькулятора.

Як користуватися калькулятором довірчого інтервалу

Оберіть Тип оцінки: «Вибіркове середнє» для середніх значень виміряних даних або «Вибіркова частка» для відсотків або кількості успіхів.
Введіть Вибіркове середнє (x̄). Для частки введіть значення у вигляді десяткового дробу від 0 до 1, напр. 0,55 для 55%.
Якщо обрано середнє, введіть Вибіркове стандартне відхилення (s). Для часток це поле приховано.
Введіть Обсяг вибірки (n) — ціле число не менше 2.
Оберіть Рівень довіри: 80%, 90%, 95%, 98%, 99% або 99,9%. Найпоширеніший вибір — 95%.
Вкажіть Метод критичного значення. Типовий режим «Автоматично» використовує розподіл Стьюдента, коли \(n < 30\), і нормальне значення z, коли \(n \ge 30\). Обирайте «Нормальне z» лише тоді, коли стандартне відхилення генеральної сукупності \\(\\sigma\) відоме.
Прочитайте результати: Гранична похибка, Нижня довірча межа, Верхня довірча межа, Стандартна похибка, використане Критичне значення, а також блок подробиць із повним інтервалом і його тлумаченням.

Що означає довірчий інтервал

Довірчий інтервал — це діапазон правдоподібних значень невідомого параметра генеральної сукупності, наприклад середнього або частки, побудований на основі однієї вибірки. Вибіркове середнє чи вибіркова частка — це лише точкова оцінка — навряд чи вона точно збігатиметься зі справжнім значенням. Інтервал доповнює цю оцінку граничною похибкою, яка відображає, наскільки оцінка могла б правдоподібно зсунутися, якби ви взяли іншу вибірку.

Рівень довіри описує довгострокову поведінку процедури, а не ймовірність для одного конкретного інтервалу. Якби ви повторили вибіркове дослідження багато разів і щоразу обчислили інтервал, приблизно 95% цих інтервалів (при рівні 95%) містили б справжнє значення генеральної сукупності. Щойно інтервал обчислено, параметр або міститься в ньому, або ні; невизначеність стосується методу, а не однієї пари чисел.

Ширина інтервалу несе більшість практично корисної інформації. Вузький інтервал означає точну оцінку; широкий інтервал означає, що дані залишають значні сумніви. Ширина зростає зі стандартним відхиленням і з критичним значенням (вищий рівень довіри → ширший інтервал) і зменшується зі зростанням обсягу вибірки — збільшення \(n\) у чотири рази приблизно вдвічі зменшує граничну похибку, оскільки \(SE\) ділиться на \\(\\sqrt{n}\).

Довідка: поширені критичні значення (двобічні)

Рівень довіри	Критичне значення z	t (ст. в. = 24, для порівняння)
80%	1,2816	1,3178
90%	1,6449	1,7109
95%	1,9600	2,0639
98%	2,3263	2,4922
99%	2,5758	2,7969
99,9%	3,2905	3,7454

Припущення, обмеження та поради

Випадкова вибірка. Інтервал дійсний лише для тієї генеральної сукупності, з якої фактично здійснено вибірку. Невипадкові або «зручні» вибірки руйнують гарантію покриття.
t проти z. Коли стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме й оцінюється через \\(s\), правильним є розподіл Стьюдента; він враховує додаткову невизначеність в оцінюванні \\(\\sigma\) і дає ширший, більш чесний інтервал, особливо за малих \(n\). Використовуйте z лише тоді, коли \\(\\sigma\) справді відоме, або коли \(n\) настільки велике, що різниця несуттєва.
Нормальність. Для малих вибірок інтервал для середнього припускає, що вихідні дані приблизно нормальні. За \(n \ge 30\) центральна гранична теорема робить це припущення здебільшого зайвим, якщо тільки дані не надто асиметричні.
Частки. Інтервал Вальда, що застосовується для часток, спирається на нормальне наближення. Він добре працює, коли \\(n\\hat{p} \\ge 5\) і \\(n(1-\\hat{p}) \\ge 5\); калькулятор попереджає, якщо ця умова не виконується. Для малих вибірок або часток, близьких до 0 чи 1, надійнішим є інтервал оцінки Вільсона.
Вища довіра коштує ширини. Перехід від 95% до 99% помітно розширює інтервал. Обирайте рівень, що відповідає тому, наскільки серйозною була б помилка у вашій задачі, а не просто найвражаючішому числу.
Не плутайте точність із довірою. 99% інтервал за 10 спостереженнями може бути таким широким, що стане практично непотрібним. Щоб отримати вузький інтервал, збільшуйте \(n\), а не рівень довіри.

Часті запитання

Як обчислити довірчий інтервал вручну, крок за кроком?

Виконайте п’ять кроків: (1) обчисліть точкову оцінку — вибіркове середнє \(\bar{x}\) або частку \(\hat{p}\); (2) обчисліть стандартну похибку \(s/\sqrt{n}\) або \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\); (3) знайдіть критичне значення — \(t_{\alpha/2,\,n-1}\) з таблиці t-розподілу або \(z_{\alpha/2}\) = 1,96 при 95%; (4) помножте критичне значення на стандартну похибку, щоб отримати граничну похибку; (5) додайте граничну похибку до оцінки та відніміть її від неї. Заокруглюйте лише в самому кінці.

Який обсяг вибірки потрібен, щоб отримати задану граничну похибку?

Виразіть \(n\) із формули граничної похибки. Для середнього: \(n = (z\,s / ME)^2\). Для частки найконсервативніший вибір припускає \(\hat{p} = 0.5\): \(n = z^2 \cdot 0.25 / ME^2\). Наприклад, 95% інтервал для частки з граничною похибкою 0,03 потребує \(1.96^2 \times 0.25 / 0.03^2 \approx 1068\) спостережень. Завжди заокруглюйте вгору до наступного цілого числа, оскільки менша вибірка не досягне мети.

Як знайти критичне значення без калькулятора або таблиці?

Запам’ятайте поширені двобічні значення z: 80% → 1,28, 90% → 1,64, 95% → 1,96, 98% → 2,33, 99% → 2,58. Для розподілу Стьюдента з малими вибірками інтерполюйте таблицю t-розподілу за ступенями вільності \(n-1\) або використовуйте наближення \(t \approx z + (z^3+z)/(4(n-1))\) для швидкої оцінки. Зауважте, що 1,96 стосується лише двобічних інтервалів; однобічне 95% значення z дорівнює 1,64.

Чи означає 95% довірчий інтервал, що з ймовірністю 95% справжнє значення лежить у ньому?

Не зовсім, і це найпоширеніше хибне тлумачення. 95% описує довгостроковий показник успішності методу: якби ви взяли багато вибірок і побудували інтервал з кожної, приблизно 95% цих інтервалів охопили б справжній параметр. Щойно конкретний інтервал обчислено, справжнє значення або лежить у ньому, або ні — повторної випадковості більше не залишається. Статистики уникають приписування ймовірності одному готовому інтервалу.

Чи можна ввести відсоток, наприклад 55, замість 0,55 для частки?

Ні — калькулятор очікує частку у вигляді десяткового дробу строго між 0 і 1, тому для 55% вводьте 0,55. Втім, результат показує обидві форми: межі виводяться як десяткові дроби та як відсотки. Якщо ви введете 55, стандартна похибка буде в тисячі разів завеликою, а інтервал — беззмістовним. Швидка перевірка: частки завжди мають лежати між 0 і 1.

Мої дані асиметричні або містять викиди. Чи дійсний інтервал?

Для малих вибірок (приблизно \(n < 30\)) інтервал на основі t-розподілу припускає, що вихідні дані приблизно нормальні, і сильна асиметрія або викиди можуть його спотворити — натомість розгляньте бутстреп-інтервал або метод на основі медіани. Для більших вибірок центральна гранична теорема робить інтервал для середнього цілком стійким, хоча екстремальні викиди все одно завищують стандартне відхилення і розширюють інтервал. Вилучення даних після їх перегляду, як правило, руйнує гарантію довіри.

Які найпоширеніші помилки при обчисленні довірчих інтервалів?

Найголовніші помилки: використання z замість t, коли стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме і \(n\) мале (інтервал надто вузький); ділення на \(n\) замість \(\sqrt{n}\) при обчисленні стандартної похибки; використання стандартного відхилення середнього замість відхилення окремих спостережень; плутання рівня довіри з ймовірністю того, що параметр міститься в одному інтервалі; і застосування інтервалу до іншої сукупності, ніж та, з якої взято вибірку. Також перевіряйте, що \(n\) — це кількість спостережень, а не груп чи відсотків.