Расчёт стоимости аннуитета пренумерандо

Обновлено: 3 октября, 2026

Рассчитайте текущую и будущую стоимость аннуитета пренумерандо, при котором платежи осуществляются в начале каждого периода. Введите сумму платежа, процентную ставку за период и число периодов.

Калькулятор текущей и будущей стоимости аннуитета пренумерандо

Сумма платежа

PMT

Введите фиксированную сумму аннуитетного платежа

Процентная ставка за период

Введите процентную ставку за период (в %)

Количество периодов

Введите общее количество периодов платежей

Рассчитывать автоматическиЕсли включено, результат будет автоматически обновляться при изменении любого значения.

Ваш результат

Текущая стоимость

Будущая стоимость

Формула стоимости аннуитета пренумерандо

Формула

\[ \text{PV}_{\text{пренумерандо}} = PMT \times \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \times (1 + r) \] \[ \text{FV}_{\text{пренумерандо}} = PMT \times \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \times (1 + r) \]

Где:

$PMT$ — фиксированный платёж, вносимый в начале каждого периода
$r$ — процентная ставка за период (в виде десятичной дроби)
$n$ — общее число платёжных периодов
$\text{PV}_{\text{пренумерандо}}$ — текущая стоимость аннуитета пренумерандо
$\text{FV}_{\text{пренумерандо}}$ — будущая стоимость аннуитета пренумерандо

Обе формулы — это формулы обыкновенного аннуитета (постнумерандо), умноженные на $(1 + r)$, поскольку каждый платёж сдвинут на один период раньше и, соответственно, приносит (или дисконтируется на) один дополнительный период начисления процентов.

Стоимость аннуитета пренумерандо — пример расчёта

Пример: вы вносите 1000 $ в начале каждого года в течение 10 лет на счёт с доходностью 5% в год.

\[ \text{PV}_{\text{пренумерандо}} = 1000 \times \frac{1 - (1.05)^{-10}}{0.05} \times 1.05 = 8{,}107.82 \]

\[ \text{FV}_{\text{пренумерандо}} = 1000 \times \frac{(1.05)^{10} - 1}{0.05} \times 1.05 = 13{,}206.79 \]

Результат: десять взносов сегодня стоят 8 107,82 $ и вырастут до 13 206,79 $ к концу 10-го года.

Как пользоваться калькулятором

Введите сумму фиксированного платежа в поле Сумма платежа (например, 1000).
Введите Ставку за период в процентах, а не десятичной дробью (например, введите 5 для 5%, а не 0,05).
Введите общее число платежей в поле Число периодов.
Прочитайте в результатах Текущую стоимость (сколько поток платежей стоит сегодня) и Будущую стоимость (до какой суммы он накопится).

Что такое аннуитет пренумерандо?

Аннуитет — это серия равных платежей, осуществляемых через равные промежутки времени. Аннуитет пренумерандо — это аннуитет, при котором каждый платёж приходится на начало периода: арендная плата, вносимая первого числа месяца, страховые премии, уплачиваемые авансом, или пенсионные взносы, размещаемые в начале каждого года. Это отличает его от обыкновенного аннуитета (постнумерандо), при котором платежи осуществляются в конце каждого периода.

Разница во времени имеет значение. Поскольку каждый платёж аннуитета пренумерандо поступает на один период раньше, каждый из них имеет один дополнительный период для начисления сложных процентов (при расчёте будущей стоимости) или дисконтируется на один период меньше (при расчёте текущей стоимости). Именно поэтому обе формулы содержат дополнительный множитель $(1 + r)$: аннуитет пренумерандо всегда стоит ровно в $(1 + r)$ раз больше соответствующего обыкновенного аннуитета.

Текущая стоимость отвечает на вопрос «сколько стоит этот поток будущих платежей в сегодняшних деньгах?» — это полезно при оценке аренды, варианта пенсионной выплаты или потока доходов, который вы хотите купить или продать. Будущая стоимость отвечает на вопрос «до какой суммы накопятся эти платежи к концу срока?» — это полезно при планировании целей по сбережениям, например пенсионного фонда, формируемого из регулярных взносов в начале каждого года.

Если ваши платежи осуществляются в конце каждого периода, воспользуйтесь калькуляторами Текущая стоимость аннуитета или Будущая стоимость аннуитета, в которых применяются формулы обыкновенного аннуитета. Если платежи начинаются только после отсрочки, см. калькулятор Платежи по отложенному аннуитету.

Предположения и практические советы

Ставка за период: калькулятор ожидает процентную ставку за один платёжный период. Если платежи ежемесячные, а ставка указана годовая, сначала разделите её на 12 (например, 6% в год = 0,5% в месяц). Калькулятор Эффективная годовая доходность поможет перевести ставки между разными частотами начисления.
Постоянные платежи и ставка: формулы предполагают, что сумма платежа и процентная ставка остаются неизменными на протяжении всех $n$ периодов. Для растущих платежей или меняющихся ставок результаты не будут точными.
Нулевая ставка: если процентная ставка равна 0, оба значения просто равны $PMT \times n$ — деньги не приносят сложных процентов и не дисконтируются.
Проверка времени платежей: если результат кажется слишком большим по сравнению с ответом из учебника для обыкновенного аннуитета, убедитесь, что ваши платежи действительно осуществляются в начале каждого периода; в противном случае применяются формулы обыкновенного аннуитета.
Почему ставка так важна: небольшие изменения $r$ накапливаются на протяжении многих периодов. Чтобы посмотреть, как растёт единовременная сумма при начислении сложных процентов, см. калькулятор Сложный процент.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать стоимость аннуитета пренумерандо вручную, без калькулятора?

Сначала вычислите коэффициент обыкновенного аннуитета: для текущей стоимости используйте $\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$, для будущей — $\frac{(1+r)^n-1}{r}$. Умножьте результат на сумму платежа, затем ещё раз умножьте на $(1+r)$, чтобы учесть платёж в начале периода. Например, при $PMT=500$, $r=0.04$, $n=6$: $FV = 500 \times \frac{1.04^6-1}{0.04} \times 1.04 \approx 3{,}391.90$. Режим BGN финансового калькулятора делает то же самое автоматически.

В чём разница между аннуитетом пренумерандо и обыкновенным аннуитетом?

Разница только во времени платежей: аннуитет пренумерандо предполагает выплату в начале каждого периода, а обыкновенный аннуитет — в конце. Поскольку каждый платёж аннуитета пренумерандо поступает на один период раньше, каждый платёж приносит проценты за один дополнительный период, поэтому аннуитет пренумерандо стоит ровно в $(1+r)$ раза больше обыкновенного. При ставке 5% аннуитет пренумерандо на 5% ценнее. Типичные примеры аннуитета пренумерандо — арендная плата и страховые премии; платежи по кредитам и купоны по облигациям являются обыкновенным аннуитетом.

Как быть с ежемесячными платежами, если ставка указана как годовая?

Приведите всё к частоте платежей. Если вы вносите деньги ежемесячно при номинальной годовой ставке 6%, используйте $r = 0.06/12 = 0.005$ за период и считайте периоды в месяцах (10 лет = 120 периодов). Остерегайтесь путаницы между APR и эффективной годовой доходностью: если ваша ставка — эффективная годовая доходность, простое деление на 12 будет неточным — используйте $(1+EAR)^{1/12}-1$, чтобы получить истинную месячную ставку. Несоответствие ставки и периода — одна из самых распространённых ошибок.

Почему будущая стоимость выше текущей?

Будущая стоимость больше, потому что каждый платёж приносит проценты с момента внесения до конца срока — первый платёж приносит сложные проценты за все $n$ периодов. Текущая стоимость меньше, потому что деньги, поступающие в будущем, дисконтируются, чтобы отразить их стоимость в сегодняшних деньгах. Только при нулевой процентной ставке оба значения равны $PMT \times n$. Разрыв между PV и FV увеличивается с ростом ставки или числа периодов.

Что произойдёт, если ввести отрицательную или нулевую процентную ставку?

При нулевой ставке оба значения равны $PMT \times n$ — начисление процентов и дисконтирование отсутствуют. Калькулятор допускает минимум 0, а сама формула при $r=0$ не работает, поскольку происходит деление на $r$ (хотя предел определён корректно). Отрицательные ставки действительно встречаются на некоторых рынках и в задачах оценки; математически при этом множитель $(1+r)$ делает аннуитет пренумерандо дешевле, чем $PMT \times n$, поскольку ранние платежи со временем теряют стоимость.

Можно ли использовать этот калькулятор для платежей, растущих каждый год?

Нет. Формулы предполагают фиксированный платёж и постоянную ставку на протяжении всех $n$ периодов. Если ваши платежи растут на заданный процент каждый период (растущий аннуитет пренумерандо), нужна другая формула: $PV = PMT \times \frac{1-\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^n}{r-g} \times (1+r)$, которая также требует $r \neq g$. Для нерегулярных платежей дисконтируйте или наращивайте каждый платёж по отдельности и суммируйте результаты.

Мой ответ отличается от ответа в учебнике — что я сделал не так?

Проверьте три момента. Во-первых, время платежей: если в задаче платежи осуществляются в конце периодов, следует использовать формулу обыкновенного аннуитета, которая даёт результат меньше в $(1+r)$ раз. Во-вторых, база ставки: годовую ставку при ежемесячных платежах нужно сначала разделить на 12. В-третьих, момент будущей стоимости: этот калькулятор оценивает поток на конец периода $n$; некоторые учебники вместо этого оценивают аннуитет пренумерандо на один период позже, в конце периода $n+1$, что умножает результат ещё на один множитель $(1+r)$.